01進(jìn)位制的知識
1.1形形色色的進(jìn)位制
在日常生活和生產(chǎn)勞動中，人們幾乎時刻都在跟數(shù)打交道，其中接觸最多的是自然數(shù)。自然數(shù)有無窮多個。我們知道，讀數(shù)要有名稱，寫數(shù)要有記號。對于每一個自然數(shù)，如果都用一個獨(dú)立的名稱和記號來表示它，那是辦不到的，也是不便記憶和應(yīng)用的。那么，該怎么辦呢？
人類經(jīng)過長期的實踐，創(chuàng)造了用少量的名稱和記號來表示任何一個自然數(shù)的記數(shù)辦法。這個記數(shù)辦法就是根據(jù)位值原則，用一定數(shù)量的數(shù)字來表示眾多的自然數(shù)。所謂位值原則，就是把數(shù)字排成橫列來表示一個自然數(shù)時，每一個數(shù)字除了表示本身的值以外，還有一個所在的位置賦予的值（即位置值）。位值原則又叫做數(shù)字和數(shù)位相結(jié)合的原則。這樣，即使是同一個數(shù)字，由于它在所表示的自然數(shù)里有著不同的位置，也就表示著不同的數(shù)值。
不要小看位值原則，以為它平常得很。在歷史上，位值原則是杰出而重要的思想，是人類文明的重要里程碑之一，也是數(shù)學(xué)史上無與倫比的一個光輝成就。當(dāng)時發(fā)明這樣一種方法的困難之大，正如數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Ｌaplace，1749~1827）所指出的那樣，可從如下事實中推斷出來：甚至像阿基米德（Archimedes，公元前287~前212）和阿波羅尼（Apollonius，約公元前260~前170）這兩位古代最偉大的天才也未能注意到它�，F(xiàn)在看來，羅馬數(shù)字未能采用位值原則也說明了這一論斷。位值原則是千百年人類智慧的結(jié)晶，它給予記數(shù)的簡化與計算的便當(dāng)，為人們提供了極為有利的條件。對此，馬克思曾經(jīng)高度地評價過位值原則的出現(xiàn)，稱贊它是“最美妙的數(shù)學(xué)發(fā)明”。
由于人類經(jīng)常用雙手來接觸事物，也就經(jīng)常用雙手的10個指頭來進(jìn)行計數(shù)。成語“屈指可數(shù)”正說明了這一點(diǎn)。一邊數(shù)，一邊扳手指；10個手指扳滿了，就在地上放一塊石頭（或者別的東西），用來代表“十”；然后再數(shù)，滿了10個，再放一塊石頭；積滿了10塊石頭，再換一個其他的東西，用來代表“一百” 這樣，從計數(shù)的實踐中就逐漸地形成了記數(shù)的辦法：用10個數(shù)字（數(shù)碼）——0，1，2，3，4，5，6，7，8，9——按照位值原則來表示任意一個自然數(shù)。這個辦法——計數(shù)和記數(shù)的制度，稱為十進(jìn)位制，簡稱十進(jìn)制。這里，“十”叫做十進(jìn)制的底數(shù)（或進(jìn)率）�！皾M十進(jìn)一”是它的一個特點(diǎn)。這就是說，在每相鄰的兩個數(shù)位之間，10個低級單位便可組成一個高級單位。我們把計數(shù)和記數(shù)時“滿幾進(jìn)一”的制度，統(tǒng)稱為數(shù)的進(jìn)位制。十進(jìn)制是人類用得最經(jīng)常、最廣泛、最熟悉的一種進(jìn)位制
1920年前后，科學(xué)家易勒斯（W.C.Eels）調(diào)查了美國亞美利亞各族的307種原始的記數(shù)方法中，發(fā)現(xiàn)有146種是十進(jìn)制的。 。在小學(xué)數(shù)學(xué)里開始學(xué)習(xí)和研究的，也就是這種十進(jìn)制的數(shù)，簡稱十進(jìn)數(shù)。
但是，人類也用到非十進(jìn)制。例如，二進(jìn)制、五進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等。在人類的記數(shù)史上，十進(jìn)制與各種非十進(jìn)制都顯示過身手。即使是現(xiàn)代，也絕不是十進(jìn)制的一統(tǒng)天下，其他各種非十進(jìn)制都還在起著各自的作用。
二進(jìn)制對于理論的研究很有價值。它在電子計算機(jī)上有著重要的應(yīng)用。另外，為了克服用二進(jìn)制來表示一個數(shù)往往書寫較長的缺點(diǎn)，有的電子計算機(jī)也用到八進(jìn)制（或十六進(jìn)制）。
五進(jìn)制比十進(jìn)制出現(xiàn)得更早。這是由于在一般情況下伸出一只手比伸出一雙手更自然的緣故。五進(jìn)制曾經(jīng)普遍使用于美洲大陸、西伯利亞北部與非洲的許多民族。從現(xiàn)在尚在使用的羅馬數(shù)碼每增加五就創(chuàng)立一個新的符號中仍可見到五進(jìn)制的遺跡。時至今日，玻里尼亞群島和美拉尼西亞群島上的居民還在使用五進(jìn)制。我國的“五行”也可以說是以金、木、水、火、土往復(fù)循環(huán)的五進(jìn)制。
十二進(jìn)制是使用較方便的一種進(jìn)位制，因為12能夠被1，2，3，4，6，12所整除。進(jìn)行除法運(yùn)算的時候，十二進(jìn)制不像十進(jìn)制那樣經(jīng)常會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)的商。世界上許多國家都曾經(jīng)采用過十二進(jìn)制。例如，一個鐘面有12個小時，一年有12個月以及西方國家有1英尺＝12英寸，1先令＝12便士等。在英語、德語中，1到12的數(shù)詞，其詞根都不相同，而大于12的數(shù)詞其詞根就出現(xiàn)循環(huán)重復(fù)的現(xiàn)象，從中也可看出采用過十二進(jìn)制的痕跡。另外，古代羅馬人曾經(jīng)用過十二進(jìn)制。每12個為一個單位，叫做一打仁（Do，簡稱打），12打仁叫做1格魯斯（Gro，簡稱蘿），12格魯斯叫做1馬斯（Mo）。現(xiàn)在，還經(jīng)常把12作為一“打”來計算物體的件數(shù)，并且在商業(yè)方面有時也用到“蘿”。由于12比10有更多的因數(shù)，瑞典國王查理十二世就曾經(jīng)大力推行過十二進(jìn)制，而在美國至今仍有一個“美國十二進(jìn)制協(xié)會”公開申明致力于十二進(jìn)制的推廣普及工作。
十六進(jìn)制，東西方國家都曾經(jīng)采用過。例如，我國的舊秤，1斤＝16兩；在歐洲，1磅＝16盎司，1俄尺＝16俄寸等。
二十進(jìn)制，它使人們想起人類的赤腳時代，因為對于不穿鞋的部落來說，利用腳趾是很自然的事情。這種進(jìn)位制曾經(jīng)被美洲印第安人所普遍采用，并以其用于高度發(fā)達(dá)的瑪雅（Maya）數(shù)系中而稱著。歐洲一些國家的文字，也留下了使用二十進(jìn)制的痕跡。例如，法語表示80用單詞quatre-vingts（四倍的二十），而90則用單詞quatre-vingt-dix（四倍的二十與十）。又如英語three-score and seven years ago（67年以前），原意是“三個二十又七年以前”。
六十進(jìn)制的使用起源于古巴比倫人（居住在現(xiàn)今的伊拉克）。現(xiàn)在時間以及度量角或弧的單位里，還保留著60秒為1分、60分為1小時，或60分為1度的規(guī)定。這就是古巴比倫人留給我們的遺產(chǎn)。
我國“干支”中的“天干”（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）是十進(jìn)制，“地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）則是十二進(jìn)制。將10個“天干”與12個“地支”循環(huán)相配形成：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥等60組，俗稱“六十花甲子”，則是六十進(jìn)制。我國古代曾用“六十花甲子”、“干支”表示年、月、日和時的次序，周而復(fù)始，循環(huán)使用�，F(xiàn)在農(nóng)歷的紀(jì)年上，仍有用到。
另外，還有一季度有3個月、一個月有3旬的三進(jìn)制，一年有四季、一小時有4刻鐘的四進(jìn)制，一星期有7天的七進(jìn)制，一天有24小時的二十四進(jìn)制，一個月有30天的三十進(jìn)制等。最為古怪的是新西蘭采用過十一進(jìn)制。
一般人出自使用的習(xí)慣，可能認(rèn)為十進(jìn)制是最好的進(jìn)位制。其實用什么樣的進(jìn)位制，還要根據(jù)生產(chǎn)實踐的需要來確定。例如，從天文、歷法以及數(shù)學(xué)上度量角或弧的研究來考慮，用六十進(jìn)制就比較好，因為60有著較多的因數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，用六十進(jìn)制來算1/2、1/3、1/4、1/5、1/6小時（或度）等于多少分，就比人們用慣了的十進(jìn)制方便。因此，不同的進(jìn)位制有著不同的長處和短處，不能籠統(tǒng)地說哪種進(jìn)位制最好。
顯然，不應(yīng)有一進(jìn)制。不然的話，滿一進(jìn)一，滿一進(jìn)一 便會陷入無止境的進(jìn)位之中。這怎么能用來表示一個自然數(shù)呢？因此，除了“1”以外，任何正整數(shù)k（k≥2）都可以作為進(jìn)位制的底數(shù)。于是就有了形形色色的進(jìn)位制以及用k進(jìn)制所表示的數(shù)（簡稱k進(jìn)數(shù)）。
1.2 k進(jìn)數(shù)的表示法
我們知道，十進(jìn)制使用了10個不同的數(shù)字符號，它的底數(shù)是10，它的特點(diǎn)是滿十進(jìn)一。這樣，10個“一”便構(gòu)成1個“十”，10個“十”便構(gòu)成1個“百”，10個“百”便構(gòu)成1個“千”，10個“千”便構(gòu)成1個“萬” 也就是說，按照位值原則，從右邊起，第一位上的一個單位是“一”，第二位上的一個單位是“一”的10倍，第三位上的一個單位是“一”的102倍，第四位上的一個單位是“一”的103 倍，第五位上的一個單位是“一”的104倍 因此，底數(shù)10的各次冪恰好是十進(jìn)制的各個計數(shù)單位
第一位上的計數(shù)單位“一”，是底數(shù)10的0次冪。這種情況，對k進(jìn)制也適用，因為任一正整數(shù)k的0次冪都等于1。
例如，53862就是
5
第五位
104位(萬)3
第四位
103位(千)
8
第三位
102位(百)
6
第二位
101位(十)
2
第一位
100位(個)
這樣，任何一個十進(jìn)數(shù)都可以寫成各個數(shù)位上的數(shù)與它所在的計數(shù)單位（10的冪）之積的和（一般采用從左到右的降冪排列）的形式。例如，
53862＝5×104＋3×103＋8×102＋6×10＋2
我們掌握了十進(jìn)數(shù)的表示法，就不難理解二進(jìn)數(shù)的表示法了。類似地，二進(jìn)制使用了兩個不同的數(shù)字符號：0，1。它的底數(shù)是2，它的特點(diǎn)是滿二進(jìn)一。
為了區(qū)別起見，除了常用的十進(jìn)數(shù)外，對于其他進(jìn)位制的數(shù)，常在數(shù)的右下角注明進(jìn)位制的底數(shù)。例如，二進(jìn)數(shù)1011就寫成1011(2)，讀為二進(jìn)數(shù)一、○、一、一。在不發(fā)生混淆的情況下，有時也可以把右下角的底數(shù)省去不寫。
與十進(jìn)制相類似，二進(jìn)制也是按照位值原則來記數(shù)的。從二進(jìn)數(shù)的右邊起，第一位上的“1”是“一”，第二位上的“1”是“一”的2倍，第三位上的“1”是“一”的22倍，第四位上的“1”是“一”的23倍 底數(shù)2的各（自然數(shù)）次冪也恰好是二進(jìn)制的各個計數(shù)單位。
例如，1011（2）就是
1
第四位
23位0
第三位
22位1
第二位
21位
1
第一位
20位
這樣，任何一個二進(jìn)數(shù)都可以寫成各個數(shù)位上的數(shù)與它所在的計數(shù)單位（2的冪）之積的和（一般采用從左到右的降冪排列）的形式。例如，
1011（2）＝1×23＋1×2 ＋1
一般地，k進(jìn)制（k為正整數(shù)，且k≥2）將使用k個不同的數(shù)字符號：0，1， ，k-1。它的底數(shù)是k，它的特點(diǎn)是滿k進(jìn)一。按照位值原則，用
anan-1 a1 a0 (k)
表示k進(jìn)數(shù)an an-1 a1 a0 ，其中，an，an-1 ， ，a1 ，a0 均表示0～(k-1)這k個數(shù)中的某一個數(shù)。但an≠0(下標(biāo)ｎ，ｎ-1， ，1，0均為十進(jìn)數(shù)）。an an-1 a1 a0 (k) 讀做k進(jìn)數(shù)an ，an-1， ，a1 ，a0 （從左到右，依次讀出各個數(shù)位上的數(shù)的名稱）。它的各個計數(shù)單位
十進(jìn)制有它的小數(shù)，其計數(shù)單位是10-1＝0.1（十分位），10-2＝0.01（百分位）， 。類似地，k進(jìn)制也有它的小數(shù)，其計數(shù)單位是k-1，k-2， 。本書只在非負(fù)整數(shù)范圍內(nèi)討論問題，不介紹k進(jìn)制的小數(shù)等方面的知識。是
an
第n+1位
kn位an-1
第n位
kn-1位
a1
第二位
k1位
a0
第一位
k0位
這里，底數(shù)k的各（自然數(shù)）次冪就是k進(jìn)制的各個計數(shù)單位。任何一個k進(jìn)數(shù)都可以寫成各個數(shù)位上的數(shù)與它所在的計數(shù)單位（k的冪）之積的和（一般采用從左到右的降冪排列）的形式。
an an-1 a1 a0 (k) ＝an kn ＋an-1 kn-1 ＋ ＋a1 k＋a0
對于k進(jìn)數(shù)an an-1 a1 a0 ，為研究方便，一般稱an 為它的最高位上的數(shù)，稱an-1為它的次高位上的數(shù) 并且根據(jù)其位數(shù)的多少稱它為幾位k進(jìn)數(shù)。
對于k進(jìn)制，當(dāng)k大于10時，現(xiàn)有十進(jìn)制的10個數(shù)字符號已不夠使用。為了表示k進(jìn)數(shù)就要對數(shù)字符號作一些增加。例如，十一進(jìn)制可增加符號“0′”（有的書上用“0”）代表“十”，十二進(jìn)制可再增加符號“1′”（有的書上用“1”）代表“十一”等。
現(xiàn)在，把十進(jìn)制與二、三、五、八、十二進(jìn)制的前面幾個非負(fù)整數(shù)列表對照如表1-1所示。
表1-1