第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何
　　空間解析幾何①是多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，在解決某些實際問題時也會直接用到它.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，空間解析幾何是平面解析幾何的推廣.向量代數(shù)是研究空間解析幾何的有力工具，利用它能夠把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化?數(shù)量化.
　　本章先介紹向量的概念和運算，然后討論空間平面和直線方程的建立，最后介紹常見的空間曲面.
　　8.1 空間直角坐標系
　　8.1.1 空間點的直角坐標
　　 如果在平面上建立直角坐標系xOy，則平面上任一點的位置就可以用一個有序數(shù)組(x，y)來確定.因此為了確定空間中一點的位置，首先需要建立空間直角坐標系.
　　在空間中取定一點O，以O(shè) 為公共原點作三條相互垂直的數(shù)軸Ox，Oy，Oz，這就構(gòu)成了一個空間直角坐標系，記作Oxyz.點O 稱為坐標原點;數(shù)軸Ox，Oy，Oz 分別簡稱為x 軸(橫軸)?y 軸(縱軸)?z 軸(豎軸)，統(tǒng)稱坐標軸.坐標軸的正向通常構(gòu)成右手系，即以右手握住z 軸，當右手的四個手指從x 軸的正向以π2角度轉(zhuǎn)向y 軸的正向時，拇指的指向就是z 軸的正向(圖8-1).
　　任意兩條坐標軸可以確定一個平面，其中x 軸與y 軸確定的平面記為xOy 面，y 軸與z軸確定的平面記為yOz 面，z 軸和x 軸確定的平面記為zOx 面，這三個平面統(tǒng)稱為坐標面.
　　三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限.含有三個坐標軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限，在xOy 平面上方的4個卦限依逆時針順序分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限.在xOy平面下方，與Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限相對的分別為Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(圖8-2).
　　取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.
　　設(shè)M 為空間中的一點，過點M 作垂直于3個坐標軸的平面，它們與x 軸?y 軸?z 軸的交點依次為P ，Q，R，這三點在坐標軸上的坐標依次為x，y，z(圖8-3)，于是空間的一點M就唯一地確定了一個有序數(shù)組(x，y，z).
　　反之，給定一個有序數(shù)組(x，y，z)，可以在x 軸?y 軸?z 軸上取與x，y，z 相應(yīng)的點P ，Q，R，然后過點P，Q，R 分別作平面垂直于x 軸?y 軸?z 軸，這三個垂直平面的交點為M ，從而由有序數(shù)組(x，y，z)唯一地確定了空間的點M .因此空間的所有點與全體有序數(shù)組(x，y，z)之間就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，有序數(shù)組(x，y，z)稱為點M 的坐標，其中x 稱為點M 的橫坐標，y 稱為點M 的縱坐標，z 稱為點M 的豎坐標，記為M(x，y，z).
　　8.1.2 空間兩點間的距離
　　設(shè)M1(x1，y1，z1)與M2(x2，y2，z2)為空間兩點，過M1 和M2 分別作垂直于三條坐標軸的平面，這六個平面圍成的長方體以M1M2 為對角線(圖8-4).
　　設(shè)M1 與M2 的距離為d，根據(jù)勾股定理，有d2= M1M2 2= M1N 2+ NM2 2= M1P 2+ M1Q 2+ M1R 2.
　　圖8-4
　　由于M1P = P1P2 = x2-x1 ，
　　M1Q = Q1Q2 = y2-y1 ，
　　M1R = R1R2 = z2-z1 ，
　　所以
　　d= M1M2 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 .
　　這就是空間中兩點間的距離公式.
　　特別地，點M(x，y，z)與坐標原點O(0，0，0)的距離為
　　d= x2+y2+z2 .
　　例1 在z 軸上求與兩點A (-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點.
　　解 因為所求的點在z 軸上，所以設(shè)該點為M(0，0，z)，有MA = MB ，
　　即(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2 = (0-3)2+(0-5)2+(z+2)2 .
　　解得z=149，所求的點為0，0，149
　　習 題 8-1
　　1.在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限?
　　A(-1，2，3)， B(2，-2，1)， C(3，-1，-4)， D(-3，-1，1)， E(-2，1，-3)， F(-1，-2，-3).
　　2.在坐標面上和在坐標軸上的點的坐標各有什么特征? 指出下列各點的位置:
　　A(2，0，1)， B(0，-1，1)， C(1，-4，0)， D(-2，0，0)， E(0，2，0)， F(0，0，-1).
　　3.求點M0(x0，y0，z0)關(guān)于各坐標軸?坐標面和坐標原點的對稱點的坐標.
　　4.求兩點A(2，-1，3)，B(3，1，-1)之間的距離.
　　5.求點A(4，-3，5)到坐標原點和各坐標軸的距離.
　　6.在yOz 面上，求與三個已知點A(3，1，2)，B(4，-2，-2)和C(0，5，1)等距離的點.
　　8.2 向量代數(shù)
　　8.2.1 向量的概念
　　 在研究力學?物理學以及其他應(yīng)用科學時所遇到的量，一般可分為兩類.一類是只有大小的量，稱為數(shù)量，如時間?長度?質(zhì)量等;另一類是不僅有大小而且還有方向的量，稱為向量，如力?位移?速度等.
　　定義8.1 既有大小又有方向的量稱為向量.
　　我們用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的長度，有向線段的方向表示向量的方向.以A 為起點?B 為終點的有向線段所表示的向量記作AB→(圖8-5).有時也用a，b，r或黑體字母a，b，r 來表示向量.
　　定義8.2 如果兩個向量的大小相等?方向相同，就稱這兩個向量是相等的.
　　從定義8.2可知，一個向量平移后仍與原來的向量相等，所以向量的起點可以在空間的任意一點.與起點無關(guān)的向量稱為自由向量.我們研究的向量均為自由向量.
　　定義8.3 向量的大小稱為向量的模，向量AB→，a 的模分別記作|AB→|，|a|.
　　模等于1的向量稱為單位向量，模等于零的向量稱為零向量，記作0.零向量沒有確定的方向，也可以認為它的方向是任意的.
　　定義8.4 與向量a 的大小相等而方向相反的向量稱為a 的負向量，記作-a.
　　 顯然，|-a|=|a|，-(-a)=a，-AB→=BA→.
　　定義8.5 設(shè)a，b 為兩個非零向量，任取空間一點O，作OA→=a，OB→=b，則∠AOB(0≤∠AOB≤π)稱為向量a 與b 的夾角(圖8-6)，記作(a，b) ∧ .
　　如果(a，b) ∧ =0或π，則稱向量a 與b 平行，記作a∥b.如果(a，b) ∧ =π2，則稱向量a 與b垂直，記作a⊥b.
　　8.2.2 向量的加減法
　　根據(jù)力學中力的合成法則，我們給出兩個向量加法運算的定義.
　　定義8.6 設(shè)a，b 為兩個非零向量，平移a，b 使它們的起點重合于點A ，并以a，b 為邊作平行四邊形，則其對角線向量AC→(圖8-7)稱為向量a，b 的和，記作a+b.
　　這樣用平行四邊形的對角線來定義兩個向量和的方法稱為平行四邊形法則.從圖8-7
　　可以看出，a+b 也可以按下列方法得出:以向量a 的終點作為向量b 的起點，由a 的起點到b 的終點的向量就是a+b，這個方法稱為三角形法則(圖8-8).
　　圖8-7
　　圖8-8
　　顯然a+0=a， a+(-a)=0.
　　向量的加法符合下列運算律:
　　(1)交換律 a+b=b+a;
　　(2)結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c).
　　向量的減法可以看成向量加法的逆運算.
　　 圖8-9
　　定義8.7 若b+c=a，則稱c為a 與b 的差，記作c=a-b(圖8-9).
　　由圖8-9可以看出，把向量a 與b 的起點放在一起，則由b 的終點到a 的終點的向量即為a 與b 的差向量a-b.
　　利用負向量，可以把向量的減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算.
　　如果c=a-b，即b+c=a，在等式兩邊各加b 的負向量-b，利用b+(-b)=0，得c=a+(-b)，即a-b=a+(-b).
　　這表明向量a 與b 的差等于a 與-b 的和.
　　由三角形兩邊之和大于第三邊，有
　　|a+b|≤|a|+|b| 及 |a-b|≤|a|+|b|，
　　其中等號在a 與b 同向或反向時成立.
　　8.2.3 向量與數(shù)的乘法
　　定義8.8 設(shè)λ 是一個實數(shù)，向量a 與λ 的乘積(簡稱數(shù)乘)是一個向量，記作λa，它的模為|λa|=|λ||a|，當λ>0時，λa 與a 同向;當λ<0時，λa 與a 反向.
　　特別地，0a=0， 1a=a， (-1)a=-a.
　　向量與數(shù)的乘積符合下列運算規(guī)律(λ，μ 為實數(shù)):
　　(1)結(jié)合律 λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a;
　　(2)分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.
　　向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算.
　　設(shè)a0 表示與非零向量a 同方向的單位向量，則不難得到a=|a|a0.
　　由此也有a0= aa，即一個非零向量a 除以它的模，其結(jié)果是一個與a 同方向的單位向量，這個過程稱為將向量a 單位化.
　　顯然，向量λa 與a 平行，因此可以用向量的數(shù)乘來描述向量平行的關(guān)系.
　　定理8.1 若向量a≠0，則向量b∥a 的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得b=λa.
　　圖8-10
　　例1 在平行四邊形ABCD 中，M 是平行四邊形對角線的交
　　點(圖8-10)，設(shè)AB→=a，AD→=b，試用a 和b 表示向量MA→，MB→，MC→和MD→.
　　解 由于平行四邊形的對角線互相平分，所以
　　a+b=2AM→，2MA→=-(a+b)，
　　于是MA→=-12(a+b)，MC→=-MA→=12(a+b).
　　又因為a-b=2MB→，所以MB→=12
　　(a-b)， MD→=-MB→=-12(a-b).
　　8.2.4 向量的坐標表示
　　用幾何方法討論向量及其運算比較直觀，但是計算不方便，而且有些問題僅靠幾何方法是很難解決的.我們現(xiàn)在引進向量的坐標表示法，用代數(shù)方法討論向量及其運算.
　　在空間直角坐標系Oxyz 中，以i，j，k 分別表示沿x 軸?y 軸?z 軸正向的單位向量，這三個單位向量稱為基本單位向量.
　　圖8-11
　　設(shè)r 是一個給定的向量，若將r 的起點移到坐標原點O 處，此
　　時r 的終點在點M 處，即r=OM→.設(shè)點M 的坐標為(x，y，z)，過M
　　作三個平面分別垂直于三條坐標軸，依次交坐標軸與P，Q，R 三點
　　(圖8-11)，不難看出
　　OP→=xi， OQ→=yj， OR→=zk，
　　根據(jù)向量的加法定義，有
　　OM→=OP→+PN→+NM→=OP→+OQ→+OR→=xi+yj+zk，
　　所以
　　r=OM→=xi+yj+zk.
　　上式稱為向量r 的坐標分解式，xi，yj，zk 稱為向量r 沿三個坐標軸方向的分向量.當向量
　　r 給定時，分解式中的x，y，z 是唯一確定的，稱x，y，z 為向量r 的坐標，記為r=(x，y，z).
　　向量r=OM→稱為點M 的向徑.上述定義表明，一個點與該點的向徑有相同的坐標.
　　例2 設(shè)向量a=M1M2 →，點M1 和M2 的坐標分別為M1=(x1，y1，z1)和M2=(x2，y2，z2)，求向量a 的坐標.
　　圖8-12
　　解 由于M1M2 →=OM2 →-OM1 →(圖8-12)，而
　　r1=OM1 →=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k，
　　r2=OM2 →=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k，
　　所以a =M1M2 →=OM2 →-OM1 →
　　=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)
　　=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，
　　即a=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).
　　由此可知，對于起點不在坐標原點的向量，其坐標恰好等于向量終點坐標與起點坐標之差.
　　8.2.5 利用坐標作向量的線性運算
　　利用向量的坐標表達式，可得向量的加法?減法以及數(shù)乘的運算如下.
　　設(shè)a=(ax，ay，az)， b=(bx，by，bz)，
　　即a=axi+ayj+azk， b=bxi+byj+bzk.
　　利用向量加法的交換律與結(jié)合律以及數(shù)乘向量的結(jié)合律與分配律，有
　　a±b =(axi+ayj+azk)±(bxi+byj+bzk)
　　=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k，
　　λa=λ(axi+ayj+azk) (λ 為實數(shù))
　　=(λax)i+(λay)j+(λaz)k，