1963年，美國麻省理工學(xué)院氣象學(xué)家E.N.Lorenz從天氣預(yù)報中提煉簡化了的一個三維非線性微分方程組，經(jīng)過計算機不厭其煩的冗繁數(shù)值計算，首次發(fā)現(xiàn)其數(shù)值解既不收斂于極限環(huán)，又不逼近于某定態(tài)函數(shù)（包括平衡位置），而是被一個奇特的蝴蝶形吸引子吸引，這一舉世皆驚的獨特發(fā)現(xiàn)，更進一步揭示了非線性科學(xué)的復(fù)雜性，從此混沌學(xué)成為全球研究的熱點.著名物理學(xué)家J.Ford曾指出：“混沌的發(fā)現(xiàn)是20世紀物理學(xué)的第三次革命.”［10］E.N.Lorenz也因此被世人譽為“混沌之父”.Lorenz系統(tǒng)是混沌發(fā)展史上的一個重要的里程碑.雖然數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及各行各業(yè)的專家經(jīng)過共同努力，對混沌的研究做出了巨大貢獻，但人們對混沌的本質(zhì)認識還遠遠不夠，其主要成果仍然是沙里淘金似的偶然發(fā)現(xiàn)，故世界著名數(shù)學(xué)大師Smale把“Lorenz蝴蝶吸引子存在性的數(shù)學(xué)證明”列為21世紀第14大數(shù)學(xué)難題，向全球征解，數(shù)學(xué)界也把混沌學(xué)列為21世紀數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.《Lorenz混沌族中若干數(shù)學(xué)問題新研究》一書是筆者2004年退休之后10年內(nèi)對Lorenz系統(tǒng)中核心數(shù)學(xué)問題，即全局指數(shù)吸引集，正向不變集的構(gòu)造性證明及平衡位置的Lyapunov全局指數(shù)穩(wěn)定性、全局漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性的簡潔的代數(shù)充要條件及參數(shù)的分支值公式等理論及應(yīng)用的研究總結(jié).全書分為十章：第1章重新研究了Lorenz系統(tǒng)的最終有界性及全局吸引集和正向不變集的構(gòu)造性證明，推廣和改進了俄羅斯科學(xué)家Leonov院士曾用德文和俄文發(fā)表過的極重要的成果，且較大地簡化了他的復(fù)雜證明，進而將該成果直接應(yīng)用到了跟蹤控制、混沌同步和保密通信.第2章首次提出了Lorenz系統(tǒng)Lagrange意義下全局指數(shù)吸引集的新概念，且給出了該集的構(gòu)造性證明，囊括了現(xiàn)有文獻中前人相應(yīng)的結(jié)果，進而解決了當系數(shù)b→1+，a→0+時前人方法失效的奇異情況，證明了全局指數(shù)吸引集外不再存在平衡位置、周期解、概周期解及其他奇異吸引子，回答了“蝴蝶形吸引子”只能在所證的全局指數(shù)吸引集和正向不變集內(nèi)，從而回答了吸引子的唯一性問題.第3章深入研究了Lorenz系統(tǒng)的平衡位置全局指數(shù)穩(wěn)定性、全局漸近穩(wěn)定性、局部漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性的簡潔代數(shù)充要條件，同時還分析了各參數(shù)的分支值，這些內(nèi)容鮮見有人問津.這一章的理論成果，可直接用于指導(dǎo)最少保守的線性反饋最優(yōu)控制律設(shè)計，例如，我們曾嘗試設(shè)計使Chen混沌系統(tǒng)、Lü混沌系統(tǒng)、Yang混沌系統(tǒng)、Yuxia Li超混沌系統(tǒng)化為穩(wěn)定的Lorenz系統(tǒng)，得到S0(0,0,0)全局指數(shù)穩(wěn)定準則，為混沌控制提供了示例，特別是應(yīng)用到第9章的無刷直流電機，可期望產(chǎn)生較大經(jīng)濟效益.第4章至第7章是即將發(fā)表或尚未投稿的內(nèi)容，涉及國際上一些公開難題的解答.第4章嘗試用多個Lyapunov函數(shù)，以幾何和代數(shù)相結(jié)合的方法得到Chen混沌吸引子全局指數(shù)吸引集的構(gòu)造性證明，解決了這個懸而未決的公開難題，為進一步解決Lü混沌系統(tǒng)、Yang混沌系統(tǒng)、Yuxia Li超混沌系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集的構(gòu)造性證明提供了基礎(chǔ)和示范.最終有界的界值極為重要，進一步證實了混沌系統(tǒng)應(yīng)該是最終有界的，但證明很難，這是用線性反饋控制實現(xiàn)混沌同步、混沌跟蹤、混沌鎮(zhèn)定的理論基礎(chǔ)，以及計算Lyapunov指數(shù)的前提.第5章給出了Chen混沌系統(tǒng)的三個平衡態(tài)分別為全局指數(shù)穩(wěn)定、全局漸近穩(wěn)定、局部指數(shù)穩(wěn)定，以及不穩(wěn)定性的簡潔代數(shù)充要條件，以及關(guān)于系數(shù)的分支值，全由系統(tǒng)的系數(shù)簡潔的代數(shù)表示.這些理論成果，同樣是實現(xiàn)最少保守的線性反饋控制，或是改變系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)的準繩和依據(jù).第6章和第7章分別得到了Lü混沌系統(tǒng)、Yang混沌系統(tǒng)、全局指數(shù)吸引集的構(gòu)造性證明及平衡位置各種Lyapunov意義下穩(wěn)定性的簡潔代數(shù)充要條件，也討論了參數(shù)的分支值問題.雖然本章與第4、5章解決問題的基本思路是一脈相承的，然而所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)在系數(shù)的選擇上是相異的，甚至更費神.人們對Chen混沌系統(tǒng)研究的多，相互啟發(fā)和借鑒的文獻也較多，但對Lü混沌系統(tǒng)、Yang混沌系統(tǒng)類似的問題涉足者少，故進展甚微.第8章研究四維相空間的Lorenz超混沌系統(tǒng).該系統(tǒng)模型由山東科技大學(xué)Yuxia Li教授提出，筆者曾有幸應(yīng)邀參與過他們的關(guān)于全局最終有界性的研究.但已經(jīng)發(fā)表的文章受篇幅所限，刪除了不少內(nèi)容，故在此進一步深入研究，增加了新內(nèi)容.本章首先給出平衡位置S0(0,0,0,0)全局指數(shù)穩(wěn)定、全局漸近穩(wěn)定的簡潔代數(shù)充分條件，不同于前幾章的是，條件不是必要的，充要條件尚難得到；同時給出另外兩個平衡位置S+(x1,y1,z1,w1)，S-(x2,y2,z2,w2)局部指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，將Yuxia Li原文中Lagrange全局漸近穩(wěn)定性改進為全局指數(shù)吸引性，且增加了一些新的構(gòu)造性結(jié)果，并將結(jié)果應(yīng)用到控制混沌系統(tǒng)穩(wěn)定與同步.第9章是筆者應(yīng)湖北科技學(xué)院周國鵬教授邀請，正在合作研究的問題：如何控制帶混沌的無刷直流電機消除混沌，使之正常穩(wěn)定工作.據(jù)悉，混沌的出現(xiàn)可能造成整個驅(qū)動系統(tǒng)崩潰的嚴重后果，故這一極富實際意義的課題研究方興未艾，已有方法和結(jié)果還很不完善和成熟.我們通過精心研究發(fā)現(xiàn)，可用本書前三章的關(guān)于Lorenz系統(tǒng)的全部成果研究這個問題.因此，無刷直流電機的混沌控制可期望開發(fā)較多的理論和應(yīng)用成果，這里介紹的一些成果不包括我們已經(jīng)完成的且已發(fā)表的內(nèi)容.第10章是關(guān)于具有光滑的Chua氏電路的全局指數(shù)吸引集的構(gòu)造性證明，以及其在混沌同步中的應(yīng)用.本章似乎與本書的標題和主題不太協(xié)調(diào)，但考慮到這是繼第一個最終有界性的Lorenz混沌系統(tǒng)后的已正式證明的第二個經(jīng)典混沌系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集的結(jié)果，也是當時全球公開的難題，故收錄于此.日本教授Tsaneda撰文稱，具有光滑的Chua氏電路的研究論文全球大約有700篇，但至今無人回答系統(tǒng)是否具有最終有界性這個核心理論問題.世界著名電子電路專家、美國加州大學(xué)伯克利分校L.O.Chua教授以IJBC（國際分支與混沌期刊）主編身份，特邀筆者和加拿大西安大略大學(xué)Pei Yu教授合著了一長文，給出了Chua氏光滑電路的全局指數(shù)吸引集的構(gòu)造性證明，系統(tǒng)地論述了Chua氏電路與Lurie控制系統(tǒng)的聯(lián)系，用Lurie控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的理論和方法，得到Chua氏電路，以及具有光滑的Chua氏電路全局指數(shù)同步的系列成果，進一步證實了Chua氏的混沌同步應(yīng)建立在Lurie控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的框架下的正確性.筆者雖在動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性領(lǐng)域內(nèi)持續(xù)地工作了數(shù)十年，但大都只涉及非混沌的正常系統(tǒng)，即使是正常系統(tǒng)，窮盡筆者畢生精力和心血，也遠遠不夠.眾所周知，世界著名的希爾伯特第16大難題：微分方程dydx=Pn(x,y)Qn(x,y)（其中Pn，Qn為n次多項式），最多有幾個極限環(huán)？至今甚至對于n=2都懸而未決.簡單至極的Hill方程d2xdt2+h(t)x=0的穩(wěn)定性的完全解決，居然被稱為是對數(shù)學(xué)家們嚴重挑戰(zhàn)的難題.其他未解決的問題，可謂俯拾皆是.所以一提起“混沌系統(tǒng)”，就只能望而生畏，聞而止步了，豈敢越雷池一步！筆者對混沌的研究源于十多年前一次偶然機會，筆者聆聽了楊叔子院士關(guān)于“蝴蝶效應(yīng)”的文理通融、詩意盎然的精彩報告，激發(fā)了我本能的數(shù)學(xué)好奇心：“蝴蝶何在？（存在性）”“蝴蝶幾何？（唯一性）”.恰在此期間，筆者拜讀了我的老師齊民友教授的著作《世紀之交話數(shù)學(xué)》，其中有關(guān)蝴蝶效應(yīng)的詳盡深邃論述，進一步引起我的興趣.不久又猛然發(fā)現(xiàn)，世界著名數(shù)學(xué)大師Smale竟然把“蝴蝶吸引子的存在性”的數(shù)學(xué)證明（不再是計算機仿真）列為21世紀的第14大數(shù)學(xué)難題向全球征解.由此我認識到了數(shù)學(xué)在混沌學(xué)中的重要性和問題的艱難性，難怪獨具慧眼的俄羅斯Leonov院士早就獨自潛心致力于Lorenz混沌系統(tǒng)吸引集的研究.當然如果沒有工作任務(wù)的壓力，僅僅是憑興趣和好奇，明知重要也未必能持久，問幾個為什么，在腦海中盤旋幾番，也就不了了之，煙消云散了.筆者選擇混沌研究方向，首先要感謝教育部和華中師范大學(xué)讓我破格(超齡)參加中加學(xué)者交換項目的競選，后又改派為高級訪問學(xué)者訪問美國南加州大學(xué)一年；要感謝英國的X.Mao院士為我申請了英國皇家學(xué)會的資助，赴英國合作，該合作的成果之一是筆者參加了在日本舉行的IFAC會議，且得到了大會的資助，此次合作大大地鼓舞了我沖出國門，走向國際學(xué)術(shù)舞臺的決心；更要感謝香港中文大學(xué)Jun Wang教授、香港城市大學(xué)Chen教授、香港大學(xué)的Li Wang教授，他們多次邀請筆者赴港進行合作研究，特別是Chen教授還送我一本專著《Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步》（與Lü教授合著）和他應(yīng)國際權(quán)威期刊特邀而寫的“穩(wěn)定性綜述”大作，并告訴我一個極重要的信息，即美國海軍實驗室也發(fā)現(xiàn)混沌可應(yīng)用于保密通信，著名的電子電路專家L.O.Chua教授最先建議的混沌同步的一般理論和方法，應(yīng)該也只能建立在Lurie控制系統(tǒng)的框架內(nèi)，羅琦教授提供了最近幾年來的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)文獻，許多恰恰是一個典型的Lurie系統(tǒng).這使我對曾經(jīng)有過的研究Lurie問題的激情又重燃起信心的火焰，找到了新的近代科學(xué)的應(yīng)用，令人歡欣鼓舞.我還要特別感謝加拿大西安大略大學(xué)Pei Yu教授四次邀請我對混沌同步控制及對Lurie問題進行深入的合作研究，并完成了Springer再版的英文專著.另外，還應(yīng)感謝好友徐道義教授曾竭力協(xié)助筆者把對Lurie問題的研究在瑞典的國際控制與網(wǎng)絡(luò)會議上宣讀，后來又在法國的世界計算大會上作報告，從而得到了俄、美、德等國相關(guān)數(shù)學(xué)評論雜志的好評.當筆者得知繼1963年美國發(fā)現(xiàn)Lorenz混沌系統(tǒng)之后，德國物理學(xué)家R�塻sler于1976—1979年又獨自發(fā)現(xiàn)了六類混沌系統(tǒng)，美國電子電路專家L.O.Chua（1986）發(fā)現(xiàn)了可用電子電路實現(xiàn)的形式簡單但動力學(xué)行為十分豐富的Chua氏電路，我國學(xué)者、歐洲科學(xué)院院士Chen教授（IEEE Fellow，北京大學(xué)長江講座教授）1999年又發(fā)現(xiàn)了可與Lorenz系統(tǒng)相媲美但又不拓撲等價的Chen混沌系統(tǒng)，中國科學(xué)院Lü教授（IEEE Fellow）2002年再一次發(fā)現(xiàn)了介于Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)之間的Lü系統(tǒng)，華南理工大學(xué)Yang教授從另一個方向發(fā)現(xiàn)并建立Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的紐帶的Yang混沌系統(tǒng)，山東科技大學(xué)Yuxia Li教授提出了四維相空間的Lorenz超混沌系統(tǒng)，其中華人科學(xué)家格外耀眼，他們的這些工作得到了世界公認，其成果以他們的姓氏命名，他們?yōu)槭澜绲幕煦缋碚摰膽?yīng)用增添了色彩，更為我國在混沌動力學(xué)方面走向國際前沿做出了不可磨滅的貢獻，筆者真誠地為每位炎黃子孫取得的學(xué)術(shù)成就歡呼喝彩.他們也是我真誠的學(xué)術(shù)好友，我想假如我能再為他們創(chuàng)造性的成就做些鋪磚添瓦的輔助工作，不亦樂乎，不更幸乎！于是乎筆者走上了混沌研究之路.筆者退休之后，時間精力殊多，身體尚好，養(yǎng)成了以思考數(shù)學(xué)問題、做數(shù)學(xué)題為最大樂趣的習(xí)慣.記得數(shù)學(xué)大師華羅庚先生諄諄告誡數(shù)學(xué)工作者：“學(xué)數(shù)學(xué)而不做習(xí)題，無異于到寶山不采寶空手而歸.”齊民友教授常告誡我們：學(xué)數(shù)學(xué)是靠做題目做懂的.宋健院士曾鼓勵我：咬住一個方向不放，堅持數(shù)十年，鍥而不舍.于是，筆者把Lorenz系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)問題自己出題自己做，反復(fù)思考.等到本書前三章已介紹過的成果出來之后，筆者猜想Chen、Lü、Yang、Yuxia Li系統(tǒng)也應(yīng)有類似的結(jié)果.但是經(jīng)過了漫長歲月的嘗試，始終困難重重，其原因是Lorenz系統(tǒng)線性部分的三個主對角線上的系數(shù)全為負，這是用構(gòu)造加權(quán)和二次型Lyapunov函數(shù)使之導(dǎo)數(shù)消除變號的三次項的關(guān)鍵前提和核心技巧，而后三個混沌系統(tǒng)不再具有此寶貴性質(zhì)，從而對Lorenz系統(tǒng)行之有效的單一的Lyapunov函數(shù)完全失敗.雖然許多人都在嘗試逾越這個鴻溝，但終未見有成功的福音，正因如此才作為公開難題，引人逐鹿.到了山窮水盡之時，筆者常想起古人“它山之石，可以攻玉”“精誠所至，金石為開”的至理名言.在解決上述問題過程中，筆者想起曾參與翻譯過的美國世界數(shù)學(xué)大師LaSalle的專著《動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性》，書中他介紹了一個十分巧妙的例子，即用傳統(tǒng)的Lyapunov方法無法解答是否穩(wěn)定時，他用多個不同的Lyapunov函數(shù)，再用他新發(fā)現(xiàn)的不變原理而獲成功.這個高超的技巧無疑也給了筆者寶貴的啟迪，筆者也用多個Lyapunov函數(shù)越過了上述的鴻溝.本書是筆者和合作者近幾年的研究成果的階段性小結(jié)，全是自己和合作者的成果，包括在《中國科學(xué)》等權(quán)威雜志發(fā)表的論文和尚未公開發(fā)表的成果.我引用的參考文獻也不是很全，甚至連好多合作者的類似的工作也來不及介紹，有些已投稿的成果也不會一稿多投，這里都省略了，懇請同仁、朋友、讀者原諒.承蒙華中科技大學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和華中科技大學(xué)出版社（特別是姜新祺總編輯）對筆者一貫的信賴和支持.筆者已年逾古稀，無任何功利目的，不奢求SCI、“影響因子”這些華麗的外衣，只要能盡快地將本書獻給祖國、獻給同仁就深感榮幸了.筆者對書中的內(nèi)容文責(zé)自負，由于水平有限，再加上時間倉促，對于書中存在的錯誤和缺點，衷心地歡迎讀者批評指正，不勝感激！