極限與導(dǎo)數(shù)是古典數(shù)學(xué)的終點(diǎn)，也是微積分的起點(diǎn)。西方傳教士偉烈亞力說：余自西土遠(yuǎn)來中國，以傳耶穌之道為本，余則兼習(xí)藝能。爰述一書，曰《數(shù)學(xué)啟蒙》，凡二卷，舉以授塾中學(xué)徒。由淺及深，則其知之也易，譬諸小兒，始而匍匐，繼而扶墻，后乃能疾走。茲書之成，姑教之匍匐耳，扶墻徐行耳；若能疾走，則有代數(shù)、微分諸書在，余將續(xù)梓之。
　　極限（limit）是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。
　　樸素的、直觀的極限思想在古代的文獻(xiàn)中就有記載，例如中國古代的《墨經(jīng)》中記有“窮，或有前不容尺也”，《莊子·天下篇》中載有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，公元3世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)家劉徽所創(chuàng)割圓術(shù)，從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)割圓，得到圓內(nèi)接正6×2n邊形序列，并指出割得越細(xì)，正多邊形與圓面積之差越小，“割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，其中包含了深刻的極限思想。
　　在古希臘，安蒂豐提出求圓面積的“窮竭法”，后來由歐多克索斯發(fā)展為一種較為嚴(yán)格的理論，提出現(xiàn)在分析中通稱的“阿基米德公理”。阿基米德把窮竭法成功地應(yīng)用于面積計(jì)算。這些工作都可以看作是近代極限理論的雛形。
　　隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念也就被明確地提出來，但最初提出的極限概念是含糊不清的。例如牛頓稱變量的無窮小增量為“瞬”，有時(shí)令它非零，有時(shí)又令它為零，萊布尼茨的dx，dy也不能自圓其說，因此有人稱牛頓和萊布尼茨的極限思想為神秘的極限觀，這曾引起18世紀(jì)許多人對(duì)微積分的攻擊，對(duì)分析數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了危機(jī)性的困難。