第一幕 空間的本質(zhì) 第1章　歐幾里得幾何與非歐幾何　2 1.1　歐幾里得幾何與雙曲幾何　2 1.2　球面幾何　5 1.3　球面三角形的角盈　8 1.4　曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何與外在幾何　9 1.5　通過“直性”來構(gòu)作測(cè)地線　12 1.6　空間的本質(zhì)　15 第2章　高斯曲率　18 2.1　引言　18 2.2　圓的周長和面積　20 2.3　局部高斯–博內(nèi)定理　24 第3章　序幕和第一幕的習(xí)題　26 第二幕　度量 第4章　曲面映射：度量　34 4.1　引言　34 4.2　球面的投影地圖　36 4.3　一般曲面上的度量　38 4.4　度量曲率公式　41 4.5　共形地圖　43 4.6　講一點(diǎn)兒可視化的復(fù)分析　45 4.7　球面的共形球極地圖　49 4.8　球極平面投影公式　53 4.9　球極平面投影的保圓性　55 第5章　偽球面和雙曲平面　57 5.1　貝爾特拉米的洞察　57 5.2　曳物線和偽球面　58 5.3　偽球面的共形地圖　61 5.4　貝爾特拉米–龐加萊半平面　62 5.5　利用光學(xué)來求測(cè)地線　65 5.6　平行角　68 5.7　貝爾特拉米–龐加萊圓盤　71 第6章　等距變換和復(fù)數(shù)　74 6.1　引言　74 6.2　默比烏斯變換　76 6.3　主要結(jié)果　82 6.4　愛因斯坦的時(shí)空幾何學(xué)　84 6.5　三維雙曲幾何　90 第7章　第二幕的習(xí)題　96 第三幕　曲率 第8章　平面曲線的曲率　110 8.1　引言　110 8.2　曲率圓　112 8.3　牛頓的曲率公式　113 8.4　作為轉(zhuǎn)向率的曲率　115 8.5　例子：牛頓的曳物線　119 第9章　三維空間中的曲線　121 第10章　曲面的主曲率　124 10.1　歐拉的曲率公式　124 10.2　歐拉的曲率公式的證明　126 10.3　旋轉(zhuǎn)曲面　127 第11章　測(cè)地線和測(cè)地曲率　131 11.1　測(cè)地曲率和法曲率　131 11.2　默尼耶定理　133 11.3　測(cè)地線是“直的”　135 11.4　測(cè)地曲率的內(nèi)蘊(yùn)量度　136 11.5　量度測(cè)地曲率的一個(gè)簡單的外在方法　136 11.6　用透明膠帶構(gòu)作測(cè)地線的一個(gè)新解釋　137 11.7　旋轉(zhuǎn)曲面上的測(cè)地線　138 11.7.1　球面上的克萊羅定理　138 11.7.2　開普勒第二定律　140 11.7.3　牛頓對(duì)開普勒第二定律的幾何證明　142 11.7.4　克萊羅定理的動(dòng)力學(xué)證明　144 11.7.5　應(yīng)用：再看雙曲平面上的測(cè)地線　146 第12章　曲面的外在曲率　149 12.1　引言　149 12.2　球面映射　149 12.3　曲面的外在曲率　151 12.4　哪些形狀是可能的？　154 第13章　高斯的絕妙定理　159 13.1　引言　159 13.2　高斯的漂亮定理（1816年）　159 13.3　高斯的絕妙定理（1827年）　161 第14章　尖刺的曲率　165 14.1　引言　165 14.2　錐形尖刺的曲率　165 14.3　多面角的內(nèi)蘊(yùn)曲率與外在曲率　168 14.4　多面體的絕妙定理　170 第15章　形狀導(dǎo)數(shù)　172 15.1　方向?qū)��?shù)　172 15.2　形狀導(dǎo)數(shù)S　175 15.3　S的幾何效應(yīng)　176 15.4　繞道線性代數(shù)：奇異值分解和轉(zhuǎn)置運(yùn)算的幾何學(xué)　177 15.5　S的一般矩陣　182 15.6　S的幾何解釋和[S]的化簡　184 15.7　[S]由三個(gè)曲率完全確定　186 15.8　漸近方向　187 15.9　經(jīng)典術(shù)語和記號(hào)：三種基本形式　189 第16章　全局高斯博內(nèi)定理，引論　191 16.1　一些拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)與結(jié)果的陳述　191 16.2　球面和環(huán)面的曲率　194 16.2.1　球面的全曲率　194 16.2.2　環(huán)面的全曲率　196 16.3　看一看厚煎餅的K(Sg)　197 16.4　看一看面包圈和橋的K(Sg)　198 16.5　拓?fù)涠群颓蛎嬗成洹?00 16.6　歷史注釋　202 第17章　全局高斯博內(nèi)定理的第一個(gè)證明（啟發(fā)性證明）　203 17.1　平面環(huán)路的全曲率：霍普夫旋轉(zhuǎn)定理　203 17.2　變形圓周的全曲率　206 17.3　霍普夫旋轉(zhuǎn)定理的啟發(fā)性證明　208 17.4　變形球面的全曲率　209 17.5　全局高斯–博內(nèi)定理的啟發(fā)性證明　210 第18章　全局高斯博內(nèi)定理的第二個(gè)證明（利用角盈）　213 18.1　歐拉示性數(shù)　213 18.2　歐拉的（經(jīng)驗(yàn)的）多面體公式　213 18.3　柯西對(duì)歐拉多面體公式的證明　216 18.3.1　攤平了的多面體　216 18.3.2　多邊形網(wǎng)的歐拉示性數(shù)　217 18.4　勒讓德對(duì)歐拉多面體公式的證明　219 18.5　對(duì)曲面增加柄以提高其虧格　222 18.6　全局高斯–博內(nèi)定理的角盈證明　225 第19章　全局高斯博內(nèi)定理的第三個(gè)證明（利用向量場(chǎng)）　227 19.1　引言　227 19.2　平面上的向量場(chǎng)　227 19.3　奇點(diǎn)的指數(shù)　228 19.4　原型奇點(diǎn)：復(fù)冪函數(shù)　231 19.5　曲面上的向量場(chǎng)　234 19.5.1　蜂蜜流向量場(chǎng)　234 19.5.2　蜂蜜流與地形圖的關(guān)系　236 19.5.3　怎樣在曲面上定義奇點(diǎn)指數(shù)？　238 19.6　龐加萊–霍普夫定理　239 19.6.1　例子：拓?fù)淝蛎妗?39 19.6.2　龐加萊–霍普夫定理的證明　241 19.6.3　應(yīng)用：歐拉–呂以利埃公式的證明　243 19.6.4　龐加萊的微分方程與霍普夫的線場(chǎng)的比較　244 19.7　全局高斯–博內(nèi)定理的向量場(chǎng)證明　249 19.8　往前的路怎么走？　253 第20章　第三幕的習(xí)題　255 第四幕　平行移動(dòng) 第21章　一個(gè)歷史謎團(tuán)　268 第22章　外在的構(gòu)作　270 22.1　一邊前進(jìn)，一邊向曲面投影　270 22.2　測(cè)地線和平行移動(dòng)　273 22.3　馬鈴薯削皮器的移動(dòng)　274 第23章　內(nèi)蘊(yùn)的構(gòu)作　278 23.1　沿測(cè)地線的平行移動(dòng)　278 23.2　內(nèi)蘊(yùn)（即“協(xié)變”）導(dǎo)數(shù)　279 第24章　和樂性　283 24.1　例子：球面　283 24.2　一般的測(cè)地線三角形的和樂性　285 24.3　和樂性是可加的　286 24.4　例子：雙曲平面　287 第25章　絕妙定理的一個(gè)直觀幾何證明　291 25.1　引言　291 25.2　關(guān)于記號(hào)和定義的一些說明　292 25.3　至今所知的故事　293 25.4　球面映射保持平行移動(dòng)不變　294 25.5　再說漂亮定理和絕妙定理　295 第26章　全局高斯博內(nèi)定理的第四個(gè)證明（利用和樂性）　297 26.1　引言　297 26.2　沿一條開曲線的和樂性？　297 26.3　霍普夫?qū)θ�局高斯–博內(nèi)定理的內(nèi)蘊(yùn)證明　299 第27章　度量曲率公式的幾何證明　301 27.1　引言　301 27.2　向量場(chǎng)圍繞回路的環(huán)流量　303 27.3　排練：平面上的和樂性　304 27.4　和樂性作為地圖中由度量定義的向量場(chǎng)的環(huán)流量　306 27.5　度量曲率公式的幾何證明　309 第28章　曲率是相鄰測(cè)地線之間的作用力　310 28.1　雅可比方程簡介　310 28.1.1　零曲率：平面　310 28.1.2　正曲率：球面　312 28.1.3　負(fù)曲率：偽球面　314 28.2　雅可比方程的兩個(gè)證明　315 28.2.1　測(cè)地極坐標(biāo)　315 28.2.2　相對(duì)加速度=速度的和樂性　318 28.3　小測(cè)地圓的周長和面積　320 第29章　黎曼曲率　322 29.1　引言和概要　322 29.2　n 流形上的角盈　323 29.3　平行移動(dòng)：三種構(gòu)作方法　325 29.3.1　定角錐上的最近向量　325 29.3.2　在平行移動(dòng)平面內(nèi)的定角　326 29.3.3　希爾德的梯子　327 29.4　內(nèi)蘊(yùn)（又稱“協(xié)變”）導(dǎo)數(shù)rv　327 29.5　黎曼曲率張量　329 29.5.1　繞一個(gè)小“平行四邊形”的平行移動(dòng)　329 29.5.2　用向量換位子把這個(gè)“平行四邊形”封閉起來　331 29.5.3　黎曼曲率的一般公式　332 29.5.4　黎曼曲率是一個(gè)張量　334 29.5.5　黎曼張量的分量　336 29.5.6　對(duì)于固定的wo，向量的和樂性只依賴于回路所在的平面及其所圍面積　337 29.5.7　黎曼張量的對(duì)稱性　338 29.5.8　截面曲率　340 29.5.9　關(guān)于黎曼張量起源的歷史注記　341 29.6　n 維流形的雅可比方程　343 29.6.1　截面雅可比方程的幾何證明　343 29.6.2　截面雅可比方程的幾何意義　345 29.6.3　雅可比方程和截面雅可比方程的計(jì)算證明　346 29.7　里奇張量　347 29.7.1　由一束測(cè)地線包圍的面積的加速度　347 29.7.2　里奇張量的定義和幾何意義　349 29.8　終曲　351 第30章　愛因斯坦的彎曲時(shí)空　352 30.1　引言：“我一生中最快樂的想法”　352 30.2　引力的潮汐力　354 30.3　牛頓引力定律的幾何形式　358 30.4　時(shí)空的度量　360 30.5　時(shí)空的圖示　362 30.6　愛因斯坦的真空?qǐng)龇匠痰膸缀涡问健?63 30.7　施瓦氏解和愛因斯坦理論的最初驗(yàn)證　366 30.8　引力波　371 30.9　愛因斯坦的（有物質(zhì)的）場(chǎng)方程的幾何形式　374 30.10　引力坍縮成為黑洞　377 30.11　宇宙學(xué)常數(shù)：“我一生中最嚴(yán)重的錯(cuò)誤”　381 30.12　結(jié)束語　383 第31章　第四幕的習(xí)題　384 第五幕　形式 第32章　1-形式　394 32.1　引言　394 32.2　1-形式的定義　395 32.3　1-形式的例子　397 32.3.1　引力做功的1-形式　397 32.3.2　引力做功1-形式的可視化　398 32.3.3　等高線圖和梯度1-形式　399 32.3.4　行向量　402 32.3.5　狄拉克符號(hào)（左矢）　402 32.4　基底1-形式　403 32.5　1-形式的分量　404 32.6　梯度df是1-形式　405 32.6.1　復(fù)習(xí)：梯度 f是一個(gè)向量　405 32.6.2　梯度df是一個(gè)1-形式　406 32.6.3　1-形式的笛卡兒基{dxj}　407 32.6.4　df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解釋　408 32.7　1-形式加法的幾何解釋　408 第33章　張量　411 33.1　張量的定義：階　411 33.2　例子：線性代數(shù)　412 33.3　從原有的張量做出新張量　412 33.3.1　加法　412 33.3.2　乘法：張量積　413 33.4　分量　413 33.5　度量張量與經(jīng)典線元的關(guān)系　414 33.6　例子：再看線性代數(shù)　415 33.7　縮并　416 33.8　用度量張量來改變張量的階　417 33.9　對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量　419 第34章　2-形式　421 34.1　2-形式和p-形式的定義　421 34.2　例子：面積2-形式　422 34.3　兩個(gè)1-形式的楔積　423 34.4　極坐標(biāo)下的面積2-形式　426 34.5　基底2-形式及投影　427 34.6　2-形式與R3中向量的聯(lián)系：流量　429 34.7　R3中向量積與楔積的關(guān)系　431 34.8　法拉第的電磁2-形式與麥克斯韋的電磁2-形式　433 第35章　3-形式　439 35.1　3-形式需要三個(gè)維度　439 35.2　一個(gè)2-形式與一個(gè)1-形式的楔積　439 35.3　體積3-形式　440 35.4　球極坐標(biāo)中的3-形式　441 35.5　三個(gè)1-形式的楔積，p個(gè)1-形式的楔積　442 35.6　基底3-形式　444 35.7　Ψ^Ψ≠0可能嗎？　445 第36章　微分學(xué)　446 36.1　1-形式的外導(dǎo)數(shù)　446 36.2　2-形式和p-形式的外導(dǎo)數(shù)　448 36.3　形式的萊布尼茨法則　449 36.4　閉形式和恰當(dāng)形式　450 36.4.1　基本結(jié)果：d2=0　450 36.4.2　閉形式和恰當(dāng)形式　450 36.4.3　復(fù)分析：柯西–黎曼方程　451 36.5　用形式做向量運(yùn)算　452 36.6　麥克斯韋方程組　456 第37章　積分學(xué)　459 37.1　1-形式的線積分　459 37.1.1　環(huán)流和功　459 37.1.2　與路徑的無關(guān)性<=>閉合環(huán)路積分為零　460 37.1.3　恰當(dāng)形式φ=df的積分　461 37.2　外導(dǎo)數(shù)是一個(gè)積分　461 37.2.1　1-形式的外導(dǎo)數(shù)　461 37.2.2　2-形式的外導(dǎo)數(shù)　465 37.3　外微積分基本定理（廣義斯托克斯定理）　467 37.3.1　外微積分基本定理　467 37.3.2　相伴的歷史問題　467 37.3.3　例子：面積　468 37.4　邊界的邊界是零　468 37.5　向量微積分的經(jīng)典積分定理　469 37.5.1　Φ=0-形式　469 37.5.2　Φ=1-形式　470 37.5.3　Φ=2-形式　471 37.6　外微積分基本定理的證明　471 37.7　柯西定理　474 37.8　1-形式的龐加萊引理　474 37.9　德拉姆上同調(diào)初步　475 37.9.1　引言　475 37.9.2　一個(gè)特殊的二維渦旋向量場(chǎng)　476 37.9.3　渦旋1-形式是閉的　477 37.9.4　渦旋1-形式的幾何意義　477 37.9.5　閉1-形式的環(huán)流的拓?fù)浞�(wěn)定性　478 37.9.6　第一德拉姆上同調(diào)群　480 37.9.7　R3中的平方反比點(diǎn)源　482 37.9.8　第二德拉姆上同調(diào)群　483 37.9.9　環(huán)面的第一德拉姆上同調(diào)群　485 第38章　用形式來講微分幾何　488 38.1　引言：嘉當(dāng)?shù)幕顒?dòng)標(biāo)架法　488 38.2　聯(lián)絡(luò)1-形式　490 38.2.1　關(guān)于符號(hào)的約定和兩個(gè)定義　490 38.2.2　聯(lián)絡(luò)1-形式　491 38.2.3　注意：以前習(xí)慣的記號(hào)　493 38.3　姿態(tài)矩陣　494 38.3.1　通過姿態(tài)矩陣來講連絡(luò)形式　494 38.3.2　例子：柱面標(biāo)架場(chǎng)　495 38.4　嘉當(dāng)?shù)膬蓚�(gè)結(jié)構(gòu)方程　498 38.4.1　用ej的對(duì)偶dxj來表示mi的對(duì)偶θi　498 38.4.2　嘉當(dāng)?shù)谝唤Y(jié)構(gòu)方程　498 38.4.3　嘉當(dāng)?shù)诙�結(jié)構(gòu)方程　499 38.4.4　例子：球面標(biāo)架場(chǎng)　500 38.5　曲面的6個(gè)基本形式方程　505 38.5.1　使嘉當(dāng)?shù)幕顒?dòng)標(biāo)架適用于曲面：形狀導(dǎo)數(shù)與外在曲率　505 38.5.2　例子：球面　507 38.5.3　基底分解的唯一性　508 38.5.4　曲面的6個(gè)基本形式方程　509 38.6　對(duì)稱性方程和彼得松–梅納第–科達(dá)齊方程的幾何意義　510 38.7　高斯方程的幾何形式　511 38.8　度量曲率公式和絕妙定理的證明　512 38.8.1　引理：ω12的唯一性　512 38.8.2　度量曲率公式的證明　512 38.9　一個(gè)新的公式　514 38.10　希爾伯特引理　514 38.11　利布曼的剛性球面定理　515 38.12　n 流形的曲率2-形式　517 38.12.1　引言和概述　517 38.12.2　廣義外導(dǎo)數(shù)　519 38.12.3　由曲率2-形式導(dǎo)出黎曼張量　520 38.12.4　再論比安基恒等式　521 38.13　施瓦西黑洞的曲率　522 第39章　第五幕的習(xí)題　528 人名索引　541 術(shù)語索引　546