《從空間曲線(xiàn)到高斯-博內(nèi)定理》共分四個(gè)部分,十個(gè)章節(jié),是論述空間曲線(xiàn)和曲面理論的一本入門(mén)讀物。
第一部分闡明了本書(shū)使用的數(shù)學(xué)工具:向量的代數(shù)運(yùn)算以及變向量的求導(dǎo)運(yùn)算。第二部分討論了曲線(xiàn)的基本概念,引入了弧長(zhǎng)參數(shù),也討論了描述空間曲線(xiàn)變化的曲率與撓率這兩個(gè)幾何量。最后，證明了弗雷內(nèi)-塞雷公式,并以此證明了曲線(xiàn)的基本定理:曲線(xiàn)的形狀是由它的曲率與撓率決定的。第三部分主要討論的是曲面上的三個(gè)基本形式以及曲面上的一些曲率。同時(shí)也討論了曲面上的一些方程式,引入了黎曼曲率張量,并以此證明了高斯的“最了不起定理”。
第四部分討論了曲面上的測(cè)地線(xiàn),測(cè)地方程,以及歐拉公式,羅德里格斯公式,與恩尼珀定理等。在本書(shū)的最后一章——第十章中,證明了計(jì)算測(cè)地曲率的劉維爾公式,并用它證明了閉曲面的高斯-博內(nèi)定理。據(jù)此,引入閉曲面的歐拉示性數(shù),證明它是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞俊?