本書內(nèi)容以我們編寫的《高等代數(shù)學》第2版的章為基準, 分為三大部分: 基礎內(nèi)容(第1~6章), 深入內(nèi)容(第7~9章), 選學內(nèi)容(第10~12章). 各章內(nèi)容基本分為4個板塊: (1)定義與定理; (2)解題方法介紹; (3)《高等代數(shù)學》(第2版)中習題與解答; (4)補充題與解答.
此次再版, 新增加的內(nèi)容和習題, 有以下幾方面:
1. 增加了兩章, 即正交幾何與辛幾何(第10章), Hilbert空間(第11章). 這是《高等代數(shù)學》第2版新增的兩章. 分別是歐幾里得空間和酉空間的發(fā)展. 前者的基域可以是任意域(如二元域), 內(nèi)積可以是奇異的、交錯的. Hilbert空間即是無限維的完備的酉空間. 這些內(nèi)容在數(shù)學和許多科學技術, 例如信息和編碼、量子物理等中都很重要. 連同張量積與外積(第12章), 此3章作為選讀參考,不在基礎課內(nèi)講授. 這部分收入的習題, 有些也是信息編碼、物理應用(如 Minkowski 四維時空)的基礎.
2. 解答了《高等代數(shù)學》第2版增加的習題.
3. 新補充了一批習題及其解答, 除了普通習題, 還有一些問題是課堂內(nèi)容的發(fā)展、延伸和補充. 介紹了一些不便于寫入教材的(因為篇幅限制或不在基礎課主線上等原因), 但又很有價值和趣味的內(nèi)容. 這類補充題主要如下:
第1章: 多項式方面, 關于正根個數(shù)的“笛卡兒符號判則”, 關于實根個數(shù)的“施圖姆(Sturm)定理”, 根的范圍估計; 方程的模素數(shù)冪解, 即p\|adic數(shù)和Hensel提升的萌芽; 形式冪級數(shù)的性質; 古希臘直尺圓規(guī)作圖問題, 立方倍積、三等分角不可能性的證明; 多元多項式因式分解示例等.
第3章: 結式的次數(shù), Bezout 定理(關于兩曲線交點個數(shù)).
第4章: 矩陣的各類廣義逆與方程組的解.
第5章: 線性映射的分解.
第6章: 正合序列介紹.
第8章: 無限維空間中對偶和伴隨映射的關系; 二次型與多元二次多項式的分解.
第9章: 線性變換族(群表示和特征)基礎; 對偶和伴隨變換的各種關系; 射影空間介紹; Frobenius 定理(即R 上有限維可除代數(shù)必為R,C,H之一).
第10章: 代數(shù)編碼基礎知識, Singleton界, Griesmer界等.