第1 章拓?fù)淙?br>本章講解拓?fù)淙旱幕�本操作、同態(tài)、子群、商空間、反向極限.最簡(jiǎn)單的拓?fù)淙菏菍?shí)數(shù)R和2× 2 矩陣群
.. ab ..
GL2R=cd |a,b,c,d ∈ R,ad. bc =0..
第一個(gè)商空間的例子便是R/Z.反向極限的例子是limZ/PnZ.
1.1 群和拓?fù)淇臻g
為了閱讀方便,我們先簡(jiǎn)述一下群和拓?fù)淇臻g的內(nèi)容.一個(gè)群是一個(gè)集合與一個(gè)在其中定義的二元運(yùn)算(G,),它滿足下面三條公理:
?
(1)(ab)c=a(bc),.a, b, c ∈ G;

(2)存在單位元e,使得ea=ae=a,.a ∈ G;


(3) 對(duì)任意a ∈ G,存在a.1 ∈ G,使得a.1a = aa.1 =e.若二元運(yùn)算是對(duì)稱的,即ab=ba,則G稱為交換群或Abel群.
設(shè)N是G的一個(gè)子集,若N對(duì)G中的運(yùn)算構(gòu)成群,則稱N為G的子群.若一個(gè)子群N滿足
a.1Na = {a.1 na|.n ∈ N} = N, Va ∈ G,
則稱N為G的正規(guī)子群,記為N.G.這時(shí)我們可以作G模N的商群,這是由G模下述等價(jià)關(guān)系ρ而得到的等價(jià)類構(gòu)成的群:
a ～ ρ bab.1 ∈ N. .
事實(shí)上,它就是G關(guān)于N的所有陪集所組成的群,記為G/N.設(shè)G1,G2皆為群,e1,e2分別為G1,G2的單位元,若一個(gè)映射
.:G1G2,
→
a .→ .(a),
滿足
.(ab)=.(a).(b),.a, b ∈ G1,
←n
則我們稱.是G1到G2的同態(tài),同態(tài)的核是Ker.={a ∈ G1|.(a)=e2}.如果Ker.={e1},則稱.是單的..的像集是Im.={b ∈ G2| 存在a ∈ G1,使b=.(a)}.若Im.=G2,則.稱為滿的.當(dāng)同態(tài).既單又滿時(shí),則稱.是同構(gòu),這時(shí)我們說G1和G2同構(gòu),記為G1～一般地, 總有
=G2.G1/Ker.～
=Im..
設(shè)N為G的正規(guī)子群,則我們有同態(tài)映射ρ:G→ G/N.設(shè)另有一同態(tài):G→ H, 且N . Ker.,則必存在同態(tài).. : G/N → H, 使得. = .. . ρ, 也就是說, 使得下圖
ρ
.


H
????????
是交換圖, 這稱為商群的萬有性質(zhì).
G /
G/N
..
設(shè)I為一指標(biāo)集合,Gi,i∈ I 全是群, 則我們可以作這些群的乘積
G=.Gi,
i∈I
其元素形式為a=(ai)i∈