本教材是北京市精品課程的配套教材, 從解決實際工程問題的角度出發(fā), 內容涵蓋數(shù)學的基本原理及基本方法, 從復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)及其應用、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換及應用等9個方面進行闡述, 注重數(shù)學理論體系的同時, 強調工程應用, 既獨立又相互聯(lián)系, 既有理論也有實踐; 內容邏輯上由淺入深、層層遞進; 既注重突出重點、又側重工程應用。
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引言
高等數(shù)學中研究的函數(shù)主要是針對實數(shù)范圍內變量之間的相互依賴關系.隨著實際問題的需要和數(shù)學理論的發(fā)展,數(shù)的研究范圍逐步由實數(shù)推廣到復數(shù),函數(shù)也隨之推廣到變量為復數(shù)的復變函數(shù).
1545年,意大利學者卡爾達諾(Cardano)在解三次方程時,首先引進負數(shù)開平方的思想,把40看成5+-15與5--15的乘積,當時只是一種純形式的表示.事實上,在解實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)時,如果判別式Δ=b2-4ac<0,就會遇到負數(shù)開平方,最簡單的例子是解x2+1=0,遇到-1開平方,為了使方程有解,需要負數(shù)開平方有意義.
復數(shù)的引入是數(shù)系的又一次擴充,是在實數(shù)系的基礎擴充而得的,最初由于對復數(shù)的有關概念及性質了解得不清楚,用它們進行計算又得到一些矛盾,長期以來,人們把復數(shù)看成不能接受的“虛數(shù)”,直到17~18世紀,隨著微積分的發(fā)明和發(fā)展,并且這個時期復數(shù)有了清晰的幾何解釋,把復數(shù)與平面向量對應起來解決了一些實際數(shù)學問題,復數(shù)才漸漸被人們承認并廣泛使用.例如,用復變函數(shù)理論很容易證明一元n次方程