常微分方程理論研究已經(jīng)有300多年的歷史，它是近代數(shù)學(xué)中的重要分支；同時(shí)，由于它與實(shí)際問題有著密切的聯(lián)系，因此，它又是近代數(shù)學(xué)中富有生命力的分支之一.對(duì)于數(shù)學(xué),特別是數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 常微分方程所具有的重大意義主要在于：很多物理與技術(shù)問題可以化歸為常微分方程的求解問題，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等．此外，常微分方程在生態(tài)學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多其他領(lǐng)域中也有重要的應(yīng)用．這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題.
本書是在作者多年教學(xué)實(shí)踐和教學(xué)研究的基礎(chǔ)上，吸取國內(nèi)外同類教材的精華編寫而成.全書分為7章，前5章作為基本內(nèi)容，后2章可根據(jù)實(shí)際情況靈活選用．根據(jù)常微分方程課程的特點(diǎn)及高等師范院校的培養(yǎng)目標(biāo)，我們?cè)诰帉懕窘滩臅r(shí)有以下幾點(diǎn)考慮：
1. 力圖實(shí)現(xiàn)“少而精”的原則，注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、基本方法的訓(xùn)練，盡量從幾何直觀入手，注意概念實(shí)質(zhì)的揭示以及近代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的滲透．
本課程中方程類型多、解法各異．我們?cè)趦?nèi)容取材上力圖精練，注意分析不同類型方程及其解法的特點(diǎn)．例如，在一階方程的初等積分法中，以變量可分離方程、線性方程、全微分方程為主線；在高階微分方程（組）中，以線性齊次微分方程（組）為主線，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)變換的思路、技巧及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系．
對(duì)一階常微分方程的一般理論，我們重點(diǎn)介紹畢卡存在唯一性定理，對(duì)定理的條件、結(jié)論與證明方法進(jìn)行較為細(xì)致的分析，注意概念實(shí)質(zhì)的揭示、定理證明思路的闡述，以及其中所包含的數(shù)學(xué)思想分析．對(duì)常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解方法，我們選用矩陣指數(shù)法, 基解矩陣的計(jì)算采用了較新的普茲方法，既可避免讀者接受這部分知識(shí)的困難，又使讀者熟悉向量、矩陣及矩陣指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用．
微分方程及其解的幾何解釋、平面定常系統(tǒng)的奇點(diǎn)一直是教學(xué)的難點(diǎn)．我們從幾何直觀入手，采用數(shù)學(xué)軟件介紹相關(guān)例題的方向場(chǎng)、相圖．教學(xué)實(shí)踐表明，采用數(shù)學(xué)軟件處理這部分內(nèi)容，可避免讀者接受這部分知識(shí)的困難，讀者可以應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有助于對(duì)相關(guān)概念實(shí)質(zhì)的理解.
為使讀者了解近代常微分方程的重要分支——定性理論的基本思想和方法，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，我們?cè)诘?章中對(duì)定性、穩(wěn)定性理論作了簡(jiǎn)要介紹.
2. 力圖體現(xiàn)“師范教育特色”，重視對(duì)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系、鞏固與深化．
本書從某些內(nèi)容的選取、某些重要問題的提出與解決、例題與習(xí)題的配備等方面，都注意加強(qiáng)與有關(guān)的初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)的結(jié)合．例如，通過應(yīng)用微分方程來求解某些函數(shù)方程；結(jié)合一階方程圖像解法與數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)作圖； 重視高階線性微分方程（組）理論與高等代數(shù)中線性方程組、線性空間理論的聯(lián)系；考慮到實(shí)際應(yīng)用及高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中有差分方程模塊，在本書中特別加入了差分方程內(nèi)容.為了使學(xué)生了解微分方程的歷史文化，本書簡(jiǎn)要介紹了微分方程的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程及關(guān)鍵性的代表人物.
3. 力圖體現(xiàn)“以人為本”，盡量做到符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注意啟發(fā)性．
我們將微分方程的初等積分法分散在第2，4，5各章，在例題與習(xí)題的配備上注意搭好臺(tái)階，反復(fù)鞏固，這將有助于學(xué)生牢固掌握基本理論以及
基本解法； 對(duì)微分方程的典型應(yīng)用實(shí)例，如微分方程在物理學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，我們把重點(diǎn)放在建立數(shù)學(xué)模型和說明解的實(shí)際意義上，這將有助于培養(yǎng)學(xué)生分析解決實(shí)際問題的能力，啟迪學(xué)生的創(chuàng)新思維.
為配合教師進(jìn)行多媒體教學(xué)，還將出版與本書配套的電子教案．
本書的編寫得到了首都師范大學(xué)教務(wù)處教材建設(shè)經(jīng)費(fèi)的支持；首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院也給予了大力支持；在使用原講義的過程中，吳雅萍教授、酒全森教授提出過許多寶貴意見， 清華大學(xué)出版社的佟麗霞編輯為本書的出版付出了許多心血．在此，我們謹(jǐn)向他們表示衷心的感謝．我們也殷切希望讀者對(duì)本書中的缺點(diǎn)和錯(cuò)誤提出批評(píng)指正．