目錄
前言
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1
1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的基本概念 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 1
1.1.3 復(fù)平面 2
1.1.4 復(fù)數(shù)的乘冪與方根 5
1.2 復(fù)球面與區(qū)域 10
1.2.1 復(fù)球面 10
1.2.2 區(qū)域 11
1.3 復(fù)變函數(shù) 13
1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念 13
1.3.2 映射 14
1.3.3 復(fù)變函數(shù)的極限 16
1.3.4 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 18
本章 小結(jié) 19
習(xí)題1 20
第2章 解析函數(shù) 23
2.1 解析函數(shù)的概念及充要條件 23
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 23
2.1.2 解析函數(shù)的概念及性質(zhì) 25
2.1.3 函數(shù)解析的充要條件 27
2.2 初等函數(shù) 32
2.2.1 指數(shù)函數(shù) 32
2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 33
2.2.3 冪函數(shù) 34
2.2.4 三角函數(shù) 36
2.2.5 反三角函數(shù) 39
2.2.6 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 39
本章 小結(jié) 40
習(xí)題2 42
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 44
3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 44
3.1.1 復(fù)積分的定義 44
3.1.2 復(fù)積分存在的條件及計(jì)算 45
3.1.3 復(fù)積分的性質(zhì) 48
3.2 復(fù)變函數(shù)積分的基本定理 49
3.2.1 柯西古薩基本定理 49
3.2.2 基本定理的推廣——復(fù)合閉路定理 50
3.2.3 原函數(shù)與不定積分 52
3.3 復(fù)變函數(shù)積分的基本公式 56
3.3.1 柯西積分公式 56
3.3.2 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式 57
3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 60
3.4.1 調(diào)和函數(shù)的概念 61
3.4.2 共軛調(diào)和函數(shù) 61
3.4.3 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 62
本章 小結(jié) 64
習(xí)題3 66
第4章 級(jí)數(shù)70
4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù) 70
4.1.1 復(fù)數(shù)列的極限 70
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 72
4.1.3 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 72
4.1.4 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 74
4.1.5 冪級(jí)數(shù)及其收斂圓 76
4.1.6 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 80
4.2 泰勒級(jí)數(shù) 82
4.2.1 泰勒展開(kāi)定理 82
4.2.2 函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法 84
4.3 洛朗級(jí)數(shù) 87
4.3.1 雙邊冪級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 88
4.3.2 洛朗展開(kāi)定理 89
4.3.3 函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法 92
本章 小結(jié) 96
習(xí)題4 100
第5章 留數(shù) 103
5.1 孤立奇點(diǎn) 103
5.1.1 可去奇點(diǎn) 103
5.1.2 極點(diǎn) 104
5.1.3 本性奇點(diǎn) 106
5.1.4 解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 106
5.1.5 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 108
5.2 留數(shù) 110
5.2.1 留數(shù)概念及留數(shù)定理 110
5.2.2 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則 113
5.2.3 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 115
5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 119
5.3.1 形如R(cos0，sin O)d0積分 119
5.3.2 形如R(x)dx的積分 120
5.3.3 形如R(x)e。dx(a>0)的積分 121
本章 小結(jié) 124
習(xí)題5128
第6章 Fourier變換 130
6.1 Fourier積分 130
6.1.1 Fourier級(jí)數(shù) 130
6.1.2 Fourier積分定理 132
6.2 Fourier變換 136
6.2.1 Fourier變換與Fourier逆變換的概念 136
6.2.2 單位脈沖函數(shù)的概念與性質(zhì) 139
6.2.3 單位脈沖函數(shù)的Fourier變換 143
6.3 Fourier變換的性質(zhì) 145
6.3.1 線性性質(zhì) 145
6.3.2 位移性質(zhì) 146
6.3.3 相似性質(zhì) 147
6.3.4 對(duì)稱性質(zhì) 148
6.3.5 微分性質(zhì) 148
6.3.6 積分性質(zhì) 149
6.3.7 Parserval等式 151
6.4 卷積與卷積定理 151
6.4.1 卷積的概念 152
6.4.2 卷積定理 155
6.5 Fourier變換的應(yīng)用 157
本章 小結(jié) 160
習(xí)題6 163
第7章 Laplace變換 166
7.1 Laplace變換的概念 166
7.1.1 Laplace變換的定義 166
7.1.2 Laplace變換的存在定理 168
7.1.3 周期函數(shù)的Laplace變換 171
7.2 Laplace變換的性質(zhì) 173
7.2.1 線性性質(zhì) 174
7.2.2 微分性質(zhì) 174
7.2.3 積分性質(zhì) 176
7.2.4 位移性質(zhì) 178
7.2.5 延遲性質(zhì) 178
7.2.6 相似性質(zhì) 181
7.2.7 *初值定理與終值定理 182
7.3 卷積 184
7.3.1 卷積的概念 184
7.3.2 卷積定理 185
7.4 Laplace逆變換 188
7.4.1 反演積分公式 188
7.4.2 利用留數(shù)計(jì)算反演積分 189
7.5 Laplace變換的應(yīng)用 195
7.5.1 解線性常微分方程 195
7.5.2 解積分微分方程 199
7.5.3 解線性常微分方程組 201
7.5.4 *解線性偏微分方程 203
7.5.5 *線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 206
本章小結(jié) 208
習(xí)題7 212
第8章 Matlab在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用 215
8.1 Matlab編程基礎(chǔ) 215
8.1.1 語(yǔ)句與變量 215
8.1.2 向量與矩陣 216
8.1.3 控制流和M文件 216
8.2 Matlab在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用 218
8.2.1 復(fù)數(shù)與復(fù)矩陣的生成 218
8.2.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 219
8.2.3 留數(shù) 220
8.2.4 復(fù)變函數(shù)的積分 222
8.2.5 Fourier變換 224
8.2.6 Laplace變換 225
本章 小結(jié) 226
習(xí)題8 227
習(xí)題答案 228
參考文獻(xiàn) 239
附錄I Fourier變換簡(jiǎn)表 240
附錄II Laplace變換簡(jiǎn)表 243