《有限群初步》是在十多年前出版的《有限群導引》的基礎上進行修改、補充、材料更新以及刪減過時內容而形成的新的有限群教材. 《有限群初步》共分8 章. 第1 章敘述群論最基本的概念，其中有些內容在群論課程的先修課“抽象代數(shù)”中已經(jīng)學過，但相當部分內容是新的. 整個這一章是學習《有限群初步》的基礎，因此必須認真閱讀，并且應該做其中大部分的習題. 從第2 章起則是沿著兩條主線進行：一條主線是群的作用；另一條主線是關于群的構造問題. 《有限群初步》作者多年從事有限群的教學和研究工作，這《有限群初步》是他多年教學工作的總結.
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這是一部至今（并將在今后幾十年中）國內最好的有限群研究方向著作。
二十多年來，徐明曜先生的《有限群導引》（上下冊）一直是國內群論研究生和群論研究工作者最好教材和參考書，它為國內群論發(fā)展起到了極大的推動作用。26年來，有限群論取得了長足的進步，致使《有限群導引》一書中很多材料已經(jīng)過時，而新的進展又沒能包括進來。徐明曜教授的新作《有限群初步》作為《有限群導引》的姊妹篇，不僅對舊作《有限群導引》有很好的傳承，而且增加了很多新的群論研究成果�！队邢奕撼醪健烦浞挚紤]使用《有限群初步》的不同群體的需要，內容精煉。此書將為今后我國群論發(fā)展起著積極的推動作用。
徐明曜，1965年畢業(yè)于北京大學數(shù)學力學系數(shù)學專業(yè)。1991年被國家教委和國家學委授予“做出突出貢獻的中國博士、碩士學位獲得者”。1988年起擔任北京大學數(shù)學系和數(shù)學研究所教授，1992年起任博士生導師（國務院批），2003年起受聘為山西師范大學特聘教授。曾任中國數(shù)學會會員，美國數(shù)學會會員，美國《數(shù)學評論》特約評論員，國際雜志Algebra Colloquim編委�，F(xiàn)任International journal of Mathematical Combinations編委，以及Ars Mathematica Contemporance顧問。
科研方向主要為有限群論，特別是有限p-群、代數(shù)圖論、群與圖的聯(lián)系以及計算群論。出版教材及專著3部，至今已發(fā)表論文86篇，其中被SCI收錄61篇。
目錄
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》序
前言
第1章 群論的基本概念 l
1.1 群的定義 l
1.2 子群和陪集 4
1.3 共軛、正規(guī)子群和商群 8
1.4 同態(tài)和同構 12
1.5 直積 13
1.6 一些重要的群例 16
1.6.1 循環(huán)群 16
1.6.2 有限交換群 17
1.6.3 變換群、Cayley定理 19
1.6.4 有限置換群 20
1.6.5 線性群 21
1.6.6 二面體群 22
1.7 自同構 25
1.7.1 自同構 26
1.7.2 全形 29
1.7.3 完全群 29
1.8 特征單群 32
1.9 Sylow定理 35
1.10 換位子、可解群、p-群 38
1.11 自由群、生成元和關系 44
1.11.1 自由群 44
1.11.2 生成系及定義關系 45
第2章 群作用、置換表示、轉移映射 48
2.1 群在集合上的作用 48
2.2 傳遞置換表示及其應用 5l
2.3 轉移和Burnside定理 57
2.4 置換群的基奉概念 63
2.4.1 半正則群和正則群 65
2.4.2 非本原群和本原群 66
2.4.3 多重傳遞群 68
2.5 閱讀材料——正多面體及有限旋轉群 70
2.5.1 正多面體的旋轉變換群 71
2.5.2 三維歐氏空間的有限旋轉群 75
第3章 群的構造理論初步 80
3.1 Jordan-Holder定理 81
3.2 Krull-Schmidt定理 89
3.3 由“小群”構造“大群” 95
3.3.1 群的半直積 96
3.3.2 中心積 97
3.3.3 亞循環(huán)群 98
3.3.4 圈積、對稱群的Sylow子群 100
3.4 Schur-Zassenhaus定理 104
3.5 群的擴張理論 111
3.6 P臨界群 118
3.7 MAGMA和GAP簡介 123
第4章 更多的群例 125
4.1 PSL(n，q)的單性 125
4.2 七點平面和它的群 129
4.3 Petersen圖和它的群 132
4.4 最早發(fā)現(xiàn)的零散單群 136
4.5 域上的典型群簡介 138
4.5.1 辛群 141
4.5.2 酉群 141
4.5.3 正交群 143
4.6 閱讀材料-Burnside問題 144
第5章 冪零群和p-群 148
5.1 換位子 148
5.2 冪零群 152
5.3 Frattini子群 156
5.4 內冪零群 158
5.5 p-群的初等結果 16l
5.6 內交換p-群、亞循環(huán)p-群和極大類p-群 168
5.7 p-群計數(shù)定理 l73
5.8 超特殊p-群 176
5.9 正規(guī)秩為2的p-群 178
5.10 閱讀材料——正則p-群 180
第6章 可解群 192
6.1π-Hall子群 l92
6.2 Sylow系和Sylow補系 195
6.3π-Hall子群的共軛性問題 196
6.4 Fitting子群 198
6.5 Carter子群 203
6.6 群系理論初步 204
6.7 特殊可解群的構造 207
6.7.1 超可解群 207
6.7.2 所有Sylow子群皆循環(huán)的有限群 210
6.7.3 Dedekind群 211
6.7.4 可分解群、可置換子群 211
6.8 閱讀材料-Frobenius的一個定理 213
第7章 有限群表示論初步 216
7.1 群的表示 216
7.2 群代數(shù)和模 223
7.3 不可約模和完全可約模 227
7.4 半單代數(shù)的構造 230
7.5 特征標、類函數(shù)、正交關系 235
7.6 誘導特征標 246
7.7 有關代數(shù)整數(shù)的預備知識 25l
7.8 paqb_定理、Frobenius定理 255
第8章 群在群上的作用、ZJ-定理和p-冪零群 259
8.1 群在群上的作用 260
8.2 π'-群在交換π-群上的作用 262
8.3 π'-群在π-群上的作用 267
8.4 關于p-冪零性的Frobenius定理 274
8.5 Glauberman ZJ—定理 277
8.6 Glauberman-Thompsonp-冪零準則 282
8.7 Frobenius群 283
8.8 閱讀材料-Grimn定理和p-冪零群 288
8.9 閱讀材料——內p-冪零群和Frobenius定理的又一證明 293
8.10 閱讀材料-Burnside paqb-定理的群論證明 296
8.11 閱讀材料——廣義Fitting子群 30l
8.12 閱讀材料-Brauer-Fowler定理 304
8.13 閱讀材料——有限單群簡介 307
附錄 有限群常用結果集萃 313
l 和單群有關的結果 313
2 和抽象群有關的結果 3l?
3 和有限p-群有關的結果 318
4 和置換群有關的結果 320
5 進一步閱讀的書目 325
習題提示 330
參考文獻 357
索引 364
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》已出版書目 37l
第1 章群論的基本概念
閱讀提示:本章是群論最基本的知識,學習本書者應該仔細研讀,并做大部分習題.
本章是對抽象代數(shù)課程中已經(jīng)學過的群論的基本概念進行復習和補充.因此,很多結果不再給出證明.
1.1 群的定義
定義1.1.1稱非空集合G為一個群,如果在G中定義了一個二元運算,叫做乘法,它滿足
(1)結合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;
(2)存在單位元素：存在1∈ G, 使得對任意的a ∈ G, 恒有
1a=a1=a;
(3)存在逆元素：對任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G, 使得
aa.1 =a.1 a =1.
定義一個群有多種不同的方式.例如,上述條件(2),(3)可以分別減弱為(a1=(2a.)); 存在左(右)單位元素：存在1∈ G, 使得對任意的a ∈ G,有1a=a
(3.)存在左(右)逆元素：對任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G,使得a.1a =1
(aa.1 =1).則條件(1),(2.)和(3.)亦可定義一個群.又,我們有定義1.1.2稱非空集合G為一個群,如果在G中定義了一個二元運算,叫
做乘法. 它滿足
(1)結合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;
(4)對任意的a,b∈ G,存在x,y∈ G,滿足ax=b和ya=b.更多的定義群的方法可以參看[45].定義1.1.3如果群G滿足
(5)交換律：ab=ba,a,b∈ G,則稱G為交換群或Abel群.
在我們熟悉的基本數(shù)系,即正整數(shù)系N、整數(shù)系Z、有理數(shù)系Q、實數(shù)系R和
復數(shù)系C中就可以找到很多群的例子,而且它們都是交換群.例1.1.4Z對加法成群(Z,+).例1.1.5任一數(shù)域F對加法成群(F,+).特別地,(Q,+),(R,+),(C,+)
是群.例1.1.6任一數(shù)域F的非零元素集合F# 對乘法成群(F# ,).特別地,(Q# ,),(R# ,),(C# , ) 是群. ?
???
例1.1.7正有理數(shù)集Q+ 和正實數(shù)集R+ 對乘法成群(Q+ ,),(R+ ,).例1.1.8模為1的全體復數(shù)對乘法成群C1.??
例1.1.9設n為正整數(shù),n次單位根的全體對乘法組成群Un,并且∞Un =
n=1
U 對乘法也成群. 容易證明, 由數(shù)組成的所有有限乘法群都是U 的子群.
例1.1.10整數(shù)環(huán)Z關于理想(n)的同余類環(huán)Zn=Z/(n)對加法成群
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