目錄
第二版前言
**版前言
第1章 引言 1
1.1 誤差、有效數(shù)字與機(jī)器數(shù)系 1
1.1.1 數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介* 1
1.1.2 誤差的概念 3
1.1.3 誤差的來(lái)源與分類* 4
1.1.4 有效數(shù)字 6
1.1.5 機(jī)器數(shù)系* 7
1.2 誤差的傳播與防范措施 8
1.2.1 誤差的傳播機(jī)制 8
1.2.2 防止大數(shù)吃小數(shù) 10
1.2.3 防止計(jì)算過(guò)程數(shù)據(jù)溢出* 12
1.2.4 防止兩個(gè)相近的數(shù)做減法 13
1.2.5 防止用 0 做除數(shù)* 14
1.2.6 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟 15
1.2.7 用穩(wěn)定的數(shù)值格式 16
1.3 典型例題分析* 17
第2章 插值法 19
2.1 插值問(wèn)題 19
2.1.1 基本概念 19
2.1.2 插值多項(xiàng)式的存在性與唯一性 19
2.2 Lagrange 插值 20
2.2.1 Lagrange 插值多項(xiàng)式 20
2.2.2 插值余項(xiàng) 23
2.2.3 典型例題分析 23
2.3 差商與 Newton 插值 25
2.3.1 差商的概念與性質(zhì) 25
2.3.2 Newton 插值多項(xiàng)式 27
2.3.3 典型例題分析 29
2.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 31
2.4.1 差分及其性質(zhì) 31
2.4.2 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 32
2.4.3 典型例題分析 33
2.5 Hermite (埃爾米特) 插值* 35
2.5.1 Hermite 插值多項(xiàng)式的構(gòu)造 35
2.5.2 典型例題分析 36
2.6 三次樣條插值 37
2.6.1 高次插值的誤差分析與 Runge (龍格) 現(xiàn)象 37
2.6.2 分段插值 39
2.6.3 三次樣條插值函數(shù) 39
2.6.4 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造方法 40
2.6.5 三次樣條插值的誤差估計(jì)和統(tǒng)一表達(dá)式 43
2.6.6 典型例題分析 44
第3章 線性方程組的直接解法 47
3.1 Gauss 消元法 47
3.1.1 三角形方程組的解法 47
3.1.2 求線性代數(shù)方程組的 Gauss 消元法 49
3.1.3 Gauss 消元法的執(zhí)行條件 51
3.1.4 列主元消元法 53
3.1.5 全主元消元法* 54
3.1.6 典型例題分析 56
3.2 Gauss-Jordan(高斯-若爾當(dāng)) 消元法與矩陣求逆* 57
3.2.1 Gauss-Jordan 消元法 57
3.2.2 用 Gauss-Jordan 消元法求逆矩陣 59
3.2.3 典型例題分析 60
3.3 矩陣分解 61
3.3.1 Gauss 消元法的矩陣解釋 61
3.3.2 矩陣 LU 分解的緊湊格式與解方程組的 Doolittle 方法 63
3.3.3 正定陣的 Doolittle 分解 67
3.3.4 Cholesky(楚列斯基) 分解與解方程組的平方根法 69
3.3.5 LDLT 分解與求方程組的改**方根法 70
3.3.6 帶列主元的三角分解* 72
3.3.7 典型例題分析 73
3.4 追趕法 76
3.4.1 求三對(duì)角方程組的追趕法 77
3.4.2 典型例題分析 80
3.5 向量范數(shù) 81
3.5.1 向量范數(shù)的概念與性質(zhì) 81
3.5.2 向量范數(shù)的等價(jià)性和一致連續(xù)性* 82
3.5.3 典型例題分析 84
3.6 矩陣范數(shù) 85
3.6.1 方陣的范數(shù) 85
3.6.2 復(fù)空間上的矩陣范數(shù)* 88
3.6.3 典型例題分析 90
3.7 方程組的誤差分析與病態(tài)改善 90
3.7.1 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)性 90
3.7.2 方程組的攝動(dòng)分析 93
3.7.3 Gauss 消元法的浮點(diǎn)誤差分析* 95
3.7.4 方程組的病態(tài)檢測(cè)與條件預(yù)優(yōu)法* 97
第4章 方程求根 100
4.1 方程根的存在性、唯一性與有根區(qū)間* 100
4.1.1 方程根的概念與存在唯一性 100
4.1.2 有根區(qū)間的確定方法 101
4.1.3 典型例題分析 101
4.2 二分法 102
4.2.1 求非線性方程的二分法 102
4.2.2 典型例題分析 104
4.3 Picard 迭代法 104
4.3.1 Picard 迭代法的構(gòu)造 104
4.3.2 Picard 迭代的收斂性 105
4.3.3 Picard 迭代法斂散性的幾何解釋 107
4.3.4 Picard 迭代的局部收斂性和誤差估計(jì) 108
4.3.5 Picard 迭代法的收斂速度與漸進(jìn)誤差估計(jì) 109
4.3.6 典型例題分析 110
4.4 Newton-Raphson 迭代法 112
4.4.1 Newton-Raphson 迭代法的構(gòu)造 112
4.4.2 Newton 法的收斂性 113
4.4.3 Newton 法的改進(jìn)* 114
4.4.4 求非線性方程組的 Newton 法* 115
4.4.5 典型例題分析 116
4.5 割線法 118
4.5.1 割線法與收斂性 118
4.5.2 典型例題分析 120
4.6 迭代加速方法 121
4.6.1 Aitken(艾特肯) 加速法 121
4.6.2 Steffensen(斯特芬森) 迭代法 121
4.6.3 其他加速技巧* 122
4.6.4 典型例題分析 122
4.7 代數(shù)方程求根算法 123
4.7.1 秦九韶算法在多項(xiàng)式求值中的應(yīng)用 123
4.7.2 秦九韶算法在多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用* 124
4.7.3 秦九韶算法在代數(shù)方程求根中的應(yīng)用* 126
4.7.4 代數(shù)方程求根的劈因子法* 126
4.7.5 典型例題分析 129
第5章 線性方程組的迭代解法 132
5.1 迭代法的構(gòu)造 132
5.1.1 迭代法的概念與一階定常迭代法 132
5.1.2 Jacobi 迭代法 133
5.1.3 Gauss-Seidel 迭代法 134
5.1.4 典型例題分析 136
5.2 迭代法的收斂性 137
5.2.1 一階定常迭代法的收斂性 137
5.2.2 Jacobi 迭代與 Gauss-Seidel 迭代收斂性的判定* 141
5.2.3 迭代法的收斂速度 143
5.2.4 典型例題分析 144
5.3 逐次超松弛迭代法 (SOR 方法) 147
5.3.1 SOR 迭代的構(gòu)造 147
5.3.2 SOR 方法的收斂性 148
5.3.3 相容次序與*佳松弛因子的選擇* 149
5.3.4 典型例題分析 150
第6章 近似理論 153
6.1 矩陣的廣義逆 153
6.1.1 Moore-Penrose(摩爾彭羅斯) 廣義逆的定義與存在唯一性 153
6.1.2 Moore-Penrose 廣義逆的性質(zhì) 154
6.1.3 典型例題分析 155
6.2 方程組的*小二乘解 157
6.2.1 方程組的*小二乘解 157
6.2.2 方程組的極小*小二乘解 159
6.2.3 典型例題分析 160
6.3 矩陣的正交分解 161
6.3.1 Gram-Schmidt 正交化方法 161
6.3.2 矩陣的正交分解在求極小*小二乘解中的應(yīng)用 165
6.3.3 Householder 變換* 165
6.3.4 Householder 變換在矩陣正交分解中的應(yīng)用* 167
6.3.5 典型例題分析 169
6.4 矩陣的奇異值分解* 173
6.4.1 矩陣的奇異值分解與性質(zhì) 173
6.4.2 典型例題分析 176
6.5 數(shù)據(jù)擬合 177
6.5.1 數(shù)據(jù)擬合法 178
6.5.2 典型例題分析 179
6.6 正交多項(xiàng)式 181
6.6.1 正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì) 181
6.6.2 **類 Chebyshev 多項(xiàng)式的性質(zhì) 184
6.6.3 Chebyshev 正交多項(xiàng)式的應(yīng)用簡(jiǎn)介* 186
6.6.4 典型例題分析 190
6.7 線性*小二乘問(wèn)題 193
6.7.1 點(diǎn)集函數(shù)與線性*小二乘問(wèn)題 193
6.7.2 正交多項(xiàng)式在數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用 197
6.7.3 典型例題分析 198
6.8 函數(shù)逼近 199
6.8.1 函數(shù)逼近問(wèn)題 199
6.8.2 *佳一致逼近 201
6.8.3 *佳平方逼近 204
6.8.4 典型例題分析 207
第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 212
7.1 Newton-Cotes(牛頓-科茨) 型求積公式 212
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 212
7.1.2 插值型求積公式 213
7.1.3 求積公式的代數(shù)精確度 215
7.1.4 Newton-Cotes 型求積公式的構(gòu)造與誤差分析 216
7.1.5 幾種低階求積公式的余項(xiàng) 219
7.1.6 典型例題分析 220
7.2 復(fù)化求積法 221
7.2.1 復(fù)化梯形公式 221
7.2.2 復(fù)化 Simpson 公式與復(fù)化 Cotes 公式 222
7.2.3 區(qū)間逐次二分法* 223
7.2.4 典型例題分析 224
7.3 Romberg 算法與自適應(yīng) Simpson 算法 226
7.3.1 復(fù)化求積公式的階 226
7.3.2 Romberg 算法 226
7.3.3 自適應(yīng) Simpson 法* 229
7.3.4 典型例題分析 231
7.4 Gauss 型求積公式 231
7.4.1 Gauss 型求積公式的概念 231
7.4.2 Gauss 點(diǎn) 233
7.4.3 Gauss-Legendre 公式 234
7.4.4 帶權(quán)的 Gauss 型求積公式* 236
7.4.5 穩(wěn)定性和收斂性* 238
7.4.6 典型例題分析 239
7.5 數(shù)值微分* 240
7.5.1 插值型求導(dǎo)公式 240
7.5.2 三次樣條插值求導(dǎo) 243
7.5.3 典型例題分析 243
第8章 常微分方程數(shù)值解法 245
8.1 常微分方程初值問(wèn)題與 Euler 法 245
8.1.1 初值問(wèn)題解的存在唯一性* 245
8.1.2 Euler 法與幾何意義 246
8.1.3 一般單步法與構(gòu)造 248
8.1.4 誤差與差分格式的階 249
8.1.5 典型例題分析 250
8.2 Runge-Kutta