目　錄

01

第1　章 行列式..............1

1.1　行列式的基本概念 . ................　1

1.1.1　二階、三階行列式.................　1

1.1.2　排列及其逆序數(shù)....................4

1.1.3　n 階行列式...........................5

同步習(xí)題1.1...................................8

1.2　行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用 . ..........9

1.2.1　行列式的性質(zhì).......................9

1.2.2　行列式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.......　13

同步習(xí)題1.2.................................　15

1.3　行列式的典型計(jì)算方法 .........　16

1.3.1　上（下）三角形法 ..............　16

1.3.2　降階法...............................　17

1.3.3　升階法...............................　19

1.3.4　拆分法..............................　21

1.3.5　遞推法...............................22

同步習(xí)題1.3.................................24

1.4　克拉默法則 ........................25

同步習(xí)題1.4.................................29

1.5　運(yùn)用MATLAB 計(jì)算行列式....30

1.5.1　MATLAB 簡(jiǎn)介...................30

1.5.2　用MATLAB 計(jì)算行列式....　31

第1　章思維導(dǎo)圖...........................32

第1　章總復(fù)習(xí)題·基礎(chǔ)篇...............33

第1　章總復(fù)習(xí)題·提高篇...............35

第2　章 矩陣.............　38

2.1　矩陣的基本概念 ..................38

2.1.1　引例..................................38

2.1.2　矩陣的定義........................39

2.1.3　幾種特殊矩陣.....................40

同步習(xí)題2.1.................................42

2.2　矩陣的運(yùn)算 .......................42

2.2.1　矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算.................43

2.2.2　線(xiàn)性變換與矩陣乘法..........44

2.2.3　矩陣的轉(zhuǎn)置........................49

2.2.4　方陣的行列式....................　51

2.2.5　伴隨矩陣...........................52

同步習(xí)題2.2................................52

2.3　初等變換與初等矩陣 ............53

2.3.1　矩陣的初等變換.................54

2.3.2　初等矩陣...........................55

同步習(xí)題2.3................................58

2.4　逆矩陣..............................59

2.4.1　逆矩陣的定義.....................59

2.4.2　矩陣可逆的充分必要

條件..................................　61

2.4.3　矩陣之間的等價(jià)關(guān)系..........62

2.4.4　解矩陣方程.......................65

同步習(xí)題2.4................................67

目　錄

02

2　線(xiàn)性代數(shù)（慕課版 第2版）

2.5　矩陣的秩...........................68

2.5.1　矩陣的秩的定義.................68

2.5.2　矩陣的秩的性質(zhì).................69

2.5.3　矩陣的秩的相關(guān)結(jié)論..........　71

同步習(xí)題2.5................................72

2.6　分塊矩陣 ..........................73

2.6.1　分塊矩陣的定義.................74

2.6.2　分塊矩陣的運(yùn)算.................74

2.6.3　分塊對(duì)角矩陣....................76

同步習(xí)題2.6................................79

2.7　運(yùn)用MATLAB 進(jìn)行矩陣

運(yùn)算　................................80

2.7.1　矩陣的加法........................80

2.7.2　矩陣的乘法、數(shù)乘、冪.......　81

2.7.3　求矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣..............　81

2.7.4　求矩陣的逆矩陣.................　81

2.7.5　求矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣.......82

第2　章思維導(dǎo)圖..........................83

第2　章總復(fù)習(xí)題·基礎(chǔ)篇...............84

第2　章總復(fù)習(xí)題·提高篇...............86

03

第3　章 向量與向量

空間.............　89

3.1　n 維向量及其線(xiàn)性運(yùn)算 ..........89

3.1.1　n 維向量的定義..................89

3.1.2　n 維向量的線(xiàn)性運(yùn)算...........90

同步習(xí)題3.1.................................　91

3.2　向量組的線(xiàn)性關(guān)系................　91

3.2.1　向量組的線(xiàn)性組合..............92

3.2.2　向量組的等價(jià)....................93

3.2.3　線(xiàn)性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用.......94

3.2.4　向量組線(xiàn)性相關(guān)性的定義....94

3.2.5　向量組線(xiàn)性相關(guān)性的性質(zhì)....95

3.2.6　向量組線(xiàn)性相關(guān)性的判定....97

同步習(xí)題3.2................................99

3.3　極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和秩............101

3.3.1　向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和

秩的定義.........................　101

3.3.2　向量組的秩和矩陣的秩的

關(guān)系................................　102

同步習(xí)題3.3..............................104

3.4　向量空間 ........................　105

3.4.1　向量空間的定義...............　105

3.4.2　過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換........　106

同步習(xí)題3.4..............................108

3.5　向量的內(nèi)積 .....................　109

3.5.1　向量的內(nèi)積的定義............109

3.5.2　向量組的正交規(guī)范化........　110

3.5.3　正交矩陣.........................　112

同步習(xí)題3.5..............................　112

3.6　運(yùn)用MATLAB 解決向量

問(wèn)題　...............................113

3.6.1　判斷向量組的線(xiàn)性

相關(guān)性............................　113

3.6.2　求極大無(wú)關(guān)組..................　113

3.6.3　將向量組正交規(guī)范化........　114

第3　章思維導(dǎo)圖.........................115

第3　章總復(fù)習(xí)題·基礎(chǔ)篇..............116

第3　章總復(fù)習(xí)題·提高篇..............117

04

第4　章 線(xiàn)性方程組....　120

4.1　齊次線(xiàn)性方程組.................　120

4.1.1　引例................................　120

4.1.2　齊次線(xiàn)性方程組解的

性質(zhì)................................　121

4.1.3　齊次線(xiàn)性方程組的

基礎(chǔ)解系.........................　121

同步習(xí)題4.1...............................　125

4.2　非齊次線(xiàn)性方程組..............　127

4.2.1　非齊次線(xiàn)性方程組的基本

概念................................　127

4.2.2　非齊次線(xiàn)性方程組解的

性質(zhì)................................　128

4.2.3　非齊次線(xiàn)性方程組的

解法................................　128

同步習(xí)題4.2..............................　133

4.3　線(xiàn)性方程組的應(yīng)用..............　135

4.3.1　向量組與線(xiàn)性方程組.........　135

4.3.2　利用線(xiàn)性方程組解的理論

求解線(xiàn)性方程組...............　137

4.3.3　矩陣方程與線(xiàn)性方程組.....138

4.3.4　同解與公共解..................140

4.3.5　線(xiàn)性方程組的應(yīng)用............142

同步習(xí)題4.3..............................　145

4.4　運(yùn)用MATLAB 求解線(xiàn)性

方程組............................　147

4.4.1　求解齊次線(xiàn)性方程組.........　147

4.4.2　求解非齊次線(xiàn)性方程組.....　147

第4　章思維導(dǎo)圖........................　149

第4　章總復(fù)習(xí)題·基礎(chǔ)篇.............　150

第4　章總復(fù)習(xí)題·提高篇..............151

05

第5　章 矩陣的特征值與

特征向量......　154

5.1　特征值與特征向量..............　154

5.1.1　特征值與特征向量的

定義................................　154

5.1.2　特征值與特征向量的

性質(zhì)................................　157

同步習(xí)題5.1...............................　160

5.2　相似矩陣..........................161

5.2.1　相似矩陣的定義及性質(zhì).....　161

5.2.2　方陣的相似對(duì)角化............　163

同步習(xí)題5.2..............................　166

5.3　實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及其正交相似

對(duì)角化　............................　168

5.3.1　實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與

特征向量.........................　168

5.3.2　實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似

對(duì)角化............................　168

同步習(xí)題5.3..............................　173

4　線(xiàn)性代數(shù)（慕課版 第2版）

5.4　運(yùn)用MATLAB 求解矩陣

問(wèn)題...............................　174

5.4.1　求特征值與特征向量.........　174

5.4.2　矩陣相似對(duì)角化的判斷.....　175

第5　章思維導(dǎo)圖........................　177

第5　章總復(fù)習(xí)題·基礎(chǔ)篇.............　178

第5　章總復(fù)習(xí)題·提高篇.............　179

06

第6　章 二次型.........　182

6.1　二次型及其矩陣表示............　182

6.1.1　二次型的定義...................　182

6.1.2　二次型及其矩陣...............183

同步習(xí)題6.1...............................　185

6.2　二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.................　185

6.2.1　利用正交變換法化二次型為

標(biāo)準(zhǔn)形............................　185

6.2.2　利用配方法化二次型為

標(biāo)準(zhǔn)形............................189

同步習(xí)題6.2..............................190

6.3　正定二次型.......................　190

6.3.1　正定二次型的定義............190

6.3.2　赫爾維茨定理..................　191

同步習(xí)題6.3..............................193

6.4　用MATLAB 進(jìn)行二次型的

運(yùn)算...............................　193

6.4.1　化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形............193

6.4.2　正定二次型的判定............194

第6　章思維導(dǎo)圖........................　194

第6　章總復(fù)習(xí)題·基礎(chǔ)篇.............　195

第6　章總復(fù)習(xí)題·提高篇.............　196

附錄

附錄1　線(xiàn)性代數(shù)中的數(shù)學(xué)建模.....　199

附錄2　全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽線(xiàn)性代數(shù)

題目選編......................203