第1章群的基本概念
　　群論是研究系統(tǒng)對稱性質(zhì)的有力工具.本章首先從系統(tǒng)對稱性質(zhì)的研究中，概括出群的基本概念.通過物理中常見的對稱變換群的例子，使讀者對群有較具體的認識.然后，引入群的各種子集的概念?群的同構(gòu)與同態(tài)的概念和群的直接乘積的概念.
　　1.1對稱
　　對稱是一個人們十分熟悉的用語.世界處在既對稱又不嚴格對稱的矛盾統(tǒng)一之中.房屋布局的對稱給人一種舒服的感覺，但過分的嚴格對稱又會給人死板的感覺.科學(xué)理論的和諧美，其中很大程度上表現(xiàn)為對稱的美.在現(xiàn)代科學(xué)研究中，對稱性的研究起著越來越重要的作用.
　　我們常說，斜三角形很不對稱，等腰三角形比較對稱，正三角形對稱多了，圓比它們都更對稱.但是，對稱性的高低究竟是如何描寫的呢?
　　對稱的概念是和變換密切聯(lián)系在一起的，所謂系統(tǒng)的對稱性就是指它對某種變換保持不變的性質(zhì).保持系統(tǒng)不變的變換越多，系統(tǒng)的對稱性就越高.只有恒等變換，也就是不變的變換，才保持斜三角形不變.等腰三角形對底邊的垂直平分面反射保持不變，而正三角形對三邊的垂直平分面反射都保持不變，還對通過中心垂直三角形所在平面的軸轉(zhuǎn)動角的變換保持不變.圓對任一直徑的垂直平分面的反射都保持不變，也對通過圓心垂直圓所在平面的軸轉(zhuǎn)動任何角度的變換保持不變.因為保持圓不變的變換*多，所以它的對稱性**.
　　量子系統(tǒng)的物理特征由系統(tǒng)的哈密頓量(Hamiltonian)決定，量子系統(tǒng)的對稱性則由保持系統(tǒng)哈密頓量不變的變換集合來描寫.例如，N個粒子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的哈密頓量為
　　其中，rj和mj是第j個粒子的坐標矢量和質(zhì)量，r2j是關(guān)于rj的拉普拉斯(Laplace)算符，U是兩個粒子間的二體相互作用勢，它只是粒子間距離的函數(shù).拉普拉斯算符是對坐標分量的二階微商之和，它對系統(tǒng)平移?轉(zhuǎn)動和反演都保持不變.作用勢只依賴于粒子間的相對坐標**值，也對這些變換保持不變.若粒子是全同，哈密頓量還對粒子間的任意置換保持不變.這個量子系統(tǒng)的對稱性質(zhì)就用系統(tǒng)對這些變換的不變性來描述.
　　保持系統(tǒng)不變的變換稱為系統(tǒng)的對稱變換，對稱變換的集合描寫系統(tǒng)的全部對稱性質(zhì).根據(jù)系統(tǒng)的對稱性質(zhì)，通過群論方法研究，可以直接得到系統(tǒng)許多精確的?與細節(jié)無關(guān)的重要性質(zhì).
　　1.2群及其乘法表
　　1.2.1群的定義系統(tǒng)的對稱性質(zhì)由對稱變換的集合來描寫.我們先來研究系統(tǒng)對稱變換集合的共同性質(zhì).按照物理中的慣例，兩個變換的乘積RS定義為先做S變換，再做R變換.顯然，相繼做兩次對稱變換仍是系統(tǒng)的對稱變換，三個對稱變換的乘積滿足結(jié)合律.不變的變換稱為恒等變換E，它也是一個對稱變換，并與任何一個對稱變換R的乘積仍是該變換R.對稱變換的逆變換也是系統(tǒng)的一個對稱變換.上述性質(zhì)是系統(tǒng)對稱變換集合的共同性質(zhì)，與系統(tǒng)的具體性質(zhì)無關(guān).把對稱變換集合的這些共同性質(zhì)歸納出來，得到群(group)的定義.
　　定義1.1在規(guī)定了元素的“乘積”法則后，元素的集合G如果滿足下面四個條件，則稱為群.
　　(1)集合對乘積的封閉性.集合中任意兩元素的乘積仍屬此集合:
　　(2)乘積滿足結(jié)合律:
　　(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持該元素不變
　　(4)任何元素R的逆R.1存在于集合中，滿足
　　作為數(shù)學(xué)中群的定義，群的元素可以是任何客體，元素的乘積法則也可任意規(guī)定.一旦確定了元素的集合和元素的乘積規(guī)則，滿足上述四個條件的集合就稱為群.系統(tǒng)對稱變換的集合，對于變換的乘積規(guī)則，滿足群的四個條件，因而構(gòu)成群，稱為系統(tǒng)的對稱變換群.在物理中常見的群大多是線性變換群?線性算符群或矩陣群.
　　如果沒有特別說明，當元素是線性變換或線性算符時，元素的乘積規(guī)則都定義為相繼做兩次變換;當元素是矩陣時，元素的乘積則取通常的矩陣乘積.在群的定義中，群元素是什么客體并不重要，重要的是它們的乘積規(guī)則，也就是它們以什么方式構(gòu)成群.如果兩個群，它們的元素之間可用某種適當給定的方式一一對應(yīng)起來，而且元素的乘積仍以此同一方式一一對應(yīng)，常稱對應(yīng)關(guān)系對元素乘積保持不變，那么，從群論觀點看，這兩個群完全相同.具有這種對應(yīng)關(guān)系的兩個群稱為同構(gòu)(isomorphism).
　　定義1.2若群G0和G的所有元素間都按某種規(guī)則存在一一對應(yīng)關(guān)系，它們的乘積也按同一規(guī)則一一對應(yīng)，則稱兩群同構(gòu).用符號表示，若R和，必有，則G0.G，其中符號代表一一對應(yīng)，“.”代表同構(gòu).
　　互相同構(gòu)的群，它們?nèi)旱男再|(zhì)完全相同.研究清楚一個群的性質(zhì)，也就了解了所有與它同構(gòu)的群的性質(zhì).在群同構(gòu)的定義里，元素之間的對應(yīng)規(guī)則沒有什么限制.但如果選擇的規(guī)則不適當，使元素的乘積不再按此規(guī)則一一對應(yīng)，并不等于說，這兩個群就不同構(gòu).只要對某一種對應(yīng)規(guī)則，兩個群符合群同構(gòu)的定義，它們就是同構(gòu)的.
　　從群的定義出發(fā)，可以證明，恒元和逆元也滿足
　　RE=R; (1.6)
　　第二個式子表明元素與其逆元是相互的.由此易證群中恒元是**的，即若E0R=R，則E0=E.群中任一元素的逆元是**的，即若SR=E，則S=R.1.于是，恒元的逆元是恒元，和(RS).1=S.1R.1.作為邏輯練習，習題第1題讓讀者證明這些結(jié)論.證明中除群的定義外，不能用以前熟悉的任何運算規(guī)則，因為它們不一定適合群元素的運算.下面我們認為這些結(jié)論已經(jīng)證明，可以應(yīng)用了.
　　一般說來，群元素乘積不能對易，RS6=SR.元素乘積都可以對易的群稱為阿貝爾(Abel)群.若群中至少有一對元素的乘積不能對易，就稱為非阿貝爾群.元素數(shù)目有限的群稱為有限群，元素的數(shù)目g稱為有限群的階(order).元素數(shù)目無限的群稱為無限群，如果無限群的元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫，則稱為連續(xù)群.
　　把群的子集，即群中部分元素的集合看成一個整體，稱為復(fù)元素.作為集合，復(fù)元素不關(guān)心所包含元素的排列次序，且重復(fù)的元素只取一次.兩復(fù)元素相等的充要條件是它們包含的元素相同，即R=S的充要條件是R.S和S.R.普通元素和復(fù)元素相乘仍是復(fù)元素.TR是由元素TRj的集合構(gòu)成的復(fù)元素，而RT則由元素RjT的集合構(gòu)成.設(shè)S=Sng，兩復(fù)元素的乘積RS是所有形如RjSk的元素集合構(gòu)成的復(fù)元素.上面出現(xiàn)的元素乘，如TRj，RjT和RjSk，均按群元素的乘積規(guī)則相乘.復(fù)元素的乘積滿足結(jié)合律.如果復(fù)元素的集合，按照復(fù)元素的乘積規(guī)則，符合群的四個條件，也構(gòu)成群.
　　定理1.1(重排定理)設(shè)T是群中的任一確定元素，則下面三個集合與原群G相同:
　　證明以TG=G為例證明.對群G任何元素R，有TR2G，因而TG.G.反之，因為R=T(T.1R)，而，所以.證完.
　　對于有限群，群元素數(shù)目有限，因此有可能把元素的乘積全部排列出來，構(gòu)成一個表，稱為群的乘法表(multiplication table)，簡稱群表.為了確定起見，對于RS=T，今后稱R為左乘元素，S為右乘元素，而T為乘積元素.乘法表由下法建立:在表的*左面一列，把全部群元素列出來，作為左乘元素，在表的*上面一行，也把全部群元素列出來，作為右乘元素，元素的排列次序可以任意選定，但常讓左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在**位.表的內(nèi)容有格，每一格填入它所在行*左面一列的元素R(左乘元素)和它所在列*上面一行的元素S(右乘元素)的乘積RS.因為恒元與任何元素相乘還是該元素，如果把恒元排在表中**個位置，則乘法表內(nèi)容中**行和右乘元素相同，**列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘積元素中每一行(或列)都不會有重復(fù)元素.乘法表完全描寫了有限群的性質(zhì).
　　我們先來看二階群和三階群的乘法表.當把**列和**行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全確定了表中各位置的填充，如表1.1和表1.2所示.因此準確到同構(gòu)，二階群只有一種，三階群也只有一種.
　　表1.1二階群的乘法表
　　在二階群中，可讓e代表恒等變換，代表空間反演變換，則這是對空間反演不變的系統(tǒng)的對稱變換群，常記為V2.也可讓e代表數(shù)1，.代表數(shù)按普通的數(shù)乘積，它們也構(gòu)成二階群，記為C2.這兩個群是同構(gòu)的.對三階群有.
　　表1.2三階群的乘法表
　　按右手螺旋法則，繞沿空間方向的軸轉(zhuǎn)動角的變換記為，其中μ和'是^n方向的極角和方位角，尖角^表單位矢量.設(shè)R=R(^n;2 =N)，R及其冪次的集合
　　定義元素乘積為相繼做變換，則此集合滿足群的定義，構(gòu)成群.一般說來，由一個元素R及其冪次構(gòu)成的有限群稱為由R生成的循環(huán)群，R稱為循環(huán)群的生成元.CN是N階循環(huán)群，生成元R常記為CN，稱為N次固有轉(zhuǎn)動，或簡稱N次轉(zhuǎn)動.此轉(zhuǎn)動軸常稱為N次固有轉(zhuǎn)動軸，簡稱N次軸.
　　N次轉(zhuǎn)動和空間反演.的乘積記為SN，SN=.CN=CN.，稱為N次非固有轉(zhuǎn)動.由SN及其冪次構(gòu)成的循環(huán)群記為CN，此轉(zhuǎn)動軸稱為N次非固有轉(zhuǎn)動軸.CN群的階是N，CN群的階，根據(jù)N是偶數(shù)或奇數(shù)，分別是N或2N.
　　循環(huán)群中元素乘積可以對易，因而循環(huán)群是阿貝爾群.循環(huán)群生成元的選擇不是**的，如循環(huán)群CN中，CN和CN.1N都可作生成元.循環(huán)群的乘法表有共同的特點，當表中元素按生成元的冪次排列時，表的每一行都可由前一行向左移動一格得到，而*左面的元素移到*右面去.
　　現(xiàn)在來研究四階群的乘法表.四階循環(huán)群C4的乘法表如表1.3所示，其中R的自乘和T的自乘都不等于恒元，它們的四次冪才是恒元.如果四階群中所有元素的自乘都是恒元，由于重排定理，這樣的四階群乘法表只能如表1.4所示.設(shè)和分別是空間反演?時間反演和時空全反演，則此群稱為四階反演群V4.也由于重排定理，四階群中除恒元外的任一元素的三次冪不能等于恒元.因此，準確到同構(gòu)，四階群只有兩種:如果群中所有元素自乘都是恒元，它就與V4群同構(gòu);否則，它就與C4群同構(gòu).
　　表1.3四階循環(huán)群C4的乘法
　　表1.4四階反演群V4的乘法表
　　1.2.2子群
　　群G的子集H，如果按照原來的元素乘積規(guī)則，也滿足群的四個條件，則稱為群G的子群(subgroup).注意，乘積規(guī)則是群的*重要的性質(zhì)，如果給子集元素重新定義新的乘積規(guī)則，那它就與原群脫離了關(guān)系，即使此子集構(gòu)成群，也不能稱為原群的子群.任何群都有兩個平庸的子群:恒元和整個群.但通常更關(guān)心非平庸子群.
　　既然有限群的元素數(shù)目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，當冪次足夠高時必然會有重復(fù).由群中恒元**性知，有限群任一元素的自乘若干次后必可得到恒元.若Rn=E，n是R自乘得到恒元的**冪次，則n稱為元素R的階，R生成的循環(huán)群稱為元素R的周期.元素的周期構(gòu)成子群，稱為循環(huán)子群(cyclicsubgroup).階數(shù)為n的循環(huán)子群，通常就記為Cn，必要時用撇來加以區(qū)分.恒元的階為1，其他元素的階都大于1.不同元素的周期也可有重復(fù)或重合.請注意不要混淆群的階和元素的階這兩個不同的概念，只有循環(huán)群生成元的階才等于該群的階.
　　如何來判定一個子集是否構(gòu)成子群?既然子集元素滿足原群的元素乘積規(guī)則，結(jié)合律是顯然滿足的.如果子集對元素乘積封閉，則它必定包含子集中任一元素的周期，對有限群來說，元素R的周期包含了恒元和逆元R.1，因此對有限群，檢驗子集是否滿足封閉性就可以判定子集是否構(gòu)成子群.當然對無限群，判定子群還必須檢驗恒元和逆元是否在子集中.不含恒元的子集肯定不是子群，這是否定子集為子群的一個*簡單判據(jù).
　　有限群中任一元素R的周期構(gòu)成群中一個子群.若此子群尚未充滿整個群，則在子群外再任取群中一元素S，由R和S所有可能的乘積構(gòu)成一個更大的子群.若它還沒有充滿整個群，則再取第三個?第四個元素加入上述乘積，*后總能充滿整個有限群，即群中所有元素都可表為若干個元素的乘積.適當選擇這些元素，使有限群中所有元素都可表為盡可能少的若干個元素的乘積，這些元素稱為有限群的生成元，生成元不能表成其他生成元的乘積.有限群生成元的數(shù)目稱為有限群的秩.
　　1.2.3正N邊形對稱群
　　把正N邊形放在xy平面上，中心和原點重合，一個頂點在正x軸上.保持正