第1章 不動點理論簡介

非線性算子的迭代算法是非線性泛函分析理論的重要組成部分，它與近代數(shù)學(xué)的許多分支有著緊密性聯(lián)系，特別是在建立各類方程（其中包括各類線性或非線性的，確定或非確定型的微分方程，積分方程以及各類算子方程）解的存在唯一問題中起著重要的作用。20世紀(jì)60年代，L.Collatz在他寫的 《應(yīng)用于數(shù)值分析的泛函分析》一書的引言中說：“由于兩件事使數(shù)值分析發(fā)生了革命性的變化，這兩件事就是應(yīng)用了電子計算機和應(yīng)用了泛函分析”。在20世紀(jì)計算機科學(xué)的建立和發(fā)展引起了科學(xué)技術(shù)翻天覆地的變化，它在各個部門學(xué)科及其分支中的巨大影響是不容置疑的。讓人驚訝的是，不太為人所知的泛函分析對一門學(xué)科的影響竟然有著與計算機科學(xué)比肩的地位，其實讓人驚訝的還遠不止這些。隨著人們對大自然認(rèn)識的不斷深入，已經(jīng)逐漸認(rèn)識到非線性科學(xué)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、工程學(xué)、控制論等科學(xué)領(lǐng)域中的重要性。

1.1 非線性算子的不動點理論

非線性分析中的非線性算子理論作為非線性科學(xué)的基礎(chǔ)理論和基本工具，已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，并在其他分支中發(fā)揮重要的作用，尤其在處理實際問題中出現(xiàn)的大量微分方程時發(fā)揮著不可替代的作用.由于大量的非線性問題都與非線性算子方程有著密切的聯(lián)系，而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個非線性算子的不動點.所以研究Banach空間中非線性算子方程解的迭代算法無疑具有重要的理論意義和實際意義.我們可以把看成是某個距離空間上的映射，于是解上述積分方程（從而解微分方程）的問題，就等價于求解空間中的滿足的元，即求映射的不動點問題，研究映射的不動點是一個很重要的問題。

不動點理論起源于求解方程的代數(shù)問題，后轉(zhuǎn)化為幾何理論中研究不動點的存在、個數(shù)、性質(zhì)與求法的理論，成為拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析中的重要內(nèi)容。較早的不動點定理是壓縮映射原理，1890年由法國數(shù)學(xué)家Picard提出，后來被波蘭數(shù)學(xué)家Bancah(1922)所發(fā)展，成為許多方程的解得存在性、唯一性及迭代解法的理論基礎(chǔ)。1910年荷蘭數(shù)學(xué)家Brouwer證明了多面體的不動定理：設(shè)是歐氏空間中的非空有界閉凸集，則到自身的每個連續(xù)映射都至少有一個不動點。這個定理被稱為Brouwer不動點定理。1926年美國數(shù)學(xué)家S.Lefschetz發(fā)展了Brouwer定理，得到不動點指數(shù)中的Lefschetz不動點定理。1913年，G.D.Birkhoff證明了前一年法國數(shù)學(xué)家Henri Poincaré關(guān)于三提問題的一個猜想，得到Poincaré-Birkhoff不動點定理。G.D.Birkhoff還與另一美國數(shù)學(xué)家O.D.Kellogg于1922年共同把不動點定理推廣到無窮維函數(shù)空間，并應(yīng)用于證明微分方程的存在性。1930年烏克蘭數(shù)學(xué)家Schauder將Brouwer不動點定理推廣到線性賦泛函空間中的緊凸集、Bancah空間中的緊凸集等到自身的映射上，得到Schauder不定點定理。1935年原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.Tychonoff就將Brouwer的結(jié)果推廣到局部凸拓?fù)渚�性空間中緊凸集到自身的映射上，得到Tychonoff不動點定理。1941年日本數(shù)學(xué)家Kakutani又將Brouwer的結(jié)果推廣到極值映射上去。五六十年代，Browder,KyFan,Sadovskii等數(shù)學(xué)家將上述定理做了各種形式的推廣。

以上所有不動點定理的研究都是對其存在性的研究。半個多世紀(jì)以來，特別是最近三十年來，由于實際需要的推動和數(shù)學(xué)工作者的努力，對不動點定理的依據(jù)已經(jīng)出現(xiàn)了多元化的局面，不在局限于存在性的研究。眾所周知，Bancah壓縮映像原理實際上是經(jīng)典的Picard迭代法的抽象表述。學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一定理，不僅可以判定不動點的存在性和唯一性，而且還可以構(gòu)成一個迭代程序，逼近壓縮映像的不動點到任意精確程度。由此非線性算子不動點迭代逼近這門學(xué)科也應(yīng)運而生。目前，這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究也已取得重要的進展，并且日趨完善。為了逼近非線性算子不動點，歷史上曾出現(xiàn)過多種迭代格式：Picard迭代格式、正規(guī)Mann迭代格式、Ishikawa迭代格式、Halpern迭代格式、粘滯迭代法、最快下降迭代法、正規(guī)化迭代法、混雜迭代法(CQ算法)等多種形式，迭代格式的收斂性構(gòu)成了非線性算子不動點理論研究中的重要問題。有關(guān)非線性算子不動點迭代逼近的研究近年來非常活躍，見參考文獻.從具體空間(如空間)到抽象空間(如空間、Banach空間、賦范線性空間)；從單值映像到集值映像；從一般意義的映像(非擴張映像、相對非擴張映像、偽壓縮映像、強偽壓縮映像等)到漸進意義的映像(如漸進非擴張映像、相對漸進非擴張映像、漸進偽壓縮映像、漸進強偽壓縮映像等)；從迭代序列的構(gòu)造(如Mann與Ishikawa迭代序列、具誤差(或混合誤差)的Mann與Iihikawa迭代序列、修正的Mann與Ishikawa迭代序列)到迭代序列的強(弱)收斂性、穩(wěn)定性及非線性算子方程解得存在唯一性，可以說成果十分豐富．關(guān)于非線性算子不動點迭代逼近問題，學(xué)者們主要是從兩方面來進行進一步的研究：一方面是非線性算子的性質(zhì)，包括各種算子不動點的存在性條件等；另一方面是用各種更好更有效的迭代格式逼近算子的不動點。 目前，非線性分析中的非線性算子理論作為非線性科學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本工具，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基本分支，并在其分支中發(fā)揮著重要作用，尤其是在處理實際問題中出現(xiàn)的大量微分方程時發(fā)揮著不可替代的作用。由于大量的非線性問題都與非線性算子方程有著密切聯(lián)系，而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個非線性算子的不動點問題。其中一個著名的例子就是凸可行問題對，Hilbert空間中的有限個閉凸子集且，尋找某個點。由于實Hilbert空間H中任意非空閉凸子集K均可被看做H到K度量投影pk的不動點集，因此凸可行問題也就轉(zhuǎn)化為找一個點屬于非擴張映射有限族的不動點集的交集，即尋找非擴張映射有限族的公共不動點問題。

自20世紀(jì)初Trouwer和Banach提出兩個以他們姓氏命名的Trouwer定理和Banach壓縮映像原理之后，半個多世紀(jì)以來，特別是最近三十年來，由于實際需要的推動和數(shù)學(xué)工作者的努力，這門學(xué)科已經(jīng)出現(xiàn)了多樣化的局面，Banach壓縮映像原理實際上是經(jīng)典的Picard迭代法的抽象表述.根據(jù)這一定理，不僅可以判定不動點的存在性和唯一性，而且還可以構(gòu)成一個迭代程序，逼近壓縮映像的不動點到任意精確程度.因此Banach映像原理在近代數(shù)學(xué)的許多分支，特備是在應(yīng)用數(shù)學(xué)的幾乎各個分支都有廣泛的應(yīng)用. Banach在上個世紀(jì)二十年代提出這一原理后，大半個世紀(jì)以來，特別是最近二十多年來，壓縮映像的概念和Banach壓縮映像原理已經(jīng)從各個方面和各個不同的角度有了重要的發(fā)展.許多人提出了一系列新型的壓縮映像概念，和一系列新型的壓縮映像的不動點定理，而且其中的某些結(jié)果已經(jīng)被成功地運用于Banach空間中非線性Volterra積分方程，非線性積分-微分方程和非線性泛函微分方程解的存在性和唯一性，另外，壓縮型映像的某些不動點定理還被成功地應(yīng)用于隨機算子理論和隨機逼近理論。