《線性代數(shù)》是根據(jù)普通高等教育本科線性代數(shù)課程的教學(xué)基本要求編寫而成的，是福建省精品在線開放課程的同步教材。 全書共分6章，內(nèi)容包括線性方程組與矩陣、行列式、矩陣及其應(yīng)用、向量組的線性相關(guān)性和向量空間、方陣的特征值和特征向量理論、方陣的相似對角化、二次型等。 每章都配有內(nèi)容小結(jié)及習(xí)題，并附有習(xí)題提示或答案。 《線性代數(shù)》以線性方程組為主線，以矩陣的初等變換、矩陣的秩、矩陣的乘法為基本工具，比較自然地闡明了線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法。 《線性代數(shù)》結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯清晰，例題豐富；在內(nèi)容的設(shè)計上循序漸進(jìn)、深入淺出、簡明易懂，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的基本思想與應(yīng)用，在滿足教學(xué)基本要求的前提下，適當(dāng)降低理論推導(dǎo)難度，便于理解和掌握。 與《線性代數(shù)》配套的在線開放課程，適合讀者利用碎片化時間進(jìn)行預(yù)習(xí)、練習(xí)、期末復(fù)習(xí)、考研復(fù)習(xí)或鞏固學(xué)習(xí)。 《線性代數(shù)》可作為高等學(xué)校理工科和經(jīng)濟(jì)管理等各專業(yè)線性代數(shù)課程的教材，也可供自學(xué)者、考研者和工程技術(shù)人員等參考使用。
隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展與數(shù)學(xué)工程軟件的廣泛應(yīng)用,作為處理離散問題與線性問題的線性代數(shù)已成為科學(xué)技術(shù)人才必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。為了幫助學(xué)生更容易學(xué)習(xí)、理解和掌握線性代數(shù)的精髓,掌握相關(guān)的代數(shù)知識,讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)的方法思考、解決實(shí)際問題,本書在以下幾個方面做出積極的探索與實(shí)踐。
(1)加強(qiáng)應(yīng)用背景的引入。本書中安排了一些簡單的案例應(yīng)用,可加強(qiáng)對基本概念和理論背景的了解及應(yīng)用,有助于理論聯(lián)系實(shí)際,幫助學(xué)生理解抽象的代數(shù)概念,進(jìn)而掌握相關(guān)的理論和計算,還有利于拓寬學(xué)生的視野,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用代數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力。
(2)突出以線性方程組和矩陣為主線。從線性方程組的幾何意義和消元法出發(fā),以矩陣的初等變換、矩陣的秩和矩陣乘法運(yùn)算為基本工具,比較自然地闡述線性代數(shù)中一些抽象的、重要的基本概念、基本理論和計算方法;教學(xué)內(nèi)容的安排循序漸進(jìn)、由淺入深、簡明易懂,便于理解和掌握。書中帶*的教學(xué)內(nèi)容或習(xí)題,作為選學(xué)或選做內(nèi)容。
(3)注重課程的系統(tǒng)性和科學(xué)性。既注重去抽象,增強(qiáng)基本概念和基本方法的可讀性,又注意保持理論分析、內(nèi)容結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性;注重突出線性代數(shù)的基本理論、基本思想和基本計算,突出知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與統(tǒng)一;注重知識重點(diǎn)與難點(diǎn)、具體與抽象;課程結(jié)構(gòu)緊湊、難度適中、易學(xué)易懂。
(4)配套省級精品在線開放課程(中國大學(xué)MOOChttps://www.icourse163.org/course/HQU-1205898823),利用信息化手段使教材更加立體化、生動化。在線課程對線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化細(xì)分,保持每個知識單元與整個課程結(jié)構(gòu)上的一致性;注重概念和方法的可讀性,又注意保持簡單理論分析的嚴(yán)謹(jǐn)性;課程視頻主題明確、由易到難,有利于讀者利用碎片時間進(jìn)行預(yù)習(xí)、練習(xí)、期末復(fù)習(xí)、考研復(fù)習(xí)或鞏固學(xué)習(xí);在線討論、作業(yè)與測驗有助于學(xué)生對知識點(diǎn)的理解、掌握與應(yīng)用。
(5)配備不同層次的習(xí)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
(6)引入數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)問題。結(jié)合教材內(nèi)容,在附錄中介紹MATLAB在線性代數(shù)計算中的一些用法,以示例解釋把理論學(xué)習(xí)與計算應(yīng)用結(jié)合起來,讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件,加深對代數(shù)理論的認(rèn)識。
前言
線性代數(shù)是一門經(jīng)典的代數(shù)基礎(chǔ)課程，是高校理工類和經(jīng)管類等學(xué)科的一門重要基礎(chǔ)課程。 線性代數(shù)主要研究線性關(guān)系，其核心內(nèi)容包括線性方程組、矩陣、行列式、向量組的線性相關(guān)性、向量空間、線性變換、方陣的特征值和特征向量、方陣的對角化和二次型等。 許多實(shí)際問題，如線性規(guī)劃、電路設(shè)計、信息隱藏、計算機(jī)圖像處理等技術(shù)，都可歸結(jié)為線性問題來解決，因此，線性代數(shù)還是一門應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)課程。 它不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，也是自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等各學(xué)科的基礎(chǔ)，可以為后繼課程提供數(shù)學(xué)知識，將理論、計算和應(yīng)用融合在一起，為各個學(xué)科領(lǐng)域提供通用的分析問題與解決問題的方法，在科學(xué)計算與實(shí)際應(yīng)用中起著重要作用。
隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展與數(shù)學(xué)工程軟件的廣泛應(yīng)用，作為處理離散問題與線性問題的線性代數(shù)已成為科學(xué)技術(shù)人才必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 為了幫助學(xué)生更容易學(xué)習(xí)、理解和掌握線性代數(shù)的精髓，掌握相關(guān)的代數(shù)知識，讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)的方法思考、解決實(shí)際問題，《線性代數(shù)》在以下幾個方面做出積極的探索與實(shí)踐。
（1） 加強(qiáng)應(yīng)用背景的引入�！毒�性代數(shù)》中安排了一些簡單的案例應(yīng)用，可加強(qiáng)對基本概念和理論背景的了解及應(yīng)用，有助于理論聯(lián)系實(shí)際，幫助學(xué)生理解抽象的代數(shù)概念，進(jìn)而掌握相關(guān)的理論和計算，還有利于拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用代數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力。
（2） 突出以線性方程組和矩陣為主線。從線性方程組的幾何意義和消元法出發(fā)，以矩陣的初等變換、矩陣的秩和矩陣乘法運(yùn)算為基本工具，比較自然地闡述線性代數(shù)中一些抽象的、重要的基本概念、基本理論和計算方法；教學(xué)內(nèi)容的安排循序漸進(jìn)、由淺入深、簡明易懂，便于理解和掌握。書中帶*的教學(xué)內(nèi)容或習(xí)題，作為選學(xué)或選做內(nèi)容。
（3） 注重課程的系統(tǒng)性和科學(xué)性。 既注重 去抽象，增強(qiáng)基本概念和基本方法的可讀性，又注意保持理論分析、內(nèi)容結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性；注重突出線性代數(shù)的基本理論、基本思想和基本計算，突出知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與統(tǒng)一；注重知識重點(diǎn)與難點(diǎn)、具體與抽象；課程結(jié)構(gòu)緊湊、難度適中、易學(xué)易懂。
（4） 配套省級精品在線開放課程(中國大學(xué)MOOC https://www.icourse163.org/course/HQU-1205898823），利用信息化手段使教材更加立體化、生動化。 在線課程對線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化細(xì)分，保持每個知識單元與整個課程結(jié)構(gòu)上的一致性；注重概念和方法的可讀性，又注意保持簡單理論分析的嚴(yán)謹(jǐn)性；課程視頻主題明確、由易到難，有利于讀者利用碎片時間進(jìn)行預(yù)習(xí)、練習(xí)、期末復(fù)習(xí)、考研復(fù)習(xí)或鞏固學(xué)習(xí)；在線討論、作業(yè)與測驗有助于學(xué)生對知識點(diǎn)的理解、掌握與應(yīng)用。
（5） 配備不同層次的習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
（6） 引入數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)問題。 結(jié)合教材內(nèi)容，在附錄中介紹MATLAB在線性代數(shù)計算中的一些用法，以示例解釋把理論學(xué)習(xí)與計算應(yīng)用結(jié)合起來，讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件，加深對代數(shù)理論的認(rèn)識。
《線性代數(shù)》由華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝小賢、李鴻萍和黃哲煌共同執(zhí)筆，其中，第1、3、4章及附錄由謝小賢編寫，第2章由黃哲煌編寫，第5、6章由李鴻萍編寫，全書由謝小賢統(tǒng)稿和定稿。
與《線性代數(shù)》同步的精品在線開放課程獲得2017年華僑大學(xué)精品在線開放課程建設(shè)立項，獲得2017年福建省精品在線開放課程建設(shè)立項�！毒�性代數(shù)》的編寫獲得2019年華僑大學(xué)教材編寫立項資助，并得到華僑大學(xué)教務(wù)處、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)們與同事們、清華大學(xué)出版社的大力支持與幫助，在此一并表示感謝！
限于編者的水平，書中難免有不足之處或缺點(diǎn)，歡迎讀者批評指正。
《線性代數(shù)》提供課件和習(xí)題參考答案，下載地址如下：
課件 習(xí)題參考答案
編者
2019年4月
目錄
第1章 線性方程組與矩陣 1
1.1 線性方程組的基本概念 1
1.1.1 線性方程組的定義 1
1.1.2 二元和三元線性方程組的幾何意義 3
1.2 線性方程組的消元法和初等變換 6
1.2.1 線性方程組的消元法 6
1.2.2 行階梯形方程組和行最簡形方程組 7
1.2.3 線性方程組的初等變換8
1.3 矩陣及其初等變換10
1.3.1 矩陣的概念10
1.3.2 特殊矩陣12
1.3.3 矩陣的初等變換15
1.3.4 線性方程組的初等變換與矩陣的初等變換的關(guān)系16
1.3.5 行階梯形矩陣、 行最簡形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形19
1.3.6 矩陣的秩24
1.4 線性方程組的解的判定定理26
1.4.1 n元非齊次線性方程組的解的判定定理26
1.4.2 n元齊次線性方程組的解的判定定理29
1.5應(yīng)用舉例33
1.6本章小結(jié)35
1.7習(xí)題一37
第2章行列式44
2.1二階與三階行列式44
2.2全排列和對換46
2.2.1全排列及其逆序數(shù)46
2.2.2對換47
2.3n階行列式47
2.4行列式的性質(zhì)50
2.5行列式按行（列）展開55
2.6行列式的應(yīng)用 62
2.6.1克拉默(Cramer)法則62
2.6.2平行四邊形或三角形的面積66
2.6.3平行六面體的體積66
2.6.4曲線方程67
2.7本章小結(jié)68
2.8習(xí)題二71
第3章矩陣及其應(yīng)用76
3.1矩陣的運(yùn)算76
3.1.1矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算76
3.1.2矩陣的乘法77
3.1.3方陣的冪與多項式82
3.1.4矩陣的轉(zhuǎn)置83
3.2分塊矩陣85
3.2.1分塊矩陣的基本概念85
3.2.2常用的分塊矩陣86
3.2.3分塊矩陣的運(yùn)算87
3.2.4分塊矩陣的應(yīng)用90
3.3方陣的行列式94
3.3.1方陣行列式的定義94
3.3.2方陣行列式的性質(zhì)94
3.3.3伴隨矩陣及其性質(zhì)96
3.4方陣的逆矩陣98
3.4.1逆矩陣的定義98
3.4.2逆矩陣的性質(zhì)99
3.4.3方陣可逆的充要條件100
3.4.4逆矩陣的計算101
3.4.5逆矩陣的應(yīng)用105
3.5初等矩陣與初等變換109
3.5.1初等矩陣109
3.5.2初等變換與初等矩陣的關(guān)系111
3.5.3初等變換與初等矩陣的應(yīng)用113
3.6矩陣秩的等價刻畫119
3.6.1矩陣秩的等價定義119
3.6.2矩陣秩的計算122
3.6.3矩陣秩的性質(zhì)124
3.6.4矩陣秩的應(yīng)用126
3.7應(yīng)用舉例126
3.8本章小結(jié)129
3.9習(xí)題三 134
第4章向量組的線性相關(guān)性和向量空間140
4.1 n 維向量140
4.1.1 n維向量的基本概念140
4.1.2向量的線性運(yùn)算141
4.1.3向量組與矩陣、 線性方程組的關(guān)系142
4.2向量組之間的線性表示143
4.3向量組的線性相關(guān)性149
4.3.1向量組線性相關(guān)性的定義149
4.3.2向量組線性相關(guān)性的判定定理150
4.3.3向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)151
4.4向量組的秩155
4.4.1向量組的最大無關(guān)組和秩155
4.4.2向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系157
4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)161
4.5.1齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)162
4.5.2非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)168
4.6向量空間171
4.6.1向量空間的概念171
4.6.2向量空間的基、 維數(shù)和坐標(biāo)172
4.6.3基變換和坐標(biāo)變換174
4.7應(yīng)用舉例175
4.8本章小結(jié)177
4.9習(xí)題四180
第5章方陣的特征值與特征向量理論188
5.1內(nèi)積與正交矩陣188
5.1.1n維向量的內(nèi)積188
5.1.2正交向量組與施密特(Schmidt)正交化方法189
5.1.3正交矩陣192
5.2方陣的特征值與特征向量193
5.2.1特征值與特征向量的概念193
5.2.2特征值與特征向量的計算194
5.2.3特征值與特征向量的性質(zhì)196
5.3方陣的相似對角化198
5.3.1相似矩陣的概念與性質(zhì)198
5.3.2方陣相似對角化的條件與計算199
5.4實(shí)對稱矩陣的相似對角化202
5.5應(yīng)用舉例206
5.6本章小結(jié)209
5.7習(xí)題五211
第6章二次型217
6.1二次型及其矩陣表示217
6.1.1二次型的定義217
6.1.2矩陣的合同219
6.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形220
6.2.1用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形221
6.2.2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形223
*6.2.3用初等(合同)變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形225
6.3正定二次型227
6.3.1慣性定理227
6.3.2二次型的正定性229
6.4二次型的應(yīng)用二次曲面232
6.5本章小結(jié)236
6.6習(xí)題六237
附錄MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用241
參考文獻(xiàn)251
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