《復(fù)變函數(shù)》介紹了復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本理論和方法，包括復(fù)數(shù)及復(fù)平面、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復(fù)函數(shù)的積分理論、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論及其應(yīng)用、保形映射與解析延拓等。《復(fù)變函數(shù)》在內(nèi)容的安排上深入淺出，表達(dá)清楚，系統(tǒng)性和邏輯性強(qiáng)。書中列舉了大量例題來說明復(fù)變函數(shù)的定義、定理及方法，并提供了豐富的習(xí)題，便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)。每章末都有小結(jié)，并配有復(fù)習(xí)題。小結(jié)對(duì)該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié)，方便學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)。
《復(fù)變函數(shù)》可作為高等師范院校數(shù)學(xué)系各專業(yè)學(xué)生的教學(xué)用書，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和科技工作者參考。
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本書根據(jù)我們?cè)谌A南師范大學(xué)長期講授復(fù)變函數(shù)課的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，并參考了現(xiàn)有的許多復(fù)變函數(shù)教材編寫而成，
復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，目前已有了許多復(fù)變函數(shù)教材，它們有著各自的特色和優(yōu)點(diǎn)，由于編者的出發(fā)角度不同，也存在一定的局限性，我們站在省屬師范院校的角度編寫了本書，基本想法如下：
第一，選取教材內(nèi)容“少而精”，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性。
“少而精”是教學(xué)的基本原則之一，是培養(yǎng)人才的一個(gè)重要手段，講授過多、過難的東西只會(huì)適得其反，使學(xué)生越來越模糊，基于這個(gè)原則，在本書中，我們僅選取了復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域中最重要的基本理論，而略去了一些難度過大、內(nèi)容過于專門化的理論，例如，略去了Dirichlet問題、特殊函數(shù)、Christoffel多角形映射定理、過于復(fù)雜的積分計(jì)算、無窮乘積及部分分式等，因?yàn)檫@些內(nèi)容可通過專門化的教材來學(xué)習(xí)，對(duì)Riemann映射定理、解析延拓，我們也僅作了簡單的介紹，重點(diǎn)強(qiáng)化了本學(xué)科的基本內(nèi)容：解析函數(shù)、Cauchy積分、冪級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)、留數(shù)、分式線性變換和最大模定理。
多值函數(shù)部分是被普遍認(rèn)為的一個(gè)難點(diǎn)，我們重點(diǎn)介紹了它的產(chǎn)生及處理方法，讓學(xué)生學(xué)其基本部分，而刪除其復(fù)雜部分，例如，第2章刪除了多個(gè)有限支點(diǎn)的問題，第5章刪除了多值函數(shù)的積分，如果這些問題不刪除，學(xué)生只會(huì)越學(xué)越糊涂，第二，力求可讀、嚴(yán)謹(jǐn)和系統(tǒng)，一本專業(yè)基礎(chǔ)教材要有好的教學(xué)效果，必須具有良好的可讀性和系統(tǒng)性，從數(shù)學(xué)史可以知道，許多概念開始出現(xiàn)于一些簡單的事件，直觀易懂；后來人們?yōu)榱送晟扑�，給出了一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚�，這些理論是重要的，但也是難懂的，為了將兩者結(jié)合起來，我們?cè)谝霃?fù)數(shù)時(shí)，開始用了常規(guī)的方法，然后用標(biāo)注星號(hào)的部分介紹其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊肜碚�，�?duì)冪級(jí)數(shù)部分，在介紹了收斂半徑后，再用標(biāo)注星號(hào)部分介紹產(chǎn)生收斂半徑的本質(zhì)問題，
對(duì)于復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)這些部分，因?yàn)樗鼈兪菑?fù)變函數(shù)理論最基礎(chǔ)、最重要的部分，我們給出了特別詳細(xì)、系統(tǒng)完整的闡述，第三，分層次教學(xué)，華南師范大學(xué)復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)分兩個(gè)層次，即為每周4課時(shí)與3課時(shí)兩個(gè)層次，其他許多省屬師范院校也存在對(duì)這門課程實(shí)施每周4課時(shí)或3課時(shí)的教學(xué)，為了適應(yīng)這兩個(gè)層次的教學(xué)。
目錄
第1章 復(fù)數(shù)及復(fù)平面 1
1.1 復(fù)數(shù)及其幾何表示 1
1.1.1 復(fù)數(shù)域與復(fù)數(shù)的公理化定義 1
1.1.2 復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充 2
1.1.3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2
1.1.4 共軛復(fù)數(shù) 5
1.1.5 復(fù)數(shù)的幾何表示 5
1.1.6 復(fù)數(shù)的三角表示 6
1.1 7 復(fù)球面及無窮大 11
習(xí)題1.1 11
1.2 復(fù)平面的拓?fù)?12
1.2.1 初步概念 12
1.2.2 Jordan曲線 13
習(xí)題1.2 14
小結(jié) 15
復(fù)習(xí)題 15
第2章 復(fù)變函數(shù) 17
2.1 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 17
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的概念 17
2.1.2 復(fù)變函數(shù)的極限 18
2.1.3 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 20
習(xí)題2.1 22
2.2 解析函數(shù) 23
2.2.1 復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 23
2.2.2 解析的概念 24
2.2.3 復(fù)函數(shù)可導(dǎo)與解析的條件 25
習(xí)題2.2 28
2.3初等函數(shù) 28
2.3.1 初等解析函數(shù) 28
2.3.2 韌等多值函數(shù) 31
習(xí)題2.3 40
小結(jié) 40
復(fù)習(xí)題 41
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 43
3.1 復(fù)變函數(shù)的積分 43
3.1.1 復(fù)積分的定義與性質(zhì) 43
3.1.2 計(jì)算復(fù)積分的參數(shù)方程法 45
3.1.3 典型例子 46
習(xí)題3.1 48
3.2 Cauchy積分定理 49
3.2.1 單連通區(qū)域的Cauchy積分定理 49
3.2.2 Cauchy-Goursat積分定理的證明 51
3.2.3 復(fù)函數(shù)的Newton-Leibniz公式 54
3.2.4 多連通區(qū)域上的Cauchy積分定理 56
3.2.5 典型例題 58
習(xí)題3.2 59
3.3 Cauchy積分公式 60
3.3.1 解析函數(shù)的Cauchy積分公式 60
3.3.2 解析函數(shù)的任意階可導(dǎo)性和Morera定理 61
3.3.3 Cauchy不等式和Liouville定理 63
3.3.4 調(diào)和函數(shù) 65
習(xí)題3.3 66
小結(jié) 67
復(fù)習(xí)題 68
第4章 級(jí)數(shù) 70
4.1 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 70
4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 70
4.1.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 72
4.1.3冪級(jí)數(shù) 75
習(xí)題4.1 78
4.2 Taylor展式 78
4.2.1 解析函數(shù)的Taylor展式 78
4.2.2 解析函數(shù)的零點(diǎn)與唯一性 83
習(xí)題4.2 85
4.3 Laurent展式 86
4.3.1 解析函數(shù)的Laurent展式 86
4.3.2 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn) 90
4.3.3 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì) 94
4.3.4 整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念 95
習(xí)題4.3 96
小結(jié) 96
復(fù)習(xí)題 98
第5章 留數(shù) 99
5.1 留數(shù)定理 99
5.1.1 孤立奇點(diǎn)的留數(shù) 99
5.1.2 留數(shù)的計(jì)算 100
習(xí)題5.1 101
5.2 留數(shù)定理的應(yīng)用 102
5.2.1 用留數(shù)定理求積分 102
5.2.2 亞純函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù) 105
5.2.3 輻角原理 106
5.2.4 Rouche定理及其應(yīng)用 108
習(xí)題5.2 111
小結(jié) 112
復(fù)習(xí)題 113
第6章 保形映射與解析延拓 115
6.1 單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì) 115
6.1.1 單葉解析函數(shù)的基本性質(zhì) 115
6.1.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 117
習(xí)題6.1 119
6.2 分式線性變換及其映射性質(zhì) 119
6.2.1 分式線性函數(shù) 119
6.2.2 分式線性函數(shù)的映射性質(zhì) 120
習(xí)題6.2 125
6.3 最大模原理 125
6.3.1 最大模原理 125
6.3.2 Schwarz引理 125
習(xí)題6.3 127
6.4 Riemann定理及邊界對(duì)應(yīng) 127
習(xí)題6.4 128
6.5 解析延拓 129
6.5.1 解析延拓的概念 129
6.5.2 解析函數(shù)元素 129
6.5.3 對(duì)稱原理 130
6.5.4 用冪級(jí)數(shù)延拓，奇點(diǎn) 132
習(xí)題6.5 134
小結(jié) 134
復(fù)習(xí)題 135
習(xí)題答案或提示 137
參考文獻(xiàn) 145
索引 146
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