１．加法

計(jì)數(shù)一、二、三、四，或者 １（ｕｎｏ）、２（ｄｏｓ）、３（ｔｒｅｓ）、４（ｃｕａｔｒｏ）（或任何語(yǔ)言）；或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ或 １、２、３、４或任何符號(hào)可能是人類的第一個(gè)理論數(shù)學(xué)活動(dòng)．

它是理論性的，因?yàn)樗�脫離了實(shí)體，無(wú)論這些被計(jì)數(shù)的實(shí)體是什么．牧羊人首先堆起鵝卵石，每塊石頭表示放

一只羊出去吃草，然后當(dāng)羊回到羊圈時(shí)，再把石頭一個(gè)一個(gè)地扔掉，這是在演示一種實(shí)用的數(shù)學(xué)行為

創(chuàng)建一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系．但這一行為僅僅是實(shí)踐，沒(méi)有伴隨任何理論．

本書(shū)關(guān)注的是接下來(lái)可能被發(fā)現(xiàn)（或發(fā)明）的數(shù)學(xué)活動(dòng)加法．

我們 可能認(rèn)為加法是原始的或簡(jiǎn)單的，即使小孩子都能明白．然而，片刻的反思將使你相信，人類必須付出巨大的努力才能構(gòu)思出一個(gè)抽象的加法理論．在 數(shù)字出現(xiàn)之前，人們不能把兩個(gè)數(shù)相加，并且純數(shù)的形成是復(fù)雜的，因?yàn)樗?涉及抽象的邏輯． 你可能想要直接學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意義上的加法并且跳過(guò)本節(jié)的其余部分，或 者揣測(cè)出

一些與數(shù)學(xué)概念和實(shí)踐相關(guān)的哲學(xué)問(wèn)題，正如本書(shū)的主題所示．那 些對(duì)這些哲學(xué)問(wèn)題有鑒賞力的人可以享受以下極其簡(jiǎn)短的概述． 也許這種純數(shù)的抽象概念是通過(guò)計(jì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)形成的．一旦有了一系列 的數(shù)字詞匯，你就可以第一天數(shù)斧頭，第二天數(shù)綿羊，第三天數(shù)蘋(píng)果．過(guò)了一 段時(shí)間后，你只需要列舉那些單詞，而不管任何特定被計(jì)數(shù)的事物，然后你 可能會(huì)無(wú)意中發(fā)現(xiàn)純數(shù)的概念．

更有可能的是，算術(shù)和抽象的數(shù)字概念是同時(shí)發(fā)展起來(lái)的．

一種理解數(shù)、計(jì)數(shù)和加法概念困難程度的方法是看數(shù)學(xué)哲學(xué)，直到今 天，數(shù)學(xué)哲學(xué)還沒(méi)有給數(shù)下一個(gè)能被人們普遍接受的定義．古希臘哲學(xué)家 甚至不認(rèn)為數(shù) １是一個(gè)數(shù)字，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)，數(shù)字是我們數(shù)出來(lái)的，沒(méi)有人 會(huì)對(duì)數(shù)１，句號(hào)感到困惑．

除了提到的一類問(wèn)題外，我們不會(huì)談更多非常困難的數(shù)學(xué)哲學(xué)．伊曼努 爾·康德和他的追隨者非常關(guān)注加法，以及如何在哲學(xué)上證明加法的運(yùn)算． 康德聲稱有先驗(yàn)人造真理，它們是真實(shí)的，我們可以在獲得任何可能的經(jīng) 驗(yàn)之前知道它是真的，但它的真實(shí)性并不依賴于詞語(yǔ)的純粹意義．例如，語(yǔ) 句單身漢沒(méi)有妻子是真的，無(wú)須任何經(jīng)驗(yàn)來(lái)保證它的正確，因?yàn)樗�是�?身漢的定義沒(méi)有妻子的一部分．這樣的真理稱為先驗(yàn)分析．康德聲稱， 五加七等于十二是毋庸置疑的真理，無(wú)須任何經(jīng)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證它的真實(shí)性，但 它是人工的，因?yàn)椋�康德聲稱）十二的概念與五七和加的概念 在邏輯上并沒(méi)有關(guān)聯(lián)或暗示．通過(guò)這種方式，康德可以用算術(shù)來(lái)證明先驗(yàn)存 在的人工真理，然后可以繼續(xù)考慮其他類似的真理，這些真理后來(lái)出現(xiàn)在他 的哲學(xué)中．

相反，其他哲學(xué)家，如伯特蘭·羅素認(rèn)為，數(shù)學(xué)真理都是分析性的．這些 哲學(xué)家常常認(rèn)為邏輯先于數(shù)學(xué)．這里還有一種觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是后驗(yàn) 的，即它們依賴于經(jīng)驗(yàn)．這似乎是路德維希·維特根斯坦的觀點(diǎn)．顯然，在喬 治·奧威爾的小說(shuō)《１９８４》中，統(tǒng)治者們也有這樣的觀點(diǎn)：他們能使戰(zhàn)敗的 英雄堅(jiān)信二加二等于五．

數(shù)學(xué)哲學(xué)是極其復(fù)雜、專業(yè)和難以理解的．在 ２０世紀(jì)期間，它變得越來(lái) 越備受爭(zhēng)議．奎因?qū)Ψ治霆簿C合的區(qū)別提出了全面質(zhì)疑．真理的概念（這個(gè)概 念一直是一個(gè)很難解決的問(wèn)題）變得越來(lái)越復(fù)雜．時(shí)至今日，對(duì)涉及數(shù)字及 其性質(zhì)的任何事物，哲學(xué)家們達(dá)成一致的看法并不多．幸運(yùn)的是，我們不需要選取這些哲學(xué)問(wèn)題，而是去欣賞數(shù)學(xué)家們發(fā)展的一些關(guān)于數(shù)字的漂亮理 論．我們都對(duì)數(shù)字是什么有一些直觀的理解，這種理解似乎就足以發(fā)展出關(guān) 于數(shù)字的既沒(méi)有矛盾又十分重要的定理的概念．通過(guò)人工或計(jì)算機(jī)做算術(shù) 來(lái)測(cè)試這些定理，就可以滿意地看到定理是有效的．

２．有趣的求和

本書(shū)分為 ３部分：第一部分需要你懂得高等代數(shù)和笛卡兒坐標(biāo)的基本知 識(shí)，除了少數(shù)幾個(gè)地方，基本上沒(méi)有超出這個(gè)范圍．在這一部分，我們將提出 以下問(wèn)題：

• �S １＋２＋３＋… ＋ｋ的和有沒(méi)有一個(gè)簡(jiǎn)短公式？ �S
• 如何求 １^２ ＋２^２ ＋３^２ ＋… ＋ｋ^２的和？ �S
• 我們可以更大膽地提出，若 ｎ為任意整數(shù)，求 １^ｎ＋２^ｎ＋３^ｎ＋… ＋ｋ^ｎ的 簡(jiǎn)式． �S
• 如何求 １＋ａ＋ａ^２ ＋… ＋ａ^ｋ的和？ �S
• 一個(gè)給定的整數(shù) Ｎ是否可以寫(xiě)成完全平方數(shù)、立方數(shù)、ｎ次方數(shù)、三 角形數(shù)、五邊形數(shù)的和？ �S
• 顯然，大于 １的整數(shù)可以寫(xiě)成更小的正整數(shù)之和．我們可以問(wèn)：有多 少種方法可以這么做？ �S
• 如果一個(gè)數(shù)可以寫(xiě)成 ｋ個(gè)平方數(shù)的和，那么可以用多少種不同的方 法來(lái)完成？

我們?yōu)槭裁匆獑?wèn)這些問(wèn)題？因?yàn)檫@些問(wèn)題本身是有趣的和有歷史原因 的，這些問(wèn)題的答案也會(huì)產(chǎn)生漂亮的探究方法和令人驚奇的證明． 在本書(shū)的第二部分，你需要知道一些微積分的知識(shí)．我們將研究無(wú)窮 級(jí)數(shù)，它們是無(wú)限長(zhǎng)的求和，只能用極限的概念來(lái)定義．例如，

１＋２＋３＋… ＝？

這里的圓點(diǎn)表示把求和繼續(xù)下去直到永遠(yuǎn)．很明顯，這個(gè)總數(shù)是沒(méi)有答案的，因?yàn)榭倲?shù)只會(huì)越來(lái)越大．如果我們?cè)敢�，可以把這個(gè)和定義為無(wú)窮大， 但這也只是上一句話的更簡(jiǎn)短的表達(dá)方式．

１＋１＋１＋… ＝？

這個(gè)和也顯然是無(wú)窮大．

該如何計(jì)算

１－１＋１－１＋１－１＋１－… ＝？

現(xiàn)在你可能會(huì)猶豫．歐拉說(shuō)它加起來(lái)的最后結(jié)果是 １/２．

１＋ａ＋ａ^２ ＋… ＝？ 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果 ａ是一個(gè)嚴(yán)格處在－１和 １之間的實(shí)數(shù)，這個(gè)問(wèn)題就有一個(gè) 很好的答案．在學(xué)習(xí)到幾何級(jí)數(shù)時(shí)，你可能已經(jīng)知道這個(gè)答案．我們將擴(kuò) 展代數(shù)運(yùn)算，這樣 ａ就可以為復(fù)數(shù)． 然后可以問(wèn) １＋２^ｎ ＋３^ｎ ＋… ＝？

這里的 ｎ是任意復(fù)數(shù)．這個(gè)答案（一些 ｎ值）給出了一個(gè)關(guān)于 ｎ的被稱為 �� 函數(shù)的函數(shù)． 回到前一步，可以添加系數(shù)：

ｂ_０ ＋ｂ_１ａ＋ｂ_２ａ^２ ＋… ＝？

這就是引入生成函數(shù)概念的背景，這里的 ａ本身是一個(gè)變量．

我們也可以對(duì) �埠瘮�(shù)級(jí)數(shù)添加系數(shù)并考慮如下級(jí)數(shù)

ｃ_１１^ｎ ＋ｃ_２２^ｎ ＋ｃ_３３^ｎ ＋… ＝？

它被稱為狄利克雷級(jí)數(shù)． 這些問(wèn)題和答案促使我們?cè)谶@本書(shū)的第三部分中定義和討論模形式． 令人驚訝的是，模形式如何將前兩部分的主題緊密聯(lián)系在一起．第三部分 將需要你了解一點(diǎn)群論和一些幾何學(xué)知識(shí)，并且比前兩部分要復(fù)雜一些． 本書(shū)的目標(biāo)之一是解釋模形式，它是現(xiàn)代數(shù)論中不可或缺的部分． 在之前的兩本書(shū)中，模形式出現(xiàn)得很少，但對(duì)結(jié)果卻是至關(guān)重要的．在本 書(shū)中，我們想花些篇幅解釋一些關(guān)于模形式的內(nèi)容，盡管只會(huì)觸及這一非 常廣泛和深?yuàn)W的主題的表面．在本書(shū)的結(jié)尾，我們將回顧如何在阿什和格 羅斯（２００６）中使用模形式來(lái)聯(lián)系伽羅瓦表示理論并證明費(fèi)馬大定理，以 及阿什和格羅斯（２０１２）用迷人的 Ｂｉｒｃｈ�玻樱鳎椋睿睿澹颍簦铮瞠玻模�ｅｒ猜想來(lái)描述三次 方程的解． 作為本書(shū)的主題，我們從平方數(shù)的和開(kāi)始，因?yàn)樗�是一個(gè)古老而漂 亮的問(wèn)題，其解是理解模形式的最好方法．現(xiàn)在可以稍微描述一下這個(gè) 問(wèn)題．考慮一個(gè)整數(shù) ｎ，稱 ｎ是一個(gè)平方數(shù)，如果它等于 ｍ^２，這里 ｍ也是一個(gè) 整數(shù)．例如，６４是一個(gè)平方數(shù)，因?yàn)樗�等�?８乘以 ８，但 ６３不是平方數(shù)．注意， 我們將 ０＝０^２定義為一個(gè)平方數(shù)，類似的還有 １＝１２．從列出的 ０，１，２，… 開(kāi) 始，然后依次對(duì)每個(gè)數(shù)進(jìn)行平方，就很容易列出所有平方數(shù)（因?yàn)樨?fù)數(shù)的平 方與它的絕對(duì)值平方是一樣的，所以只需要使用非負(fù)整數(shù)），從而可以列出 所有平方數(shù) ０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００，… 正如你所看到的，越往后面，平方數(shù)之間的間距就越大（證明：相鄰的兩個(gè)平 方數(shù)之間的距離為 （ｍ＋１）^２ －ｍ^２ ＝ｍ^２ ＋２ｍ＋１－ｍ^２ ＝２ｍ＋１，所以距離 會(huì)隨 ｍ變大而變大．注意到這點(diǎn)使我們有更精確的信息：相鄰兩個(gè)平方數(shù)的 差是依順序遞增的正奇數(shù)）．如果用一點(diǎn)不合語(yǔ)法的話，我們可以很學(xué)究地 就說(shuō)平方數(shù)的列表是一個(gè)平方數(shù)的和的列表。

這里產(chǎn)生了一個(gè)更有趣的問(wèn)題：什么是兩個(gè)平方數(shù)的和的列表？你 可以寫(xiě)一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，把這個(gè)列表輸出到某個(gè)極限 Ｎ，你的計(jì)算機(jī)程序至 少可以用兩種不同的方式生成列表．首先，列出直到 Ｎ的所有平方數(shù)；其次：

方法 １：添加你清單上的所有可能的方式．然后按升序排列答案．

方法 ２：把 ｎ從 ０取到 Ｎ并構(gòu)成一個(gè)環(huán)，對(duì)每一個(gè) ｎ，把所有平方數(shù) 之和小于或等于 ｎ的數(shù)對(duì)加起來(lái)看是否能得到 ｎ．如果能， 把 ｎ加入列表，并繼續(xù)轉(zhuǎn)到 ｎ＋１；如果不能，把 ｎ從列表中 刪除，然后轉(zhuǎn)到 ｎ＋１．

注：我們定義 ０是一個(gè)平方數(shù)，所以任何一個(gè)平方數(shù)也是兩個(gè)平方數(shù)的和．例 如，８１＝０^２ ＋９^２．同樣，也允許一個(gè)平方數(shù)被重復(fù)使用，所以任意平方數(shù) 的兩倍都是兩個(gè)平方數(shù)的和．例如，１６２＝９^２ ＋９^２．

運(yùn)行你的程序或者手工添加平方數(shù)．無(wú)論哪種方式，你都會(huì)得到一個(gè)像 下面的兩個(gè)平方數(shù)的和的列表：

０，１，２，４，５，８，９，１０，１３，…

正如你所看到的，并不是每一個(gè)數(shù)字都在列表中，我們也不清楚如何預(yù)測(cè)給 定的數(shù)字是不是兩個(gè)平方數(shù)的和．例如，是否有一種方法可以在不運(yùn)行計(jì)算 機(jī)程序的情況下判斷 １２３４５６７８９８７６５４３２１是否在列表中？現(xiàn)在，你的程序可 能只需要一轉(zhuǎn)眼的工夫就能把所有的平方數(shù)加到 １２３４５６７８９８７６５４３２１，但是 我們可以很容易地寫(xiě)出一個(gè)足夠大的數(shù)字來(lái)減慢計(jì)算機(jī)得出結(jié)果的速度． 更重要的是，我們希望對(duì)問(wèn)題有一個(gè)理論上的回答，它的證明能使我們對(duì)列 表上的數(shù)字和哪些不在列表上的數(shù)字有所了解． 皮埃爾·德·費(fèi)馬在 １７世紀(jì)提出了這個(gè)問(wèn)題，他一定列出了這樣一 個(gè)清單．在 １７世紀(jì)時(shí)沒(méi)有計(jì)算機(jī)，所以他的清單不可能那么長(zhǎng)，但他能猜出哪個(gè)數(shù)字是兩個(gè)平方數(shù)的和的正確答案．在第 ２章中，我們將提供答案， 并用粗略的方式討論證明．因?yàn)檫@本書(shū)不是教科書(shū)，我們不想提供完整的證 明．而是更喜歡講一個(gè)更容易讀懂的故事．如果你愿意，你可以參考我們的 參考資料并找到完整的證明． 一旦你對(duì)這種問(wèn)題感興趣（正如費(fèi)馬那樣，他對(duì)數(shù)論的研究有巨大的 推動(dòng)作用），那么就很容易創(chuàng)造出更多的結(jié)論．哪些數(shù)是三個(gè)平方數(shù)的和？ 四個(gè)平方數(shù)的和？五個(gè)平方數(shù)的和？這個(gè)特定的拼圖列表繼續(xù)下去將失 去意義，因?yàn)�，０作為平方�?shù)，任意四個(gè)平方數(shù)的和也將是五個(gè)、六個(gè)，或任 何更多個(gè)平方數(shù)的和，事實(shí)上，我們將看到，任意一個(gè)正整數(shù)都是四個(gè)平方 數(shù)的和．你也可以問(wèn)：哪些數(shù)是兩個(gè)立方數(shù)的和？三個(gè)立方數(shù)的和？四個(gè)立方 數(shù)的和？等等．然后可以用更高的冪代替立方數(shù)． 你還可以問(wèn)（和歐拉一樣）：任何數(shù)都是四個(gè)平方數(shù)的和．正方形有 ４條 邊．每一個(gè)數(shù)都是 ３個(gè)三角形數(shù)的和、５個(gè)五邊形數(shù)的和嗎，等等．柯西證明 了答案為是． 在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的某個(gè)時(shí)期，發(fā)生了一些非常有創(chuàng)意的事情．?dāng)?shù)學(xué)家 開(kāi)始問(wèn)一個(gè)似乎更難的問(wèn)題．而不是只想知道 ｎ是否可以寫(xiě)成 ２４個(gè)平方數(shù) 的和（例如），我們問(wèn)：有多少種不同的方法可以把 ｎ寫(xiě)成 ２４個(gè)平方數(shù)的和？ 如果方法數(shù)為 ０，則 ｎ不是 ２４個(gè)平方數(shù)的和．但是，如果 ｎ是 ２４個(gè)平方數(shù)的 和，我們得到的信息比僅僅是是或不是的答案要多．事實(shí)證明，這個(gè)更 難的問(wèn)題導(dǎo)致了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具的發(fā)現(xiàn)，這些工具是非常漂亮的，它們的重 要性超越了關(guān)于冪和的難題，它們是生成函數(shù)和模形式理論中的工具．這是 本書(shū)涉及的另一個(gè)主題．