目錄
叢書序言
前言
模塊 8 微分方程 1
8.1 微分方程的基本概念 1
8.1.1 常微分方程和偏微分方程 2
8.1.2 線性和非線性方程 3
8.1.3 解和隱式解 3
8.1.4 通解和特解 4
8.1.5 積分曲線 4
習(xí)題 8.1 4
8.2 一階微分方程 4
8.2.1 變量分離方程 4
8.2.2 可化為變量分離方程的類型 6
8.2.3 一階線性微分方程 8
*8.2.4 伯努利方程 10
習(xí)題 8.2 11
8.3 可降階的高階微分方程 12
8.3.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 12
8.3.2 y00 = f(x; y0) 型的微分方程 12
8.3.3 y00 = f(y; y0) 型的微分方程 13
習(xí)題 8.3 14
8.4 二階常系數(shù)線性微分方程 14
8.4.1 二階線性齊次微分方程 14
8.4.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 18
習(xí)題 8.4 21
總習(xí)題 8 22
模塊 9 空間解析幾何與向量代數(shù) 25
9.1 向量及其線性運(yùn)算 25
9.1.1 向量概念 25
9.1.2 向量的線性運(yùn)算 26
9.1.3 空間直角坐標(biāo)系 28
9.1.4 點(diǎn)和向量的坐標(biāo) 28
9.1.5 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 29
9.1.6 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 30
習(xí)題 9.1 33
9.2 向量的數(shù)量積和向量積 33
9.2.1 兩向量的數(shù)量積 33
9.2.2 兩向量的向量積 36
習(xí)題 9.2 38
9.3 平面方程與空間直線方程 38
9.3.1 平面方程 38
9.3.2 空間直線方程 41
9.3.3 位置關(guān)系 43
習(xí)題 9.3 47
9.4 曲面及其方程 48
9.4.1 曲面方程的概念 48
9.4.2 幾類特殊曲面 49
習(xí)題 9.4 54
9.5 空間曲線及其方程 54
9.5.1 空間曲線的一般方程 54
9.5.2 空間曲線的參數(shù)方程 55
9.5.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 56
習(xí)題 9.5 57
總習(xí)題 9 58
模塊 10 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 61
10.1 多元函數(shù)的基本概念 61
10.1.1 平面點(diǎn)集, n 維空間 61
10.1.2 多元函數(shù)概念 63
10.1.3 多元函數(shù)的極限 64
10.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 65
習(xí)題 10.1 66
10.2 偏導(dǎo)數(shù) 67
10.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法 67
10.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 69
習(xí)題 10.2 71
10.3 全微分及其應(yīng)用 71
10.3.1 全微分的定義 71
10.3.2 全微分在近似計算中的應(yīng)用 74
習(xí)題 10.3 74
10.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 75
10.4.1 一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合 75
10.4.2 多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合 75
10.4.3 多元函數(shù)全微分形式不變性 77
習(xí)題 10.4 78
10.5 隱函數(shù)存在性定理及求導(dǎo)法則 78
10.5.1 一個方程的情形 78
10.5.2 方程組的情形 80
習(xí)題 10.5 82
10.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 82
10.6.1 空間曲線的切線與法平面 82
10.6.2 曲面的切平面與法線 84
習(xí)題 10.6 85
10.7 方向?qū)��?shù)與梯度 85
10.7.1 方向?qū)��?shù) 85
10.7.2 梯度 88
習(xí)題 10.7 89
10.8 多元函數(shù)的極值及其求法 89
10.8.1 多元函數(shù)的極值 89
10.8.2 多元函數(shù)的最大值、最小值 92
10.8.3 條件極值、拉格朗日乘數(shù)法 92
習(xí)題 10.8 94
總習(xí)題 10 94
模塊 11 重積分 96
11.1 二重積分的概念與性質(zhì) 96
11.1.1 問題的提出 96
11.1.2 二重積分的概念 98
11.1.3 二重積分的性質(zhì) 99
習(xí)題 11.1 101
11.2 二重積分的計算法 101
11.2.1 利用直角坐標(biāo)系計算二重積分 101
11.2.2 利用極坐標(biāo)系計算二重積分 109
習(xí)題 11.2 114
11.3 三重積分的概念和計算方法 116
11.3.1 三重積分的概念 116
11.3.2 利用直角坐標(biāo)計算三重積分 117
11.3.3 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 119
11.3.4 利用球面坐標(biāo)計算三重積分 120
習(xí)題 11.3 122
11.4 重積分的應(yīng)用 123
11.4.1 曲面的面積 123
11.4.2 質(zhì)心 125
11.4.3 轉(zhuǎn)動慣量 127
11.4.4 引力 128
習(xí)題 11.4 129
總習(xí)題 11 129
模塊 12 曲線積分和曲面積分 132
12.1 對弧長的曲線積分 132
12.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 132
12.1.2 對弧長的曲線積分的計算法 134
習(xí)題 12.1 135
12.2 對坐標(biāo)的曲線積分 136
12.2.1 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 136
12.2.2 對坐標(biāo)的曲線積分的計算 138
12.2.3 兩類曲線積分之間的聯(lián)系 139
習(xí)題 12.2 140
12.3 格林公式及其應(yīng)用 140
12.3.1 格林公式 140
12.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 143
12.3.3 二元函數(shù)的全微分求積 145
習(xí)題 12.3 147
12.4 對面積的曲面積分 147
12.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 147
12.4.2 對面積的曲面積分的計算 148
習(xí)題 12.4 150
12.5 對坐標(biāo)的曲面積分 151
12.5.1 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 151
12.5.2 對坐標(biāo)的曲面積分的計算法 154
12.5.3 兩類曲面積分之間的聯(lián)系 156
習(xí)題 12.5 157
12.6 高斯公式 通量與散度 158
12.6.1 高斯公式 158
12.6.2 通量與散度 159
習(xí)題 12.6 162
12.7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 162
12.7.1 斯托克斯公式 162
12.7.2 環(huán)流量與旋度 163
習(xí)題 12.7 165
總習(xí)題 12 165
模塊 13 數(shù)項(xiàng)級數(shù) 169
13.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 169
13.1.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 169
13.1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 171
習(xí)題 13.1 173
13.2 正項(xiàng)級數(shù)的收斂性判別法 174
13.2.1 正項(xiàng)級數(shù)及其收斂性判別法 174
習(xí)題 13.2 180
13.3 一般項(xiàng)級數(shù) 180
13.3.1 交錯級數(shù)及其判別法 181
13.3.2 絕對收斂和條件收斂 182
習(xí)題 13.3 183
總習(xí)題 13 183
模塊 14 冪級數(shù) 187
14.1 冪級數(shù) 187
14.1.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念 187
14.1.2 冪級數(shù)及其收斂性 188
14.1.3 冪級數(shù)的性質(zhì) 191
習(xí)題 14.1 194
14.2 函數(shù)展開成冪級數(shù) 194
14.2.1 泰勒級數(shù) 194
14.2.2 函數(shù)展開成冪級數(shù) 197
習(xí)題 14.2 201
14.3 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 202
14.3.1 近似計算 202
14.3.2 歐拉公式 205
習(xí)題 14.3 206
總習(xí)題 14 207
模塊 15 傅里葉級數(shù) 210
15.1 傅里葉級數(shù) 210
15.1.1 三角級數(shù) ￠ 正交函數(shù)系 210
15.1.2 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 211
15.1.3 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 215
15.2 周期為 2l 的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 218
總習(xí)題 15 221
參考文獻(xiàn) 223