信息在傳輸時(shí)很可能會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。隨著每天通過(guò)電子方式傳輸大量信息,這個(gè)問(wèn)題變得越來(lái)越重要。編碼理論研究打包數(shù)據(jù)的有效方法,以便錯(cuò)誤可以被檢測(cè)甚至糾正。
編碼理論中的傳統(tǒng)工具源于組合學(xué)和群論。由于20世紀(jì)70年代后期Goppa的工作,編碼學(xué)家將代數(shù)幾何的技術(shù)添至其工具箱中。特別地,通過(guò)將Reed-Solomon編碼重新解釋為來(lái)自與射影直線上除子相關(guān)的評(píng)估函數(shù),我們可以了解如何基于其他除子或其他代數(shù)曲線來(lái)定義新的編碼。例如,使用有限域上的模曲線,Tsfasman、Vladut和Zink證明,可以定義一系列編碼,使其具有比任何已知編碼都更好的漸近參數(shù)。
《編碼與曲線(影印版)》基于作者關(guān)于算術(shù)代數(shù)幾何的系列講座。在這里,讀者被引入到激動(dòng)人心的代數(shù)幾何編碼領(lǐng)域。作者使用交談的語(yǔ)氣做闡述,內(nèi)容涵蓋線性碼(包括循環(huán)碼)、編碼參數(shù)的邊界和漸近邊界。書中介紹了代數(shù)幾何,特別關(guān)注了射影曲線、有理函數(shù)和除子,給出代數(shù)幾何編碼的構(gòu)造,討論了上述Tsfasman-Vladut-Zink的結(jié)果。
閱讀該書不需要具備編碼理論或代數(shù)幾何的預(yù)備知識(shí),但假定讀者對(duì)抽象代數(shù)(特別是有限域)有所了解,相關(guān)材料在兩個(gè)附錄中做了回顧。還有一個(gè)附錄介紹了書中未談及的其他編碼項(xiàng)目。
《編碼與曲線(影印版)》適合對(duì)編碼理論、代數(shù)幾何以及這兩個(gè)學(xué)科間的聯(lián)系感興趣的讀者閱讀。
近年來(lái),我國(guó)的科學(xué)技術(shù)取得了長(zhǎng)足進(jìn)步,特別是在數(shù)學(xué)等自然科學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)出一流的研究成果。與此同時(shí),國(guó)內(nèi)的科研隊(duì)伍與國(guó)外的交流合作也越來(lái)越密切,越來(lái)越多的科研工作者可以熟練地閱讀英文文獻(xiàn),并在國(guó)際頂級(jí)期刊發(fā)表英文學(xué)術(shù)文章,在國(guó)外出版社出版英文學(xué)術(shù)著作。
然而,在國(guó)內(nèi)閱讀海外原版英文圖書仍不是非常便捷。一方面,這些原版圖書主要集中在科技、教育比較發(fā)達(dá)的大中城市的大型綜合圖書館以及科研院所的資料室中,普通讀者借閱不甚容易;另一方面,原版書價(jià)格昂貴,動(dòng)輒上百美元,購(gòu)買也很不方便。這極大地限制了科技工作者對(duì)于國(guó)外先進(jìn)科學(xué)技術(shù)知識(shí)的獲取,間接阻礙了我國(guó)科技的發(fā)展。
高等教育出版社本著植根教育、弘揚(yáng)學(xué)術(shù)的宗旨服務(wù)我國(guó)廣大科技和教育工作者,同美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)(American Mathematical Society)合作,在征求海內(nèi)外眾多專家學(xué)者意見的基礎(chǔ)上,精選該學(xué)會(huì)近年出版的數(shù)十種專業(yè)著作,組織出版了“美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)經(jīng)典影印系列”叢書。美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)創(chuàng)建于1888年,是國(guó)際上極具影響力的專業(yè)學(xué)術(shù)組織,目前擁有近30000會(huì)員和580余個(gè)機(jī)構(gòu)成員,出版圖書3500多種,馮,諾依曼、萊夫謝茨、陶哲軒等世界級(jí)數(shù)學(xué)大家都是其作者。本影印系列涵蓋了代數(shù)、幾何、分析、方程、拓?fù)洹⒏怕、?dòng)力系統(tǒng)等所有主要數(shù)學(xué)分支以及新近發(fā)展的數(shù)學(xué)主題。
我們希望這套書的出版,能夠?qū)?guó)內(nèi)的科研工作者、教育工作者以及青年學(xué)生起到重要的學(xué)術(shù)引領(lǐng)作用,也希望今后能有更多的海外優(yōu)秀英文著作被介紹到中國(guó)。
IAS/Park City Mathematics Institute
Preface
Chapter 1.Introduction to Coding Theory
1.1.Overview
1.2.Cyclic Codes
Chapter 2.Bounds on Codes
2.1.Bounds
2.2.Asymptotic Bounds
Chapter 3.Algebraic Curves
3.1.Algebraically Closed Fields
3.2.Curves and the Projective Plane
Chapter 4.Nonsingularity and the Genus
4.1.Nonsingularity
4.2.Genus
Chapter 5.Points, Functions, and Divisors on Curves
Chapter 6.Algebraic Geometry Codes
Chapter 7.Good Codes from Algebraic Geometry
Appendix A.Abstract Algebra Review
A.1.Groups
A.2.Rings, Fields, Ideals, and Factor Rings
A.3.Vector Spaces
A.4.Homomorphisms and Isomorphisms
Appendix B.Finite Fields
B.1.Background and Terminology
B.2.Classification of Finite Fields
B.3.OptionalExercises
Appendix C.Projects
C.1.Dual Codes and Parity Check Matrices
C.2.BCH Codes
C.3.Hamming Codes
C.4.Golay Codes
C.5.MDS Codes
C.6.Nonlinear Codes
Bibliography