幾何力學(xué)作為基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性（或?qū)ΨQ性破缺）與保守（或非保守）性質(zhì)之間映射關(guān)系的新興學(xué)科，主要任務(wù)是發(fā)展盡可能多地保持動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的固有（保守或非保守）性質(zhì)的數(shù)值方法。

1687年，隨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）一書的出版，牛頓力學(xué)宣告誕生，其最重要的貢獻(xiàn)之一是建立了力與運(yùn)動(dòng)之間微分形式的解析關(guān)系。之后，拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)兩個(gè)基本框架相繼為動(dòng)力學(xué)問題的描述提供了新的描述范式。在拉格朗日力學(xué)框架下，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)優(yōu)美的數(shù)學(xué)對(duì)稱性被忽略了，因此，以拉格朗日力學(xué)為基礎(chǔ)發(fā)展的數(shù)值方法不具備保結(jié)構(gòu)特性。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中引入對(duì)偶變量，可將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在哈密頓規(guī)范形式下進(jìn)行重新表述。從根本上說(shuō)，牛頓力學(xué)在拉格朗日框架和哈密頓框架中的數(shù)學(xué)表達(dá)是完全等價(jià)的。但正如馮康先生所理解的，對(duì)于同一個(gè)動(dòng)力學(xué)問題，由等價(jià)的數(shù)學(xué)表述形式得到的分析結(jié)果并不一定完全等價(jià)。

長(zhǎng)期以來(lái)，經(jīng)典的數(shù)值方法，無(wú)論是著名數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）提出的歐拉差分格式，還是計(jì)算數(shù)學(xué)中廣泛使用的龍格�矌�(kù)塔（Runge�睰utta）法，共同的目標(biāo)都是提高數(shù)值方法的精度。然而在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)模型所描述的力學(xué)系統(tǒng)的幾何特性卻被忽略了。從根本上講，描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程是連續(xù)的，而其數(shù)值方法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是離散的�；�于此觀點(diǎn)，數(shù)值模擬理應(yīng)在力學(xué)系統(tǒng)的同一幾何框架下進(jìn)行，并盡可能地保持原力學(xué)系統(tǒng)的定性性質(zhì)，以提高數(shù)值解的長(zhǎng)期數(shù)值穩(wěn)定性。

在忽略所有耗散效應(yīng)的情況下，一切物理過程都可以表述為能量守恒的哈密頓形式。這一結(jié)論的提出，一方面哈密頓力學(xué)的重要地位得到了提升； 另一方面也對(duì)哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值分析提出了更高的要求，即對(duì)哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值分析結(jié)果應(yīng)能夠再現(xiàn)其幾何性質(zhì)，包括第一積分、辛結(jié)構(gòu)以及能量守恒定律。20世紀(jì)80年代，馮康提出了有限維哈密頓系統(tǒng)的辛方法，開創(chuàng)了計(jì)算幾何力學(xué)(又稱為保結(jié)構(gòu)方法)。在過去的半個(gè)世紀(jì)里，辛方法的保結(jié)構(gòu)特性已經(jīng)被許多研究者所報(bào)道。為了研究連續(xù)力學(xué)系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)行為，Thomas J.Bridges和Jerrold E.Marsden將有限維哈密頓系統(tǒng)的辛方法推廣至無(wú)限維哈密頓系統(tǒng)的多辛方法。其重要貢獻(xiàn)在于，對(duì)無(wú)限維哈密頓系統(tǒng)構(gòu)造了時(shí)空聯(lián)合辛結(jié)構(gòu)，稱為多辛結(jié)構(gòu)； 并證明了在保持多辛結(jié)構(gòu)的情況下，數(shù)值分析可以很好地再現(xiàn)無(wú)限維哈密頓系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)行為。

回顧哈密頓系統(tǒng)的定義不難發(fā)現(xiàn)，哈密頓力學(xué)的局限性在于忽視了力學(xué)系統(tǒng)的耗散效應(yīng)，這意味著基于哈密頓系統(tǒng)的分析方法不能用于解決實(shí)際工程中存在各種耗散效應(yīng)的力學(xué)問題�；�于此，本書作者提出了廣義多辛框架來(lái)解決這一問題，這正是本書的主要理論貢獻(xiàn)。廣義多辛理論框架在幾何力學(xué)和工程問題之間架起了一座橋梁，基于這一紐帶，本書介紹了大量廣義多辛分析方法在實(shí)際工程問題中的應(yīng)用實(shí)例。

本書章節(jié)結(jié)構(gòu)如下。第1章簡(jiǎn)要介紹了幾何力學(xué)的起源和發(fā)展。第2章介紹了辛方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和幾個(gè)辛方法的例子。第3章中回顧了多辛理論，并介紹了多辛方法在無(wú)限維哈密頓系統(tǒng)中的若干應(yīng)用。第4章將保守系統(tǒng)保結(jié)構(gòu)思想推廣到非保守系統(tǒng)，介紹了廣義多辛積分方法及其在波傳播問題中的應(yīng)用。第5~7章介紹了保結(jié)構(gòu)方法，包括辛方法、多辛方法、廣義多辛方法和復(fù)合保結(jié)構(gòu)方法在沖擊動(dòng)力學(xué)問題、微/納米動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和航天動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用。當(dāng)然，限于篇幅，本書并未包含幾何力學(xué)的全部理論和應(yīng)用。

本書的主要內(nèi)容是基于作者團(tuán)隊(duì)近20年的研究成果整理而成。為使本書的內(nèi)容更加系統(tǒng)，本書對(duì)其他著作和論文闡述的幾何力學(xué)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)也進(jìn)行了綜述。需要說(shuō)明的是，雖然在與本書相關(guān)的論文中，中國(guó)兵器科學(xué)研究院肖川研究員未被列為合著者，但為了感謝他在將保結(jié)構(gòu)方法應(yīng)用于沖擊動(dòng)力學(xué)問題方面的重要貢獻(xiàn)，將他列為本書的合著者。

感謝大連理工大學(xué)鐘萬(wàn)勰院士、浙江大學(xué)朱位秋院士、德國(guó)錫根大學(xué)張傳增院士、中國(guó)科學(xué)院崔俊芝院士、利物浦大學(xué)歐陽(yáng)華江教授、加拿大英屬哥倫比亞大學(xué)James J.Feng教授、英國(guó)薩里大學(xué)Thomas J.Bridges教授、美國(guó)圣澤維爾大學(xué)Abdul�睲ajid Wazwaz教授、清華大學(xué)馮西橋教授、香港城市大學(xué)林志華教授、美國(guó)得克薩斯大學(xué)里約熱內(nèi)盧格蘭德谷分校喬志軍教授、大連理工大學(xué)彭海軍教授、河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)王崗偉博士、日本慶應(yīng)大學(xué)彭林玉博士和美國(guó)中佛羅里達(dá)大學(xué)Brian Moore博士在本書的編寫工作中給予的無(wú)私幫助。

本書的出版受到西安理工大學(xué)西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助。同時(shí)感謝國(guó)家自然科學(xué)基金(12172281、11972284、11672241、11432010、11872303、11372253、11002115)、陜西省杰出青年科學(xué)基金(2019JC��29)、軍科委基礎(chǔ)加強(qiáng)計(jì)劃173基金(2021�睯CJQ�睯J��0565)、陜西省科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(2022TD��61)和陜西高校青年教師創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)的資助。

特別感謝陜西省科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(先進(jìn)設(shè)備關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)與控制)和陜西高校青年教師創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(空間太陽(yáng)能電站動(dòng)力學(xué)與控制)成員在本書的出版中做出的貢獻(xiàn)。謹(jǐn)向師俊平教授、曹小杉教授、胡義鋒副教授、張帆副教授、王震博士、徐萌波博士、淮雨露博士、惠小健博士、章培軍博士和團(tuán)隊(duì)所有同學(xué)表示衷心的感謝，謝謝大家無(wú)私的幫助和鼓勵(lì)。

限于作者的知識(shí)，書中的錯(cuò)漏之處難以避免，其錯(cuò)漏之處將在以后的工作中得以訂正。

西安理工大學(xué)胡偉鵬

中國(guó)兵器科學(xué)研究院肖川

西北工業(yè)大學(xué)鄧子辰

中國(guó)西安

2022年1月