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這本《流形上的分析》由謝孔彬、謝云鵬譯，是根據(jù)J.R.曼克勒斯先生所著的Analysis on Manifolds一書(shū)譯出。原書(shū)稟承了作者一貫的寫(xiě)作風(fēng)格，論述精辟，深入淺出。主要內(nèi)容包括：第一章復(fù)習(xí)并擴(kuò)充了全書(shū)所需要的代數(shù)與拓?fù)渲R(shí)；第二至四章系統(tǒng)論述了n維歐氏空間中的多元微積分，這是對(duì)普通數(shù)學(xué)分析的推廣與提高，也是為流形上的分析做準(zhǔn)備；第五至八章系統(tǒng)論述流形上的分析，其中包括一般Stokes定理和de Rham上同調(diào)等內(nèi)容。此外，為便于初學(xué)者理解與接受，本書(shū)采用將流形嵌入高維歐氏空間中的觀點(diǎn)講述，故而又在第九章給出了抽象流形的概念并簡(jiǎn)要介紹了一般可微流形和Riemann流形。《流形上的分析》可作為數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生和高年級(jí)本科生的教材或參考書(shū)，也可供物理及某些工科專業(yè)的研究生、青年教師和有關(guān)工程技術(shù)人員參考。

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第一章Rn 的代數(shù)和拓?fù)?/span>
x1. 線性代數(shù)回顧
一、向量空間
假設(shè)已經(jīng)給定了一個(gè)稱作向量的研究對(duì)象的集合V , 并且給定了一個(gè)稱作向
量加法的運(yùn)算, 使得向量x 和y 的和是一個(gè)向量, 記為x + y. 還假設(shè)給定了一個(gè)
稱為數(shù)乘的運(yùn)算使得標(biāo)量(例如實(shí)數(shù))c 與向量x 的積是一個(gè)向量, 記為cx.
集合V 連同這兩種運(yùn)算, 若對(duì)所有向量x; y; z 與標(biāo)量c; d, 滿足下列性質(zhì), 則
稱之為一個(gè)向量空間(或線性空間)：
(1) x + y = y + x.
(2) x + (y + z) = (x + y) + z.
(3) 有唯一的一個(gè)向量0 使得x + 0 = x 對(duì)所有向量x 成立.
(4) x + (?1)x = 0.
(5) 1x = x.
(6) c(dx) = (cd)x.
(7) (c + d)x = cx + dx.
(8) c(x + y) = cx + cy.
向量空間的一個(gè)例子是所有實(shí)數(shù)n 元組的集合Rn 連同按分量的加法和數(shù)乘,
即如果x = (x1; … ; xn) 且y = (y1; … ; yn), 那么
x + y = (x1 + y1; … ; xn + yn);
cx = (cx1; … ; cxn):
向量空間的性質(zhì)容易驗(yàn)證.
設(shè)V 是一個(gè)向量空間, W 是V 的一個(gè)子集, 若對(duì)W 的每一對(duì)元素x, y 和每
一個(gè)稱量c, 向量x+y 和cx 的屬于W, 則稱W 是V 的一個(gè)線性子空間(簡(jiǎn)稱子
空間). 在這種情況下, 若用W 從V 繼承的運(yùn)算, 則W 自身也滿足性質(zhì)(1)|(8),
因而W 本身也是一個(gè)向量空間.
在本書(shū)的前半部分, Rn 及其子空間是我們唯一關(guān)心的向量空間. 在后面的各
章中我們將論述更一般的向量空間.
令V 是一個(gè)向量空間, 對(duì)于V 中的一組向量a1; … ; am, 如果V 中的每個(gè)向
量x 都至少對(duì)應(yīng)一組標(biāo)量c1; … ; cm, 使得
x = c1a1 + … + cmam;
則稱V 由向量組a1; … ; am 張成. 在這種情況下, 我們說(shuō)x 可以寫(xiě)成向量組
a1; … ; am 的線性組合.
如果V 中的每個(gè)向量x 都至多對(duì)應(yīng)一組標(biāo)量c1; … ; cm, 使得
x = c1a1 + … + cmam;
則稱向量組a1; … ; am 是線性無(wú)關(guān)的(或稱獨(dú)立的). 等價(jià)地, 若零向量0 只對(duì)應(yīng)
一組標(biāo)量d1; … ; dm, 使得
0 = d1a1 + … + dmam;
即d1 = d2 = … = dm = 0, 則fa1; … ; amg 是線性無(wú)關(guān)的.
如果向量組a1; … ; am 既能張成V 又是線性無(wú)關(guān)的, 則稱它是V 的一個(gè)基.
對(duì)此我們有下列結(jié)果：
定理1.1 設(shè)V 的基由m 個(gè)向量組成, 那么張成V 的任何向量組至少有m
個(gè)向量, 而V 的任何線性無(wú)關(guān)的向量組至多有m 個(gè)向量. 特別, V 的任何基恰有
m 個(gè)向量. ¤
如果V 的基恰有m 個(gè)向量組成, 則稱V 的維數(shù)是m. 我們約定僅由零向量
組成的向量空間的維數(shù)是零.
容易看出Rn 的維數(shù)是n. 下列向量組稱為Rn 的標(biāo)準(zhǔn)基：
e1 = (1; 0; 0; … ; 0);
e2 = (0; 1; 0; … ; 0);
… …
en = (0; 0; 0; … ; 1):
向量空間Rn 還有許多其他基, 但是Rn 的任何基必定恰好由n 個(gè)向量組成.
可以把張成、線性無(wú)關(guān)以及基的定義擴(kuò)展到允許對(duì)無(wú)窮向量集來(lái)定義. 那么向
量空間可能具有無(wú)窮基(參看習(xí)題). 然而我們并不涉及這種情況.
因?yàn)镽n 具有有限的基, 所以它的每一個(gè)子空間也有有限基. 這個(gè)事實(shí)是下列
定理的推論.
定理1.2 令V 是一個(gè)m 維向量空間. 如果W 是V 的一個(gè)(不同于V 的)
線性子空間, 那么W 的維數(shù)小于m, 而且W 的任何一個(gè)基a1; … ; ak 均能擴(kuò)張
成V 的一個(gè)基a1; … ; ak; ak+1; … ; am. ¤
二、內(nèi)積
如果V 是一個(gè)向量空間, 那么V 上的內(nèi)積是這樣一個(gè)函數(shù), 它對(duì)V 的每一對(duì)
向量x; y 指派一個(gè)實(shí)數(shù), 記為hx; yi, 并且使得下列性質(zhì)對(duì)V 中的所有向量x; y; z
和所有標(biāo)量c 成立：
(1) hx; yi = hy; xi.
(2) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi.
(3) hcx; yi = chx; yi = hx; cyi.
(4) 若x 6= 0; 則hx; xi > 0.
一個(gè)向量空間V 連同V 上的一個(gè)內(nèi)積稱為一個(gè)內(nèi)積空間.
一個(gè)給定的向量空間可以有許多不同的內(nèi)積. Rn 上的一個(gè)特別有用的內(nèi)積定
義如下：若x = (x1; … ; xn); y = (y1; … ; yn), 則定義
hx; yi = x1y1 + … + xnyn:
容易驗(yàn)證它具有內(nèi)積的性質(zhì). 這將是Rn 中通常使用的內(nèi)積, 有時(shí)稱之為點(diǎn)乘積,
將它記為hx; yi 而不記作x ￠ y 是為了避免與不久將要定義的矩陣乘積相混淆.
如果V 是一個(gè)內(nèi)積空間, 那么將V 中向量x 的長(zhǎng)度(或模) 定義為
kxk = hx; xi1=2:
模函數(shù)具有下列性質(zhì)：
(1) 若x 6= 0, 則kxk > 0.
(2) kcxk = jcjkxk.
(3) kx + yk 6 kxk + kyk.
其中第三個(gè)性質(zhì)是唯一需要付出一些努力才能證明的, 一般稱之為三角形不等式
(參看習(xí)題). 人們發(fā)現(xiàn), 這個(gè)不等式的一種等價(jià)形式常常是有用的, 這就是不等式
(30)kx ? yk > kxk ? kyk.
從V 到實(shí)數(shù)集R 的任何滿足上列性質(zhì)(1)|(3) 的函數(shù)都稱作V 上的范數(shù).
從內(nèi)積導(dǎo)出的長(zhǎng)度函數(shù)就是范數(shù)的一個(gè)例子. 但也確實(shí)有些范數(shù)不是從內(nèi)積導(dǎo)出
的. 例如在Rn 上不僅有熟知的從點(diǎn)乘積導(dǎo)出的范數(shù), 稱為Euclid 范數(shù), 而且還有
上確界范數(shù), 其定義為
jxj = maxfjx1j; … ; jxnjg:
確界范數(shù)常常比Euclid 范數(shù)用起來(lái)更方便. 我們指出Rn 上的這兩種范數(shù)滿足下
列不等式
jxj 6 kxk 6 pnjxj:

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