目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 數(shù)值分析研究的內(nèi)容與特點(diǎn) 1
1.2 誤差 2
1.2.1 誤差的來(lái)源與分類 2
1.2.2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與準(zhǔn)確數(shù)字 2
1.2.3 計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示與舍入誤差 4
1.2.4 數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì) 6
1.3 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 8
小結(jié) 9
習(xí)題 10
第2章 解線性方程組的直接法 12
2.1 高斯消去法 13
2.1.1 高斯消去法 13
2.1.2 高斯消去法中乘除法的運(yùn)算量 18
2.1.3 高斯消去法順利進(jìn)行的條件 18
2.1.4 高斯消去法的算法組織 19
2.1.5 列主元高斯消去法 20
2.2 矩陣的三角分解 22
2.2.1 高斯消去法的矩陣形式 22
2.2.2 矩陣的LU分解 25
2.2.3 平方根法和改進(jìn)平方根法 30
2.2.4 求解三對(duì)角方程組的追趕法 35
2.3 舍入誤差對(duì)解的影響 37
2.3.1 向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 37
2.3.2 舍入誤差對(duì)解的影響 44
2.4 正交變換與矩陣的QR分解 49
2.4.1 吉文斯變換與豪斯霍爾德變換 49
2.4.2 矩陣的QR分解 52
2.5 超定方程組 65
2.5.1 線性最小二乘問(wèn)題 65
2.5.2 最小二乘問(wèn)題的求解 67
小結(jié) 71
習(xí)題 72
計(jì)算實(shí)習(xí) 75
第3章 解線性方程組的迭代法 77
3.1 向量序列和矩陣序列的極限 77
3.2 解線性方程組的基本迭代法 78
3.2.1 迭代法的一般格式 78
3.2.2 三種基本迭代法 78
3.3 迭代法的收斂性 83
3.3.1 迭代法的矩陣表示 83
3.3.2 迭代法的收斂性 84
3.4 共軛梯度法 92
3.4.1 求解線性方程組與求解二次函數(shù)極小點(diǎn)的等價(jià)性 92
3.4.2 共軛梯度法 93
3.5 基于伽遼金原理的迭代法 100
3.5.1 伽遼金原理和克雷洛夫子空間 100
3.5.2 阿諾爾迪過(guò)程 101
3.5.3 阿諾爾迪算法 103
3.5.4 廣義極小殘余算法 106
小結(jié) 110
習(xí)題 111
計(jì)算實(shí)習(xí) 113
第4章 插值法 115
4.1 多項(xiàng)式插值問(wèn)題 115
4.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 118
4.3 牛頓插值多項(xiàng)式 120
4.3.1 差商的定義 121
4.3.2 牛頓插值多項(xiàng)式 121
4.3.3 差商的性質(zhì) 124
4.4 埃爾米特插值多項(xiàng)式 125
4.5 分段低次插值多項(xiàng)式 129
4.5.1 高次插值多項(xiàng)式的缺陷 129
4.5.2 分段低次插值法 130
4.6 三次樣條插值函數(shù) 132
4.6.1 三次樣條插值函數(shù)的定義 132
4.6.2 三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)出 132
4.6.3 三次樣條插值函數(shù)的收斂性與誤差估計(jì) 138
小結(jié) 138
習(xí)題 139
計(jì)算實(shí)習(xí) 141
第5章 函數(shù)最優(yōu)逼近 142
5.1 函數(shù)的內(nèi)積、范數(shù)和正交多項(xiàng)式 142
5.1.1 函數(shù)的內(nèi)積和范數(shù) 142
5.1.2 正交多項(xiàng)式 144
5.2 最優(yōu)平方逼近 151
5.2.1 最優(yōu)平方逼近 151
5.2.2 正規(guī)方程組 152
5.3 最優(yōu)一致逼近 162
5.3.1 最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式 162
5.3.2 近似最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式 165
小結(jié) 173
習(xí)題 174
計(jì)算實(shí)習(xí) 176
第6章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 177
6.1 牛頓-科茨求積公式 177
6.1.1 數(shù)值積分的基本思想 177
6.1.2 牛頓-科茨求積公式 178
6.1.3 復(fù)化求積公式 180
6.1.4 變步長(zhǎng)積分法 183
6.1.5 龍貝格積分法 184
6.2 待定系數(shù)法與高斯型求積公式 187
6.2.1 代數(shù)精度與待定系數(shù)法 187
6.2.2 廣義佩亞諾定理 189
6.2.3 高斯型求積公式 191
6.2.4 常用的4種高斯型求積公式 197
6.3 數(shù)值積分的穩(wěn)定性 201
6.4 數(shù)值微分 201
6.4.1 插值型數(shù)值微分公式 202
6.4.2 待定系數(shù)法 204
6.4.3 外推求導(dǎo)法 205
6.4.4 利用三次樣條插值函數(shù)求導(dǎo)法 208
小結(jié) 208
習(xí)題 209
計(jì)算實(shí)習(xí) 210
第7章 非線性方程(組)的迭代解法 212
7.1 求解非線性方程的迭代法 212
7.1.1 幾種基本迭代法 212
7.1.2 迭代法的收斂性 219
7.1.3 迭代法的收斂速度 224
7.1.4 加速收斂技術(shù) 226
7.2 求解非線性代數(shù)方程組的迭代法 228
7.2.1 簡(jiǎn)單迭代法 229
7.2.2 牛頓法 231
7.2.3 弦割法 234
7.2.4 布洛依登法 236
小結(jié) 237
習(xí)題 238
計(jì)算實(shí)習(xí) 239
第8章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 241
8.1 基本性質(zhì) 241
8.2 求一般矩陣特征值的計(jì)算方法 242
8.2.1 乘冪法及反冪法 242
8.2.2 求矩陣全部特征值與特征向量的QR 方法 245
8.2.3 阿諾爾迪方法 251
8.3 求實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的計(jì)算方法 253
8.3.1 雅可比方法 253
8.3.2 吉文斯方法 256
8.3.3 蘭喬斯方法 258
8.4 奇異值(SVD)的計(jì)算 259
8.5 廣義特征值問(wèn)題 261
8.5.1 廣義Schur分解 261
8.5.2 對(duì)稱正定矩陣的廣義Schur分解 262
小結(jié) 262
習(xí)題 263
計(jì)算實(shí)習(xí) 263
第9章 常微分方程數(shù)值解法 265
9.1 初值問(wèn)題常用數(shù)值解法的建立與使用 265
9.1.1 基本數(shù)值解法的建立與隱式法的求解 265
9.1.2 龍格-庫(kù)塔法 273
9.1.3 待定系數(shù)法、預(yù)測(cè)—校正公式 278
9.2 數(shù)值解中誤差的積累、數(shù)值方法的收斂性和絕對(duì)穩(wěn)定性 282
9.2.1 數(shù)值解中誤差的積累和數(shù)值方法的收斂性 282
9.2.2 絕對(duì)穩(wěn)定性 286
9.3 一階微分方程組與高階方程的數(shù)值解法 289
9.3.1 一階微分方程組 289
9.3.2 高階常微分方程 291
9.4 邊值問(wèn)題的數(shù)值解法 293
9.4.1 有限差分法 293
9.4.2 打靶法 300
小結(jié) 302
習(xí)題 303
計(jì)算實(shí)習(xí) 304
第10章 偏微分方程的數(shù)值解法 305
10.1 橢圓型邊值問(wèn)題 305
10.1.1 差分方程的建立 305
10.1.2 差分解的誤差估計(jì)與收斂性 307
10.1.3 一般二階橢圓型方程邊值問(wèn)題 310
10.2 拋物型方程初、邊值問(wèn)題 310
10.2.1 差分方程的建立與求解 311
10.2.2 差分格式的穩(wěn)定性 313
10.2.3 差分解的誤差估計(jì)與收斂性 315
10.3 雙曲型方程混合問(wèn)題 316
10.3.1 一階雙曲型方程 316
10.3.2 一階常系數(shù)雙曲型方程組 317
10.3.3 二階雙曲型方程 318
10.4 有限元法 320
10.4.1 變分原理 320
10.4.2 伽遼金逼近解 323
10.4.3 單元及形狀函數(shù) 324
10.4.4 有限元求解步驟 327
小結(jié) 329
習(xí)題 329
計(jì)算實(shí)習(xí) 332
參考文獻(xiàn) 333