題根1 整數(shù)從來是根本
　　2013年，一位家長在武漢“漢網(wǎng)”上發(fā)出一道數(shù)學(xué)征解題：
　　某年的7月有4個星期一和4個星期五，那么這一年的7月1日是星期幾？
　　從題的性質(zhì)來看，幾乎一切“正規(guī)”的初、高中數(shù)學(xué)知識都派不上用場，所以該題不僅難倒了大批學(xué)生，也難倒了他們的家長.而它，只不過是一道小學(xué)課外趣題.
　　這道題真的很難嗎？
　　解題之前，先得明白題意.7月有31天，所以不管是星期幾，這個月都會出現(xiàn)至少4次，至多5次.如果這個月恰“有4個星期一和4個星期五”，其含義是：不管是星期一還是星期五，都不能出現(xiàn)5次.
　　當(dāng)一個問題從正面思考不好解決時，轉(zhuǎn)換方向，從反面求之，興許正是破題的捷徑.因此我們考察：在什么情況下7月份會出現(xiàn)5個星期一？
　　由于31=4×7+3，所以當(dāng)7月1日、2日或3日是星期一時，這個月都會出現(xiàn)5個星期一.相應(yīng)地，7月1日不能是星期六、星期日、星期一.
　　同理，當(dāng)7月1日是星期三、星期四、星期五時，這個月都會出現(xiàn)5個星期五.
　　據(jù)此，7月1日不能是星期一、星期三、星期四、星期五、星期六、星期日，也就是說，7月1日只能是星期二.
　　以上解題的思想方法，數(shù)學(xué)上稱之為“反證法”.以本題為例，直接考察7月1日是星期幾困難，我們轉(zhuǎn)而考察這一天不能是星期幾.去掉了不可能的，剩下的就是必然的.
　　這個簡單的例子折射出：沒有起碼的數(shù)論知識，對于哪怕是一些十分簡單的問題也會束手無策的.
　　題根16 三角形，向邊角關(guān)系尋根
　　在一次數(shù)學(xué)課上，萬老師拿來5根小木條，對同學(xué)們說：“這些木條的長度分別為4cm，8cm，8cm，10cm，12cm，用其中3根可以組成幾種不同的三角形？”
　　自以為聰明的小明立即搶答：“這還不簡單,可以組成3個不同的三角形. 它們的規(guī)格分別是4cm，8cm，8cm；4cm，8cm，10cm；4cm，8cm，12cm.”
　　不料，他的搶答引來一片唏噓.“長為4cm，8cm，12cm的3根也能組成三角形？虧你想得出來！”小白在一旁插嘴.
　　“糟！我怎么會犯這么明顯的錯誤.”小明一邊自責(zé)，一邊檢討,“4+8=12，不符合三角形任意兩邊之和大于第三邊，果然不能組成三角形.”
　　可是大家還是不依不饒，七嘴八舌地嚷著：“難道長為4cm，10cm，12cm的3根就不能組成三角形？”“還有8cm，8cm，10cm;8cm,8cm,12cm
　　;8cm,10cm,12cm這三種情況呢？”小明后悔極了：一次冒失，竟犯了幾個錯誤.
　　萬老師小結(jié)道：“本題的根在哪里?在三角形邊與邊的關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊.別看本題簡單，要想不重復(fù)、不遺漏地寫出正確、完整的答案（即共6個不同的三角形）還真不容易.”

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