六、 錯(cuò)釣的大魚(yú)
　　在黎曼的論文發(fā)表之后的最初二三十年時(shí)間里，他所開(kāi)辟的這一領(lǐng)域顯得十分冷清，沒(méi)有出現(xiàn)任何重大進(jìn)展。如果把黎曼論文的全部?jī)?nèi)涵比作山峰的話(huà)，那么在最初這二三十年時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們還只在從山腳往半山腰攀登的路上，只顧著星夜兼程、埋頭趕路。那高聳入云的山巔還籠罩在一片濃濃的霧靄之中，正所謂高處不勝寒。但到了1885年，在這場(chǎng)沉悶的登山之旅中卻爆出了一段驚人的插曲:有人忽然聲稱(chēng)自己已經(jīng)登頂歸來(lái)！
　　這個(gè)人叫做斯蒂爾切斯（ThomasStieltjes，1856—1894），是一位荷蘭數(shù)學(xué)家。1885年，這位當(dāng)時(shí)年方29歲的年輕數(shù)學(xué)家在巴黎科學(xué)院發(fā)表了一份簡(jiǎn)報(bào)，聲稱(chēng)自己證明了以下結(jié)果:
　　M(N)≡∑n
　　這里的μ(n)是我們?cè)诘?章末尾提到過(guò)的默比烏斯函數(shù)，由它的求和所給出的函數(shù)M(N)被稱(chēng)為梅爾滕斯函數(shù)（Mertensfunction）。這個(gè)命題看上去倒是“面善”得很:默比烏斯函數(shù)μ(n)不過(guò)是一個(gè)整數(shù)函數(shù)，其定義雖有些瑣碎，卻也并不復(fù)雜，而梅爾滕斯函數(shù)M(N)不過(guò)是對(duì)μ(n)的求和，證明它按照O(N1/2)增長(zhǎng)似乎不像是一件太困難的事情。但這個(gè)其貌不揚(yáng)的命題事實(shí)上卻是一個(gè)比黎曼猜想更強(qiáng)的結(jié)果！換句話(huà)說(shuō)，證明了上述命題就等于證明了黎曼猜想（但反過(guò)來(lái)則不然，否證了上述命題并不等于否證了黎曼猜想）。因此斯蒂爾切斯的簡(jiǎn)報(bào)意味著聲稱(chēng)自己證明了黎曼猜想。
　　雖然當(dāng)時(shí)黎曼猜想還遠(yuǎn)沒(méi)有像今天這么熱門(mén)，消息傳得也遠(yuǎn)沒(méi)有像今天這么飛快，但有人證明了黎曼猜想仍是一個(gè)非同小可的消息。別的不說(shuō)，證明了黎曼猜想就意味著證明了素?cái)?shù)定理，而后者自高斯等人提出以來(lái)折磨數(shù)學(xué)家們已近一個(gè)世紀(jì)之久，卻仍未得到證明。與在巴黎科學(xué)院發(fā)表簡(jiǎn)報(bào)幾乎同時(shí)，斯蒂爾切斯給當(dāng)時(shí)法國(guó)數(shù)學(xué)界的一位重量級(jí)人物埃爾米特（CharlesHermite，1822—1901）發(fā)去了一封信件，重復(fù)了這一聲明。但無(wú)論在簡(jiǎn)報(bào)還是在信件中斯蒂爾切斯都沒(méi)有給出證明，他說(shuō)自己的證明太復(fù)雜，需要簡(jiǎn)化。
　　換作是在今天，一位年輕數(shù)學(xué)家開(kāi)出這樣一張空頭支票，是很難引起數(shù)學(xué)界的任何反響的。但是19世紀(jì)的情況有所不同，因?yàn)楫?dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界常有科學(xué)家做出成果卻不公布（或只公布一個(gè)結(jié)果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂爾切斯那樣聲稱(chēng)自己證明了黎曼猜想，卻不給出具體證明，在當(dāng)時(shí)并不算離奇。學(xué)術(shù)界對(duì)之的反應(yīng)多少有點(diǎn)像現(xiàn)代西方法庭所奉行的無(wú)罪推定原則，即在出現(xiàn)相反證據(jù)之前傾向于相信聲明成立。
　　但相信歸相信，數(shù)學(xué)當(dāng)然是離不開(kāi)證明的，而一個(gè)證明要想得到最終的承認(rèn)，就必須公布細(xì)節(jié)、接受檢驗(yàn)。因此大家就期待著斯蒂爾切斯發(fā)表具體的證明，其中期待得最誠(chéng)心實(shí)意的當(dāng)屬接到斯蒂爾切斯來(lái)信的埃爾米特。埃爾米特自1882年起就與斯蒂爾切斯保持著通信關(guān)系，直至12年后斯蒂爾切斯過(guò)早地去世為止。在這期間兩人共交換過(guò)432封信件。埃爾米特是當(dāng)時(shí)復(fù)變函數(shù)論的大家之一，他與斯蒂爾切斯的關(guān)系堪稱(chēng)數(shù)學(xué)史上一個(gè)比較奇特的現(xiàn)象。斯蒂爾切斯剛與埃爾米特通信時(shí)還只是萊頓天文臺(tái)（LeidenObservatory）的一名助理，而且就連這個(gè)助理的職位還是靠了他父親（斯蒂爾切斯的父親是荷蘭著名的工程師兼國(guó)會(huì)成員）的關(guān)照才獲得的。在此之前他在大學(xué)里曾三度考試失敗。好不容易“拉關(guān)系、走后門(mén)”進(jìn)了天文臺(tái)，斯蒂爾切斯卻“身在曹營(yíng)心在漢”，手上干著天文觀(guān)測(cè)的活，心里惦記的卻是數(shù)學(xué)，并且給埃爾米特寫(xiě)了信。照說(shuō)當(dāng)時(shí)一無(wú)學(xué)位、二無(wú)名聲的斯蒂爾切斯要引起像埃爾米特那樣的數(shù)學(xué)元老的重視是不容易，甚至不太可能的。但埃爾米特是一位虔誠(chéng)的天主教徒，他恰巧對(duì)數(shù)學(xué)懷有一種奇特的信仰，他相信數(shù)學(xué)存在是一種超自然的東西，尋常的數(shù)學(xué)家只是偶爾才有機(jī)會(huì)了解數(shù)學(xué)的奧秘。那么，什么樣的人能比“尋常的數(shù)學(xué)家”更有機(jī)會(huì)了解數(shù)學(xué)的奧秘呢？埃爾米特憑著自己的神秘主義眼光找到了一位，那就是默默無(wú)聞的觀(guān)星之人斯蒂爾切斯。埃爾米特認(rèn)為斯蒂爾切斯具有上帝所賜予的窺視數(shù)學(xué)奧秘的眼光，他對(duì)之充滿(mǎn)了信任。在他與斯蒂爾切斯的通信中甚至出現(xiàn)過(guò)“你總是對(duì)的，我總是錯(cuò)的”那樣極端的贊許。在這種奇特信仰與19世紀(jì)數(shù)學(xué)氛圍的共同影響下，埃爾米特對(duì)斯蒂爾切斯的聲明深信不疑。
　　但無(wú)論埃爾米特如何催促，斯蒂爾切斯始終沒(méi)有公布他的完整證明。一轉(zhuǎn)眼5年過(guò)去了，埃爾米特對(duì)斯蒂爾切斯依然“癡心不改”，他決定向?qū)Ψ健罢T之以利”。在埃爾米特的提議下，法國(guó)科學(xué)院將1890年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的主題設(shè)為“確定小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”。這個(gè)主題讀者們想必有似曾相識(shí)的感覺(jué)，是的，它跟我們前面剛剛介紹過(guò)的黎曼那篇論文的題目十分相似。事實(shí)上，該次大獎(jiǎng)的目的就是征集對(duì)黎曼那篇論文中提及過(guò)卻未予證明的某些命題的證明（這一點(diǎn)明確寫(xiě)入了征稿要求之中）。至于那命題本身，則既可以是黎曼猜想，也可以是其他命題，只要其證明有助于“確定小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”即可。在如此靈活的要求下，不僅證明黎曼猜想可以獲獎(jiǎng)，就是證明比黎曼猜想弱得多的結(jié)果——比如素?cái)?shù)定理——也可以獲獎(jiǎng)。在埃爾米特看來(lái)，這個(gè)數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)將毫無(wú)懸念地落到斯蒂爾切斯的腰包里，因?yàn)榧幢闼沟贍柷兴箤?duì)黎曼猜想的證明仍然“太復(fù)雜，需要簡(jiǎn)化”，他依然能通過(guò)發(fā)表部分結(jié)果或較弱的結(jié)果而領(lǐng)取大獎(jiǎng)。
　　可惜直至大獎(jiǎng)截止日期終了，斯蒂爾切斯依然毫無(wú)動(dòng)靜。
　　但埃爾米特也并未完全失望，因?yàn)樗�的學(xué)生阿達(dá)馬提交了一篇論文，領(lǐng)走了大獎(jiǎng)——肥水總算沒(méi)有流入外人田。阿達(dá)馬獲獎(jiǎng)?wù)撐牡闹饕獌?nèi)容正是我們?cè)诘?章中提到過(guò)的對(duì)黎曼論文中輔助函數(shù)ξ(s)的連乘積表達(dá)式的證明。這一證明雖然不僅不能證明黎曼猜想，甚至離素?cái)?shù)定理的證明也還有一段距離，卻仍是一個(gè)足可獲得大獎(jiǎng)的進(jìn)展。幾年之后，阿達(dá)馬再接再厲，終于一舉證明了素?cái)?shù)定理。埃爾米特放出去的這根長(zhǎng)線(xiàn)雖未能如愿釣到斯蒂爾切斯和黎曼猜想，卻錯(cuò)釣上了阿達(dá)馬和素?cái)?shù)定理，斬獲亦是頗為豐厚（素?cái)?shù)定理的證明在當(dāng)時(shí)其實(shí)比黎曼猜想的證明更令數(shù)學(xué)界期待）。
　　那么斯蒂爾切斯呢？沒(méi)聽(tīng)過(guò)這個(gè)名字的讀者可能會(huì)覺(jué)得他是一個(gè)浮夸無(wú)為的家伙，事實(shí)卻不然。斯蒂爾切斯在分析與數(shù)論的許多方面都做出過(guò)重要貢獻(xiàn)。他在連分?jǐn)?shù)方面的研究為他贏得了“連分?jǐn)?shù)分析之父”的美譽(yù)；掛著他名字的黎曼·斯蒂爾切斯積分（Riemann·Stieltjesintegral）更是將他與黎曼的大名聯(lián)系在了一起（不過(guò)兩人之間并無(wú)實(shí)際聯(lián)系——黎曼去世時(shí)斯蒂爾切斯才10歲）。但他那份哈代明信片式的有關(guān)黎曼猜想的聲明卻終究沒(méi)能為他贏得永久的懸念�，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為斯蒂爾切斯所宣稱(chēng)的關(guān)于M(N)=O(N1/2)的證明即便有也是錯(cuò)誤的。不僅如此，就連命題M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越來(lái)越多的懷疑。這是因?yàn)楸萂（N）=O（N1/2）稍強(qiáng)、被稱(chēng)為梅爾滕斯猜想（Mertensconjecture）的命題： M（N）
　　三十、 監(jiān)獄來(lái)信
　　在前面各章中，我們介紹了數(shù)學(xué)家們?cè)谧C明黎曼猜想的漫長(zhǎng)征途上所做過(guò)的多方面的嘗試。這些嘗試有些是數(shù)值計(jì)算，它們雖然永遠(yuǎn)也不可能證明黎曼猜想，卻有可能通過(guò)發(fā)現(xiàn)反例而否證黎曼猜想——當(dāng)然，迄今為止并未有人發(fā)現(xiàn)反例；有些則是解析研究，它們具有證明黎曼猜想的潛力，但迄今為止距離目標(biāo)還很遙遠(yuǎn)。如果小結(jié)一下的話(huà)，那么這兩類(lèi)嘗試雖然很不相同，卻都可以被歸為直接手段，因?yàn)樗鼈兊哪繕?biāo)都是黎曼猜想本身。
　　既然這兩類(lèi)直接手段都遇到了困難，那我們不妨來(lái)問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題:除這些直接手段外，還有沒(méi)有別的手段可以幫我們研究黎曼猜想，或至少帶給我們一些啟示呢？
　　答案是肯定的。
　　事實(shí)上，黎曼猜想雖然是一個(gè)極為艱深的難題，但這種長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法解決的難題在科學(xué)上是并不鮮見(jiàn)的�？茖W(xué)家們對(duì)付這種難題的大思路其實(shí)很簡(jiǎn)單，那就是直接手段行不通時(shí)，就采用間接手段。當(dāng)然，大思路雖然簡(jiǎn)單，具體采取什么樣的間接手段，可就大有講究了。一般來(lái)說(shuō)，常用的間接手段有兩類(lèi):第一類(lèi)是研究與原問(wèn)題相等價(jià)的問(wèn)題——那樣的問(wèn)題一旦被解決，原問(wèn)題自然也就解決了；除了研究等價(jià)問(wèn)題外，人們有時(shí)還會(huì)研究比原問(wèn)題更普遍的問(wèn)題。有讀者可能會(huì)問(wèn)：那樣的問(wèn)題難道不應(yīng)該與原問(wèn)題同樣困難、甚至更困難嗎？是的，一般來(lái)說(shuō)，與一個(gè)難題相等價(jià)或更普遍的問(wèn)題本身也不太可能是省油的燈。但是，解決難題往往需要靈感，而不同的問(wèn)題（哪怕是等價(jià)的問(wèn)題）所能激發(fā)的靈感是不同的，因此研究那樣的問(wèn)題有時(shí)能起到意想不到的作用。第二類(lèi)則是研究與原問(wèn)題相類(lèi)似、但卻更簡(jiǎn)單的問(wèn)題——這類(lèi)手段雖不能解決原問(wèn)題，卻有可能帶給我們啟示。更重要的是，在原問(wèn)題實(shí)在太艱深時(shí)，這類(lèi)手段往往比其他手段更具可行性。
　　就目前我們對(duì)黎曼猜想的了解而言，它看來(lái)是屬于那種“原問(wèn)題實(shí)在太艱深”的情形，因此我們要介紹的間接手段是“往往比其他手段更具可行性”的第二類(lèi)間接手段。這類(lèi)手段在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。比如物理學(xué)家們遇到很困難的三維空間中的問(wèn)題時(shí)，往往轉(zhuǎn)而研究二維、一維，甚至零維空間中與原問(wèn)題相類(lèi)似的問(wèn)題。又比如生物學(xué)家們從事一些不宜在人體上作嘗試的研究時(shí)，往往轉(zhuǎn)而用動(dòng)物作為研究對(duì)象。最近比較熱門(mén)的用凝聚態(tài)體系模擬基礎(chǔ)問(wèn)題的做法，也是第二類(lèi)間接手段的例子。這方面的一個(gè)例子，是利用石墨烯（graphene）中的電子運(yùn)動(dòng)與相對(duì)論量子力學(xué)中無(wú)質(zhì)量粒子運(yùn)動(dòng)的類(lèi)似性，來(lái)研究后者。此外，2009年受到過(guò)一些媒體關(guān)注的用特定流體中的聲子運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬黑洞附近的光子行為的所謂“聲學(xué)黑洞”（sonicblackhole）研究也是一個(gè)例子。這類(lèi)手段通俗地講，其實(shí)就是研究“山寨版”的問(wèn)題。只不過(guò)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的“山寨版”產(chǎn)品被四處喊打不同，科學(xué)領(lǐng)域中的“山寨版”問(wèn)題不僅不違規(guī)，對(duì)它們的研究還廣受鼓勵(lì)。有時(shí)候，在“山寨版”問(wèn)題上的突破，甚至能成為重大的科學(xué)成就，并獲得重大的科學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)。黎曼猜想就是一個(gè)很好的例子，它的艱深與重要，使得“山寨版”的黎曼猜想也“雞犬升天”，變成了非同小可的問(wèn)題，研究或解決它的數(shù)學(xué)家甚至可以獲得數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)，堪稱(chēng)是史上最牛的“山寨版”。需要補(bǔ)充說(shuō)明的是，“山寨版”黎曼猜想的重要性并不僅僅來(lái)自“正版”黎曼猜想的艱深與重要，它本身以及它與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)也有著不容忽視的重要性。
　　為了介紹這種史上最牛的“山寨版”，讓我們把時(shí)光暫時(shí)拉回到1940年。
　　1940年4月，著名的法國(guó)幾何學(xué)家埃里·嘉當(dāng)（·lieCartan，1869—1951）收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法國(guó)海濱城市魯昂（Rouen）的一座軍事監(jiān)獄。
　　一位著名數(shù)學(xué)家居然收到一封來(lái)自監(jiān)獄的信件，那會(huì)是什么樣的信件呢？照常理來(lái)說(shuō)，最大的可能性是某位民間“科學(xué)家”（簡(jiǎn)稱(chēng)民科）的杰作，對(duì)于法國(guó)數(shù)學(xué)家，情況尤其如此。因?yàn)樵谶@方面，法國(guó)科學(xué)院（FrenchAcademy ofSciences）可謂是開(kāi)了風(fēng)氣之先——自從一個(gè)多世紀(jì)前它為費(fèi)馬大定理懸賞以來(lái)，民科信件便如雪片般地飛向了法國(guó)數(shù)學(xué)家的手里。那熱情，就連一百多年的時(shí)光也不足以使之熄滅。自那以后，知名法國(guó)數(shù)學(xué)家收到民科來(lái)信就不再是新鮮事了。不過(guò)嘉當(dāng)收到的這封信件卻有些不同，它的寄信人地址雖然很“民間”，筆跡卻頗為熟悉，因?yàn)槟枪P跡屬于一位真正的數(shù)學(xué)家。那數(shù)學(xué)家不僅嘉當(dāng)認(rèn)識(shí)，更是他那數(shù)學(xué)家兒子昂利·嘉當(dāng)（HenriCartan，1904—2008）的好朋友。那位數(shù)學(xué)家叫做韋伊（AndréWeil，1906—1998），他一生的許多重要工作雖然還有待于此刻拿在嘉當(dāng)手里的這封監(jiān)獄來(lái)信來(lái)揭開(kāi)序幕，但當(dāng)時(shí)的他就已在代數(shù)、分析、數(shù)論等諸多領(lǐng)域中享有了一定的聲譽(yù)。五年前，他還與幾位志同道合的年輕數(shù)學(xué)家（其中包括昂利·嘉當(dāng)）一同，創(chuàng)立了一個(gè)后來(lái)大名鼎鼎的數(shù)學(xué)學(xué)派——布爾巴基學(xué)派。
　　嘉當(dāng)對(duì)筆跡的細(xì)心留意使那封監(jiān)獄來(lái)信免遭了被棄之垃圾桶的命運(yùn)，也為我們的黎曼猜想之旅增添了一段新的故事。
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