第一章　牛頓力學(xué)

    物體空間位置隨時間的變化，稱為機(jī)械運(yùn)動，簡稱運(yùn)動.物質(zhì)的所有運(yùn)動形式幾乎

都涉及機(jī)械運(yùn)動，機(jī)械運(yùn)動是最基本的運(yùn)動形式.力學(xué)是研究機(jī)械運(yùn)動的一門學(xué)科，也

是物理學(xué)乃至自然科學(xué)的基礎(chǔ)，無論是高考大綱還是競賽大綱，對力學(xué)內(nèi)容的要求都是

最多的．

研究機(jī)械運(yùn)動，力學(xué)采取的方法是由表及里，由現(xiàn)象到本質(zhì)的研究步驟.運(yùn)動學(xué)只

對機(jī)械運(yùn)動的現(xiàn)象進(jìn)行研究，研究機(jī)械運(yùn)動內(nèi)在的規(guī)律屬于動力學(xué)．

第一節(jié)　運(yùn)　動　學(xué)

一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本概念

1.參照系與質(zhì)點(diǎn)

為描述物體的運(yùn)動而事先選定的一個靜止物體叫參照系，將坐標(biāo)系固定在參照系上

才能定量地描述物體的運(yùn)動.力學(xué)中所描述的物體的運(yùn)動都是相對的.一般情況下默認(rèn)

的參照系是地面或地面上的建筑物．

質(zhì)點(diǎn)是一個理想化的物理模型，是具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn).若在分析某具體問題時，

實(shí)際物體的形狀和大小可以忽略，這個物體就能看作質(zhì)點(diǎn).通常在兩種情況下物體能夠

看作質(zhì)點(diǎn)： 該物體的幾何線度與所討論問題中的其他物體的幾何線度相比可以忽略時；

該物體上每點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)都相同時．

在物理學(xué)中，為突出所研究問題的主要矛盾，忽略次要矛盾，常用理想模型代替實(shí)

際研究對象.這樣就能將復(fù)雜問題簡單化，便于找出基本規(guī)律．

2.位置、位移和路程

物體在某一時刻的空間位置，在直角坐標(biāo)系中用位置矢量r 來描述.位置矢量r 的

定義為自坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)位置P（ x，y，z） 所引的有向線段，大小為x2 + y2 + z2，方

向自原點(diǎn)指向P.

某質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時間Δ t 后由位置P 運(yùn)動到位置Q，則由P 指向Q 的有向線段就叫時間Δ t

內(nèi)該質(zhì)點(diǎn)的位移.位移是矢量，大小為所討論質(zhì)點(diǎn)在某段時間的始末位置間的直線距離，

方向由始點(diǎn)指向末點(diǎn).位移也是該質(zhì)點(diǎn)在這段時間內(nèi)位置矢量的增量，即Δs ＝ r（ t +

Δ t） - r（ t）.

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動在時間Δ t 內(nèi)的運(yùn)動軌跡的長度為路程.路程是標(biāo)量.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作單向直線運(yùn)

動時，或我們所討論時間Δ t 極小時，路程和位移的大小相等．

3.速度與速率

速度與速率是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動快慢的物理量．

質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)通過的位移與所用時間的比值為平均速度，說明這段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)

運(yùn)動快慢的平均效應(yīng)，表示為

-

＝ Δs

Δ t ； 若所用時間Δ t ?0，則上述比值為質(zhì)點(diǎn)在某一位

置或某一時刻的瞬時速度，簡稱速度，表示為＝ lim Δ t ?0

Δs

Δ t.速度是矢量，方向?yàn)槲灰痞�s

的方向．

質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)通過的路程與所用時間的比值為平均速率； 若所用時間Δ t ?0 ，

則上述比值為質(zhì)點(diǎn)在某一位置或某一時刻的瞬時速率，簡稱速率.速率是標(biāo)量．

4.加速度

加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動變化快慢的物理量．

質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)速度的增量與所用時間的比值為平均加速度，說明這段時間內(nèi)質(zhì)

點(diǎn)運(yùn)動變化快慢的平均效應(yīng)，表示為a ＝ Δ 　

Δ t ； 若所用時間Δ t ?0，則上述比值為質(zhì)點(diǎn)在

某一位置或某一時刻的瞬時加速度，簡稱加速度，表示為a ＝ lim Δ t ?0

Δ 　

Δ t.加速度是矢量，

方向?yàn)樗俣仍隽喀?　的方向．

【例1】已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程為x ＝ （ t2 + 4）m，試求第1 秒末到第2 秒末這段時

間內(nèi)的平均速度以及這兩個時刻的速度和加速度．

【解析】平均速度大小為

v ＝ Δ s

Δ t ＝ x2 - x1

t2 - t1

＝ （ t22

+ 4） - （ t21

+ 4）

t2 - t1

＝ 8 - 5

2 - 1 ＝ 3m/s

方向沿x 軸的正方向．

瞬時速度大小為

v ＝ lim Δ t ?0

Δ s

Δ t ＝ lim Δ t ?0

（ t + Δ t）2 + 4 - （ t2 + 4）

Δ t ＝ lim Δ t ?0

2 t Δ t + Δ t2

Δ t ＝ 2 tm/s

方向沿x 軸的正方向.將t1 ＝ 1s，t2 ＝ 2s 代入上式，得第1 秒末和第2 秒末的速度大小分

別為

v 1 ＝ 2m/s，v 2 ＝ 4m/s

瞬時加速度大小為

a ＝ lim Δ t ?0

Δ v

Δ t ＝ lim Δ t ?0

2（ t + Δ t） - 2 t

Δ t ＝ lim Δ t ?0

2 Δ t

Δ t ＝ 2m/s2

方向沿x 軸的正方向.加速度為恒量，與時間無關(guān)．

二、運(yùn)動的合成

1.矢量和標(biāo)量

一個量不僅有大小，還有方向，這個量就是矢量.若某個量只用大小描述，這個量

則為標(biāo)量.位移、速度、加速度等物理量是矢量，質(zhì)量、時間、路程等物理量為標(biāo)量．

標(biāo)量間的運(yùn)算為代數(shù)運(yùn)算.矢量間的求和遵循平行四邊形法則或多邊形法則.矢量

能合成，也能分解.對多個矢量的求和通常采用的是先將矢量分解在相互垂直的兩個或

三個方向上，求得各個方向上的合量后再合成為一個矢量的方法，即正交分解法．

2.運(yùn)動的合成

運(yùn)動的合成實(shí)際上是描述運(yùn)動的位移、速度、加速度等物理量的合成，因此運(yùn)動的

合成也遵循平行四邊形法則．

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的描述與參照物有關(guān).我們一般將物體相對默認(rèn)參照系的運(yùn)動稱為絕對運(yùn)

動，而相對其他物體的運(yùn)動稱為相對運(yùn)動，作為參照系的物體相對默認(rèn)參照系的運(yùn)動叫

做牽連運(yùn)動，按運(yùn)動的合成規(guī)律，有

v絕對＝ v相對+ v牽連　　a絕對＝ a相對+ a牽連　　r絕對＝ r相對+ r牽連

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所作運(yùn)動是較復(fù)雜的運(yùn)動時，為計算方便，我們常把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動分解為幾個

簡單的運(yùn)動來分別研究.這時，質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動為合運(yùn)動，分解后的運(yùn)動為分運(yùn)動.無

論空間是否存在其他運(yùn)動，任何一個分運(yùn)動都遵循自身的規(guī)律，這就是運(yùn)動的獨(dú)立性原

理.如拋體運(yùn)動就分解為水平的勻速直線運(yùn)動與豎直的勻加速直線運(yùn)動．

【例2】設(shè)河水流速為v 1，小船在靜水中航行的速度為v 2，若小船從一岸行駛到對

岸，問當(dāng)船的航行方向怎樣時，才能（1） 小船所花時間最短； （2） 小船所經(jīng)過的路程

最短？

圖1-1

【解析】以地球?yàn)閰⒄瘴�，小船渡河的速度為水流速度與船速

的矢量和．

（1） 小船渡河到對岸所花的時間只與船速有關(guān)，要使時間最

短，必須讓航行方向垂直水流指向?qū)Π叮?/span>

（2） 當(dāng)v 2 ＞ v 1 時，最短的路程就是河寬，此時船的運(yùn)動方向

圖1-2

指向?qū)Π?如圖1 -1 所示，船行的方向偏向上游，與兩岸垂線的角

度為α ＝ arcsinv 1 / v 2.

當(dāng)v 1 ＞ v 2 時，小船不可能垂直于對岸運(yùn)動，但可以找到一個

運(yùn)動方向使得路程最短.如圖1 -2 所示，設(shè)河寬為s，小船的矢量

三角形Ov v 1 中，設(shè)∠ Ov v 1 ＝ θ，由正弦定理得v 2

sinβ ＝ v 1

sinθ，可得

sinβmax ＝ v 2

v 1

.由此可見，只有當(dāng)θ ＝ π/2 時，即合速度與船速垂直時，小船才有最短路

程.此時船的航行方向偏向上游，與水流的夾角為

π

2 + arcsin v 2

v 1

，其經(jīng)過的路程為

式中s 為河寬．

3.物體系統(tǒng)的速度

對于由物體組成的系統(tǒng)在運(yùn)動時，各物體也可以有相對系統(tǒng)的運(yùn)動，此時，這些物

體的運(yùn)動速度滿足下列規(guī)律：

① 剛性桿、繃緊的繩上各點(diǎn)在同一時刻具有相同的沿桿、繩的分速度；

② 不同的接觸物在接觸面法線方向的分速度相同，切向分速度在無相對滑動時也

相同；

③ 系統(tǒng)組成線狀交叉物時，交叉點(diǎn)的速度是相交物沿雙方切向運(yùn)動分速度的矢量和．

三、拋體運(yùn)動

1.平拋運(yùn)動

只受自身重力作用并具有水平初始速度的物體在空中的運(yùn)動為平拋運(yùn)動.一般將平

拋運(yùn)動在平面直角坐標(biāo)系中分解為水平方向以初始速度v 0 為恒定速度的勻速直線運(yùn)動和

豎直方向的自由落體運(yùn)動.其相關(guān)量為

（1） 位移

水平方向　x ＝ v 0 t

豎直方向　y ＝ 12

gt2

合位移　大小s ＝ x2 + y2 ＝ （ v 0 t）2 + 12

gt2

2

方向α ＝ arctan gt

2 v 0

，α 為位移與水平方向的夾角．

（2） 速度

水平方向　v x ＝ v 0

豎直方向　v y ＝ gt

合速度　大小v ＝ v x

2 + v y

2 ＝ v 0

2 + （ gt）2

方向β ＝ arctan gt

v 0

，β 為速度與水平方向的夾角．

（3） 加速度

直角坐標(biāo)系　ax ＝ 0，ay ＝ g

自然坐標(biāo)系　an ＝ gcosα ＝

g v 0

v20

+ （ gt）2 ，aτ ＝ gsinα ＝ g2 t

v20

+ （ gt）2

（4） 軌跡

由水平方向和豎直方向位移公式消去時間參數(shù)t，得y ＝ g

2 v20

x2.此軌跡曲線為過原

點(diǎn)的拋物線（如圖1 -3 所示），v 0 越大，圖線張開程度越

大，射程越大．

2.斜拋運(yùn)動

只受自身重力作用且初始速度與水平方向成一定夾角的

物體在空中的運(yùn)動為斜拋運(yùn)動.初速度有一定仰角的叫斜上

拋運(yùn)動，初速度有一定俯角的叫斜下拋運(yùn)動．

仰角為θ 斜上拋運(yùn)動可按如下方式分解．

（1） 將斜拋運(yùn)動在平面直角坐標(biāo)系中分解為水平方向的

勻速直線運(yùn)動和豎直方向的上拋運(yùn)動.其相關(guān)量為

1） 位移

水平方向　x ＝ v 0 cosθ ? t

豎直方向　y ＝ v 0 sinθ ? t - 12

gt2

2） 速度

水平方向　v x ＝ v 0 cosθ

豎直方向　v y ＝ v 0 sinθ - gt

3） 加速度

水平方向　ax ＝ 0

豎直方向　ay ＝ g

4） 軌跡　由位移關(guān)系消去時間參數(shù)t，得

　　　　　y ＝ x tanθ - g

2 v20

cos2 θx2

5） 特征量

飛行時間　T ＝ 2 v 0 sinθ

g

射高　　　H ＝ v20

sin2 θ

2 g

射程　　　S ＝ v20

sin2θ

g

（2） 將斜拋運(yùn)動分解為沿初速方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體

運(yùn)動．

（3） 若在斜面上討論斜拋運(yùn)動，可沿斜面和垂直斜面方向作x 、y 軸，把初速度和

加速度都分解在此二方向上，物體在這兩個方向上作勻加速直線運(yùn)動．

【例3】一倉庫高20m 、寬40m，在倉庫前某處A 點(diǎn)拋一石塊過屋頂.試問： A 距倉

庫前多遠(yuǎn)，所需初速度v 0 最小且具體值為多少？ （ g ＝ 10m/s2 ）

【解析】如圖1 -4 建立坐標(biāo)系.要使v 0 最小，則要求石塊擦著倉庫邊緣B 、C 兩點(diǎn)

飛過，而對BC 段的討論就是對射程的討論.如圖1 -4 ，

S B C ＝ v 2

B sin2α

g

v 2

B ＝ S B C g

sin2α

可見，當(dāng)α ＝ 45° 時，v B 有最小值，為v B min ＝

S B C g ＝ 40 × 10 ＝ 20 （m/s）.

現(xiàn)在以- v B 為初速作斜向下拋運(yùn)動，則可求A 點(diǎn)距倉庫的距離l.

設(shè)由B 到A 的時間為t，有

h ＝ v B y t + 12

gt2

將h ＝ 20m 代入，可求得時間的有效值為t ＝ 6 - 2 s.則有l(wèi) ＝ v B x t ＝ 14暢6m.對初速

v 0 x ＝ v B x ＝ 10 2 m/s

v 0 y ＝ v B y + gt ＝ 10 6 m/s

v 0 ＝ v 2

B x + v 2

B y ＝ 28暢2m/s

tanθ ＝

v 0 y

v 0 x

＝ 3，θ ＝ 60°

四、圓周運(yùn)動

1.勻速圓周運(yùn)動

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡為圓，并且在任何相等時間內(nèi)走過的圓弧長度都相等的運(yùn)動就是勻

速圓周運(yùn)動.勻速圓周運(yùn)動是周期運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)走過一個圓周所用時間為周期，用T 表

示； 在單位時間內(nèi)走過的圓圈數(shù)是頻率，用f 表示.周期與頻率互為倒數(shù)，即T ＝ 1/ f.

T 與f 都是常數(shù).若圓周半徑為r，質(zhì)點(diǎn)在時間t 內(nèi)走過的弧長為s，該弧長所對圓心角

為θ，則角速度ω ＝ θ/ t ＝ 2π/ T ＝ 2π f ； 線速度大小v ＝ s/ t ＝ 2π r/ T ＝ 2π rf ＝ ω r，方向沿

圓周某點(diǎn)的切線方向.線速度大小不變，因此沿軌跡切線方向的切向加速度aτ ＝ 0 ； 但

速度方向要變化，與速度方向垂直且指向圓心的法向加速度an ＝ v 2 / r ＝ ω 2 r 為勻速圓周

運(yùn)動的加速度.雖然法向加速度的大小是常數(shù)，但方向在不停變化，因而勻速圓周運(yùn)動

是變加速運(yùn)動．

2.非勻速圓周運(yùn)動

角速度或線速度的大小都在變化的圓周運(yùn)動叫非勻速圓周運(yùn)動.非勻速圓周運(yùn)動的

加速度一般分解為切向加速度和法向加速度，即a ＝ an + aτ，其中aτ ＝ lim Δ t ?0

Δ v

Δ t，an ＝

v 2

r.切向加速度描述速度大小的變化，法向加速度描述速度方向的變化.若令β 為角加

速度，描述角速度隨時間的變化，則切向加速度aτ ＝ lim Δ t ?0

Δ v

Δ t ＝ r lim Δ t ?0

Δ ω

Δ t ＝ rβ.

對于一般曲線運(yùn)動的加速度，我們也總是用切向加速度和法向加速度作為分加速度，