Calabi�瞃au三角范疇中扭對(duì)的分類及其應(yīng)用前言前言扭理論作為t�步Y(jié)構(gòu)與叢傾斜子范疇的推廣，是代數(shù)表示論中一個(gè)重要的研究課題，也是代數(shù)和幾何領(lǐng)域一類重要的研究對(duì)象。它在幫助我們理解三角范疇的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何結(jié)構(gòu)方面起到重要的作用，因而對(duì)三角范疇中的扭對(duì)進(jìn)行分類具有重要的意義。本書圍繞有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇這三類特殊的三角范疇展開(kāi)闡述，利用幾何模型，用組合理論的方法研究三角范疇中的扭對(duì)分類及其應(yīng)用。本書可供從事代數(shù)表示論領(lǐng)域的科研人員了解三角范疇、AR箭圖、扭理論、特殊三角范疇(包括有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇)的幾何模型等，以及扭對(duì)分類的方法及其應(yīng)用。本書共分為9章，第1章為扭理論簡(jiǎn)介，主要介紹扭理論的研究背景和研究扭理論的意義，并介紹了有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇的研究現(xiàn)狀和趨勢(shì)。第2章給出本書需要用到的一些基本的定義和結(jié)果。我們主要回顧一些關(guān)于加法范疇、阿貝爾范疇、三角范疇的預(yù)備知識(shí)，給出扭理論、叢結(jié)構(gòu)、有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、叢范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇的相關(guān)概念和主要結(jié)果，同時(shí)介紹了本書一些常用的記號(hào)，為后面章節(jié)的學(xué)習(xí)做鋪墊。第3章介紹有限2�睠alabi�瞃au三角范疇中的扭理論及其應(yīng)用，主要研究An,t和Dn,t(帶極大剛性對(duì)象而非叢傾斜對(duì)象的有限2�睠alabi�瞃au三角范疇)中扭對(duì)的幾何刻畫，計(jì)算出扭對(duì)的個(gè)數(shù)，并且將所有扭對(duì)的heart進(jìn)行分類。另外，我們研究了An,t和Dn,t中不可分解剛性對(duì)象的性質(zhì)，分別定義了An,t和Dn,t上叢復(fù)形(cluster complex)的概念，證明了存在從An,t和Dn,t的叢復(fù)形到Bn型根系的叢復(fù)形的同構(gòu)。在這個(gè)同構(gòu)下，An,t和Dn,t中極大剛性對(duì)象對(duì)應(yīng)到Bn型根系的極大相容子集。其中包含我們已經(jīng)發(fā)表的文章中的結(jié)論。第4章重點(diǎn)介紹高階叢范疇中的扭理論及其應(yīng)用，包含A型高階叢范疇和D型高階叢范疇。對(duì)于A型m�矃卜懂�，我們利用其幾何模型，將余扭對(duì)完全分類。當(dāng)m=1時(shí)，該結(jié)論推廣了Holm�睯�irgensen�睷ubey關(guān)于經(jīng)典A型叢范疇上扭對(duì)的分類。同樣的，對(duì)于D型m�矃卜懂�，我們利用其幾何模型，將m為奇數(shù)時(shí)的D型m�矃卜懂犞械呐�對(duì)完全分類。當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，仍然是一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題，目前還沒(méi)有相應(yīng)扭對(duì)分類的結(jié)果。第5章介紹高階叢范疇中扭對(duì)分類的應(yīng)用，在第4章扭對(duì)分類完成的基礎(chǔ)上，將A型和D型高階叢范疇中的高階剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類(注意對(duì)于D型，仍然只能將m為奇數(shù)時(shí)的D型m�矃卜懂犞械母唠A剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類)�；氐浇�(jīng)典叢范疇中，該結(jié)論包含了m=1時(shí)經(jīng)典叢范疇中扭對(duì)分類的結(jié)果。第6章重點(diǎn)介紹A型叢范疇。我們研究A型叢范疇的幾何模型，在其幾何模型上定義A型的Ptolemy圖，利用該幾何模型，給出A型叢范疇上余扭對(duì)的完全分類。利用該結(jié)論，得到了A型叢范疇中函子有限子范疇、叢傾斜子范疇和t�步Y(jié)構(gòu)以及t�步Y(jié)構(gòu)heart的分類。第7章給出離散型D型無(wú)窮叢范疇的幾何模型，以及包含n個(gè)極限點(diǎn)的D型無(wú)窮叢范疇和完備化的D型無(wú)窮叢范疇的實(shí)現(xiàn)，考慮了D型無(wú)窮叢范疇中弱叢傾斜子范疇的幾何刻畫，為研究離散型D型無(wú)窮叢范疇中扭對(duì)的分類及其應(yīng)用提供可行性分析。最后，給出了一個(gè)弱叢結(jié)構(gòu)的猜想，留給感興趣的讀者。第8章總結(jié)了三角范疇中Grothendieck群常見(jiàn)的計(jì)算方法，與扭對(duì)分類之間的關(guān)系，利用叢傾斜子范疇計(jì)算Grothendieck群的技巧等。給出有限叢范疇，包括A型、D型和E型的Grothendieck群，高階叢范疇包括A型和D型的Grothendieck群，以及A型無(wú)窮叢范疇Grothendieck群的計(jì)算。第9章總結(jié)了前面的主要工作，對(duì)于目前的研究趨勢(shì)進(jìn)行了展望。對(duì)于三角范疇中扭對(duì)分類的研究，正在向無(wú)窮方向發(fā)展：一方面是將無(wú)窮Dynkin型叢范疇得以實(shí)現(xiàn)，并研究其相關(guān)代數(shù)和幾何性質(zhì)；另一方面是將無(wú)窮叢范疇一般化，研究高階無(wú)窮叢范疇的代數(shù)性質(zhì)和幾何結(jié)構(gòu)。未來(lái)在這些無(wú)窮叢范疇的研究中，扭理論可能發(fā)揮著重要的作用。本書是作者在近幾年科研工作和博士研究的基礎(chǔ)上編寫而成的，感謝國(guó)家開(kāi)放大學(xué)的支持和博士生導(dǎo)師朱彬教授的指導(dǎo)和幫助。由于作者水平有限，時(shí)間緊張，書中難免出現(xiàn)疏漏，希望讀者提出寶貴的意見(jiàn)，甚為感謝。著者2023年5月