《高等數(shù)學（下冊）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材》根據(jù)高等學校工科類專業(yè)本科生的數(shù)學基礎(chǔ)課程教學基本要求，以高等教育應(yīng)用型本科人才培養(yǎng)計劃為標準，結(jié)合全國教育科學規(guī)劃課題《大學數(shù)學與高中新課程標準相銜接的教學模式研究與實踐KDIA090199》 的研究成果，在充分吸收編者們多年的教學實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上編寫而成。
《高等數(shù)學（下冊）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材》主要內(nèi)容包括：向量代數(shù)與空間解析幾 何、多元函數(shù)微分學、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數(shù)等內(nèi)容，此外 還介紹了 MATLAB軟件在高等數(shù)學中的應(yīng)用.各章節(jié)后配有習題，每章后 配有復(fù)習題（包括A基本題和B拓展題）。
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目錄
第6章 向量代數(shù)與空間解析幾何 1
6.1 向量及其線性運算 1
6.1.1 向量概念 1
6.1.2 向量的線性運算 2
6.1.3 空間直角坐標系 4
6.1.4 用坐標表示向量相關(guān)概念與運算 5
6.1.5 向量在軸上的投影 7
習題6.1 8
6.2 兩向量的數(shù)量積和向量積 9
6.2.1 兩向量的數(shù)量積 9
6.2.2 兩向量的向量積 10
6.2.3 三個向量的混合積 12
習題6.2 13
6.3 平面及其方程 13
6.3.1 平面的點法式方程 13
6.3.2 平面的一般方程 14
6.3.3 平面的截距式方程 15
6.3.4 兩平面的夾角 15
6.3.5 點到平面的距離 16
習題6.3 17
6.4 空間直線及其方程 17
6.4.1 空間直線的一般方程 17
6.1.2 空間直線的對稱式方程 17
6.4.3 空間直線的參數(shù)方程 19
6.4.4 兩直線的夾角 20
6.1.5 直線與平面的夾角 20
6.4.6 平面柬 21
習題6.4 22
6.5 曲面及其方程 23
6.5.1 曲面的方程 23
6.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面 25
6.5.3 柱面 28
6.5.1 二次曲面 29
習題6.5 32
6.6 空間曲線及其方程 32
6.6.1 空間曲線的一般方程 32
6.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 33
6.6.3 空間曲線在坐標面的投影 34
習題6.6 35
本章小結(jié) 36
總習題6 37
第7章 多元函數(shù)微分學 39
7.1 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 39
7.1.1 平面點集 39
7.1.2 二元函數(shù)的概念 40
7.1.3 二元函數(shù)的圖像 41
7.1.4 二元函數(shù)的極限 42
7.1.5 二元函數(shù)的連續(xù)性 43
習題7.1 44
7.2 偏導數(shù) 45
7.2.1 偏導數(shù)的定義 45
7.2.2 二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義 47
7.2.3 一階偏導數(shù)的求法 47
7.2.4 高階偏導數(shù) 48
習題7.2 50
7.3 全微分 51
7.3.1 全微分的定義 51
7.3.2 全微分、偏導數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 52
7.3.3 一元函數(shù)與多元函數(shù)之微分學對比圖示 53
7.3.4 全微分計算 53
7.3.5 全微分在近似計算中的應(yīng)用 54
習題7.3 54
7.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 55
7.4.1 復(fù)合函數(shù)的求導法則（鏈式法則） 55
7.4.2 一階全微分形式不變性 58
7.4.3 隱函數(shù)的求導法則 58
習題7.4 60
7.5 方向?qū)?shù)和梯度 61
7.5.1 方向?qū)?shù)的定義 61
7.5.2 方向?qū)?shù)、偏導數(shù)、連續(xù)與微分的關(guān)系 62
7.5.3 方向?qū)?shù)的計算 62
7.5.1 梯度 63
習題7.5 63
7.6 偏導數(shù)在幾何上的應(yīng)用 64
7.6.1 空間曲線的切線與法平面 64
7.6.2 空間曲面的切平面與法線方程 65
習題7.6 66
7.7 多元函數(shù)的極值及應(yīng)用 67
7.7.1 多元函數(shù)的極值 67
7.7.2 多元函數(shù)的最值 69
7.7.3 條件極值 70
習題7.7 72
本章小結(jié) 72
總習題7 73
第8章 重積分 76
8.1 二重積分的概念與性質(zhì) 76
8.1.1 二重積分概念的引入 76
8.1.2 二重積分的概念 77
8.1.3 二重積分的幾何意義 78
8.1.1 二重積分的性質(zhì) 78
8.1.5 利用對稱性化簡二重積分 80
習題8.1 81
8.2 二重積分的計算 82
8.2.1 直角坐標系下二重積分的計算 82
8.2.2 極坐標系下二重積分的計算 87
習題8.2 93
8.3 三重積分 95
8.3.1 概念的引入 95
8.3.2 三重積分的概念 96
8.3.3 三重積分的計算 96
習題8.3 106
8.4 重積分的應(yīng)用 106
8.4.1 立體的體積 107
8.1.2 曲面的面積 109
8.4.3 質(zhì)心 114
8.4.4 轉(zhuǎn)動慣量 116
8.4.5 引力 117
習題8.1 121
本章小結(jié) 122
總習題8 122
第9章 曲線積分與曲面積分 125
9.1 對弧長的曲線積分 125
9.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 125
9.1.2 對弧長的曲線積分的計算 126
習題9.1 128
9.2 對坐標的曲線積分 129
9.2.1 對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì) 129
9.2.2 對坐標的曲線積分的計算 131
9.2.3 兩類曲線積分之間的聯(lián)系 135
習題9.2 136
9.3 格林公式及其應(yīng)用 137
9.3.1 格林公式 137
9.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 142
9.3.3 二元函數(shù)的全微分求積 144
習題9.3 146
9.4 對面積的曲面積分 147
9.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 147
9.4.2 對面積的曲面積分的計算 148
習題9.4 151
9.5 對坐標的曲面積分 152
9.5.1 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì) 152
9.5.2 對坐標的曲面積分的計算 155
9.5.3 兩類曲面積分之間的聯(lián)系 157
習題9.5 159
9.6 高斯公式與斯托克斯公式 160
9.6.1 離斯公式 160
9.6.2 斯托克斯公式 163
習題9.6 165
本章小結(jié) 166
總習題9 166
第10章 無窮級數(shù) 171
10.1 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 171
10.1.1 常數(shù)項級數(shù)的概念 171
10.1.2 常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì) 174
習題10.1 176
10.2 數(shù)項級數(shù)的審斂法 177
10.2.1 正項級數(shù)及其審斂法 177
10.2.2 交錯級數(shù)及其審斂法 183
10.2.3 任意項級數(shù)及絕對收斂 184
習題10.2 186
10.3 冪級數(shù) 187
10.3.1 函數(shù)項級數(shù)的概念 187
10.3.2 冪級數(shù)及其收斂域 188
10.3.3 冪級數(shù)的運算與性質(zhì) 192
10.3.1 函數(shù)展開成冪級數(shù) 194
10.3.5 函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 198
習題10.3 200
10.4 傅里葉級數(shù) 201
10.4.1 三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 201
10.4.2 以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 202
10.4.3 只在[-π，π]上有定義的函數(shù)的傅里葉展開 206
10.4.4 只在[0，π]上有定義的函數(shù)的傅里葉展開 207
10.4.5 以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 209
習題10.4 211
本章小結(jié) 212
總習題10 213
部分習題參考答案 216
參考文獻 230
附錄D MATLAB實驗（下） 231
D1 空間曲面和空間曲線繪圖的MATLAB命令 231
D2 求偏導數(shù)的MATLAB命令 233
D3 求重積分的MATLAB命令 235
D4 求曲線積分與曲面積分的MATLAB命令 236
D5 元窮級數(shù)運算的MATLAB命令 238
《高等數(shù)學（下冊）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材》：
第6章 向量代數(shù)與空間解析幾何
解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何問題.要把代數(shù)運算引人到幾何中來，首先就要把幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化.在平面解析幾何中，通過坐標法把平面上的點與一對有序?qū)崝?shù)對應(yīng)起來，把平面上的圖形與方程對應(yīng)起來，從而實現(xiàn)了用代數(shù)的方法來研究平面幾何的目的.空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的.空間解析幾何對學習多元函數(shù)微積分和力學等課程有很大幫助，并且它本身的內(nèi)容對于解決一些實際問題也是很有用的。
本章先引人向量的概念，根據(jù)線；性運算建立空間直角坐標系，然后利用坐標討論向量的運算，并通過代數(shù)的方法研究空間中的一些常見的曲線和曲面。
6.1向量及其線性運算
6.1.1向量概念
現(xiàn)實生活中，只有大小的量稱為數(shù)量；像位移、速度、加速度、力、力矩等這類既有大小，又有方向的量稱為向量（或矢量）.
我們通常用有向線段來表示向量，其長度代表向量的大小，其方向表示向量的方向.以A為起點，B為終點的向量，記作^6（圖6.1），
有時也用一個黑體字母表示，例如，還可用6，6，6表示.向量的大小稱為向量的模，向量@與a的模分別記作||與|a|.
模等于1的向量稱為單位向量，與向量a方向相同的單位向量稱為向量a的單位向量，記作e�；�6a.
模等于0的向量稱為零向量，記作0或$零向量是起點與終點重合的向量，它的方向可以看作是任意的.
與向量a的模相同而方向相反的向量稱為漢的負向量，記作顯然.我們把向量看作是有向線段，若向量a與，所在的直線相互平行，就稱向量a與b相互平行，記作a/，類似地，我們可以說一個向量與一條直線或一個平面平行等.
若兩個向量的模相等且方向相同，就稱向量a與b是相等的，記作a=b.
量是等與它的起點只它的和方?jīng)Q
在數(shù)學上，我們研究的正是這種與起點無關(guān)，而只由模和方向決定的向量，這種向量稱為自由向量.自由向量可以任意平行移動，移動后的向量仍代表原來的向量.在自由向量的意義下，相等的向量都可以看作是同一個自由向量.由于自由向量起點可任取，在討論中我們可以按照需要選取某一點作為所研究的這些向量的公共起點，這種做法稱為把一些向量歸結(jié)到了共同的起點。
如果把彼此平行的一組向量歸結(jié)到共同的起點，這組向量一定在同一直線上，因此，把平行于同一直線的一組向量稱為共線向量.零向量與任何共線的向量組共線.
如果把平行于同一平面的一組向量歸結(jié)到共同的起點，這組向量一定在同一個平面上，因此，把平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.零向量與任何共面的向量組共面。
A設(shè)有兩個非零向量a與fc，任取空間一點0，作OA=a，OB=ft，
記=規(guī)定0<1<1我們把1稱為向量a與b的夾角（圖6.2），記作<？，>或<3>，也可以記作
如果向量a與中有一個是零向量，規(guī)定它們的夾角可以在0到1之間任意取值.
圖62顯然，若兩向量a與平行，則=0或1而若=
1，就稱向量a與fc垂直，記作a丄b.
由于規(guī)定了零向量與任一向量間的夾角可以在0到1之間任意取值，因此，可以認為零
6.1.2向量的線性運算
向量的加法、減法以及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算.
1.向量的加減法
定義6.1.1設(shè)有兩個向量a與fc，任取空間一點0為起點，作0A=a，AB=fc，則向量0B=c稱為兩向量a與fc的和，記作c=a+fc.
求兩已知向量的和的運算稱為向量加法.
根據(jù)向量加法的定義，有=$，這種求兩個向量和的方法，稱為三角形法則（圖6.3）.
如果把兩個向量a與M3結(jié)到共同的起點0，作0A=a，（$=fc，并以0A與為鄰邊作O0ACB，那么對角線向量（6=0^+C^，這種求兩個向量和的方法稱為平行四邊形法則（圖6.4）.實際上，平行四邊形法則可歸結(jié)為三角形法則，只需進行向量的平移即可。
特別地，有
向量的加法滿足下面的運算規(guī)律：
（1）交換律：a+fc=fc+a；
（2）結(jié)合律：（a+fc）十c=a十（（c）.
上述運算規(guī)律通過三角形法則容易證明，留給讀者自行證明.
由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，因此任意有限個向量ai，a'， ，an的和，就可以i己作向量加法的三角y法則可以p廣得到任意有^個向量相加的法則：任取空間一點o為起點，首尾相連，作可得一條折線OA：A2 A？，則向量
OAn=a就是這n個向量a：，a2， ，1的和，即OAnzOAi+AA'H（A*#An.這種求和
的方法稱為多邊形法則.
前面已經(jīng)定義了負向量，向量的減法可以通過負向量來規(guī)定：
兩個向量a與b的差a—6=a+（—6）（圖6.5）.
根據(jù)向量減法的規(guī)定，可以得到向量等式的移項法則：0++.
向量加法還滿足下列不等式：
對于任何兩個向量a與6，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊，有a+b&a+b（當a與6同向時等號成立）a—b\&a+b（當a與6反向時等號成立）.
上述不等式還可以推廣到任意有限個向量的情況（讀者可根據(jù)數(shù)學歸納法自行證明）
例6.1.1如圖6.6所示，在平行六面體ABCD—AiB1C1Dj中，設(shè)AB=a，AD=b，11：=（；，試用a，b，c來表
示向量16和1#C.
2.數(shù)與向量的乘法
在物理學中，我們非常熟悉的牛頓第二定律的數(shù)學形式/=_，這個表達式用到了數(shù)與向量之間的乘法關(guān)系，這種關(guān)系在物理學中經(jīng)常會被用到，再比如s=vt.
定義6.1.2實數(shù)A與向量a的乘積仍是一個向量，記作a，它的模為|a|=6||a|，
當A>0時，其方向與漢相同，當A<0時，其方向與a相反，這種運算稱為數(shù)與向量的乘法，簡稱數(shù)乘.
根據(jù)上述定義，顯然，當6=0或a=0時，|Aa|=|A||a|=0，此時6a=0，它的方向可以是任意的；當若已知向量a及其單位向量ea，根據(jù)數(shù)乘的定義，等式a=|ak顯然成立，所以當時，有
數(shù)乘運算滿足下面的運算律
�。�1）結(jié)合律：
�。�2）分配律：
其中，a，b為向量，A#為任意實數(shù).
由于向量Aa與a平行，因此我們常用向量與數(shù)的乘積來說明兩個向量的平行關(guān)系.
定理6.1.1設(shè)有非零向量a，向量，平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)A，使b>=Aa.
證明一方面，若存在唯一的實數(shù)則根據(jù)數(shù)與向量的乘法定義，當A>0時，b與a同向；當A<0時，b與a反向，因此，b平行于a.
另一方面，若b平行于a則b與a或者同向，或者反向.DA與a同向時，取，=jb|；當b與a反向時，取與Aa方向相同，且，因此b=Aa.
再證A的唯一性.設(shè)有b=A#a和b=A2a，兩.式相減有0=（Ai—A2）a，即6一6||a|=0，由于a為非零向量，所以Ai-2=0，即Ai=A.證畢.
例6.1.2利用向量證明連結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的
一半。
由此例可見，我們可以利用向量運算來證明一些幾何命題。
6.1.3空間直角坐標系
在空間中取定一點o和三個兩兩相互垂直的有序單位向量i66，就確定了三條都以？為原點的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標軸.它們構(gòu)成了一個空間直角坐標系，稱為C/yz坐標系或[0；c]坐標系，點0稱為坐標原點。
三個坐標軸的正向通常符合右手螺旋規(guī)貝IJ，如圖6.8貝申出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向i的方向軸正方向），然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90°，指向j的方向（y軸正方向），此日寸大拇指指向k的方向（軸正方向）。
每兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面’按照坐標面所包含的坐標軸’分別稱為z0：y面、：yOz面6Or面.三張坐標面把空間分成八個區(qū)域，每個區(qū)域稱為一個卦限，這八個區(qū)域分別稱為八個卦限，如圖6.9所示。
任意取定向量r，由于我們所的向量均指自由向量，因此可以將r的起點取作原點0，記0=r，M為r的終點.以0M為對角線、三條坐標軸為棱作長方體（圖6.10），
這個式子稱為向量r的坐標分解式，k分別稱為向量r沿x軸，y軸，z軸方向的分向量.
通過上述討論可以看出，取定向量r，就確定了點M及一個有序數(shù)組（x，y，z）；反過來，給定一個有序數(shù)組（x，y，z），也可以確定一個向量r及一個點M.因此，向量r，點M，有序數(shù)組（x，y，z）三者之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系.
定義6.1.3中的有序數(shù)組（x，y，z）稱為向量r關(guān)于坐標系[0；i，j，k]的坐標，記作r=（x，y，z）.
定義6.1.4對于坐標系[0；i，j]中的任意一點M，向量0M稱為點M的向徑.向徑0M關(guān)于[0，j]的坐標（r，y，z）稱為點M關(guān)于[0；i，j，k]的坐標，記作M（x，y，z）.
坐標軸上、坐標面上及各個卦限當中的點的坐標各有特點，例如x軸上任一點的坐標形式為（x，0，0）；：0y面上任一點的坐標形式為（x，y，0）第I卦限中任一點的三個坐標均為正等，這里不一一列舉，請讀者自己試著分析總結(jié)。
……
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