第2版前言

本書的第1版已經(jīng)在教學中試用了三個學期。因此，我有機會反思自己的溝通技巧和教學技能。

除了糾正一些筆誤和小錯誤，我決定改寫很多證明，使得解釋更清晰也更易讀。本書的每一處改動都認真考慮了學生的反應(yīng)和他們在學習中的反饋。本書的很多章節(jié)都被重新組織，一些章節(jié)甚至重新編寫，并使用了更好的記號。第2版包括了超過150頁的新材料，包括貫穿全書的定理、圖示、偽代碼和例子，全書加起來超過了500頁。

在有關(guān)矩陣、向量和線性映射的章中加入了新的主題。此外，全書增加了大量內(nèi)容。有關(guān)歐氏空間的內(nèi)容現(xiàn)在從向量空間的章中移除，并將其放置在一個關(guān)于內(nèi)積空間的獨立章中介紹。最后，在書的末尾給出了每章習題的答案。

在本版中，本書仍分為兩部分：第Ⅰ部分闡述了線性代數(shù)基礎(chǔ)，第Ⅱ部分介紹了線性代數(shù)高級主題。

第Ⅰ部分由前六章組成。第1章介紹代數(shù)及集合論中的基本記號、概念和定義。第2章描述有關(guān)矩陣的定理和應(yīng)用。第3章著重分析線性方程組的解析理論和數(shù)值方法。第4章介紹三維空間中的向量。第5章討論復(fù)數(shù)和多項式以及代數(shù)基本定理。第6章從代數(shù)和矩陣理論的角度介紹二次曲線。

第Ⅱ部分由后七章組成。第7章介紹代數(shù)結(jié)構(gòu)，并介紹群論和環(huán)論。第8章分析向量空間。第9章介紹內(nèi)積空間，并特別強調(diào)歐氏空間。第10章討論線性映射。第11章介紹復(fù)雜度和算法定理。第12章介紹圖論，并從線性代數(shù)的角度進行闡述。最后，第13章給出了一個例子，說明如何將前幾章學習的所有代數(shù)知識應(yīng)用于電氣工程實踐中。

在附錄A中，布爾代數(shù)是非線性代數(shù)的一個例子。附錄B給出了本書中一些定理的證明，因為這些定理的證明需要一些微積分和數(shù)學分析知識，超出了本書的范疇，所以在正文中證明被省略。

我認為按照目前的形式，本書是第1版的一個實質(zhì)性的改進版。雖然整體結(jié)構(gòu)和風格大體上保持不變，但使用了新的方式呈現(xiàn)和說明這些概念，這就使得本書能夠被更多讀者接受，并引導(dǎo)他們向線性代數(shù)的更高水平邁進。

補充一點，本書第2版的目的是讓任何對數(shù)學感興趣，并想在數(shù)學上下功夫的人都能理解代數(shù)。



Ferrante Neri

英國，諾丁漢

2019年4月

第1版前言

理論和實踐常常被認為是獨立存在的，代表知識的兩個不同方面。事實上，一方面，應(yīng)用科學是建立在理論進步的基礎(chǔ)上的。另一方面，理論研究往往著眼于世界和有待發(fā)展的現(xiàn)實需要。本書基于這樣的理念：理論和實踐不是相互脫節(jié)的，知識之間是互相聯(lián)系的。特別地，本書從計算機科學家、工程師和任何需要深入理解這門學科以使應(yīng)用科學得以進步的人的視角來介紹線性代數(shù)的主要概念，同時不失數(shù)學嚴謹性。本書是面向應(yīng)用科學領(lǐng)域的研究人員和研究生的，但也可以作為數(shù)學專業(yè)的教材。

代數(shù)書要么非常正式，對計算機科學家和工程師來說不夠直觀，要么是普通的本科生教材，證明和定義沒有足夠的數(shù)學嚴謹性。本書旨在在嚴謹性與直觀性之間保持平衡，針對每一個引入的概念，試圖都給出其示例、解釋和實際意義，并證明每一個命題。在適當?shù)牡胤�，主題也會被表示為算法并輔以偽代碼。另外，本書不使用邏輯跳轉(zhuǎn)或直觀解釋來代替證明。

本書的“敘述”以（部分）數(shù)學思想為引線。經(jīng)歷了一個又一個世紀，這些數(shù)學思想影響著人們的觀點并帶來了近代科技的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學思想被認為起源于石器時代，當時的穴居人必須估計他觀察到的物體的數(shù)量。概念化過程發(fā)生在古代的某個時刻，這便是數(shù)學的開端，也是邏輯學、理性思維和技術(shù)的開端。

本書分為兩個部分，共有十三章。第Ⅰ部分介紹代數(shù)中的基本主題，適用于大學代數(shù)課程入門，而第Ⅱ部分給出的更為高級的主題適用于更為高級的課程。此外，本書可作為應(yīng)用科學領(lǐng)域的研究者的手冊，讀者可根據(jù)本書內(nèi)容主題的劃分，按自身的興趣選擇特定的主題。

第Ⅰ部分從第1章開始，介紹代數(shù)學和集合論中的基本概念和定義。第1章中的定義和記號將用于后面各章。第2章研究矩陣代數(shù)，介紹定義和定理。第3章繼續(xù)討論矩陣代數(shù)，解釋線性代數(shù)方程組的理論原理，并舉例說明解方程組的一些精確方法和近似方法。第4章先是以直觀方式將向量視為幾何對象進行介紹，然后逐步抽象和推廣這一概念，從而得到了代數(shù)向量的概念，其本質(zhì)是要在矩陣理論的基礎(chǔ)上求解線性方程組。有關(guān)向量的敘述引出了第5章。第5章討論了復(fù)數(shù)和多項式，并通過對代數(shù)基本定理的陳述和解釋，對代數(shù)結(jié)構(gòu)進行了簡單的介紹。前5章所得到的大部分知識在第6章中將再次被提出，第6章介紹并解釋圓錐曲線，證明圓錐曲線除了幾何意義外，還有代數(shù)解釋，因而等價于矩陣。

按照對稱的原則，第Ⅱ部分從第7章開始，通過演示基本代數(shù)結(jié)構(gòu)開始介紹高級代數(shù)知識。第8章介紹群和環(huán)的理論以及域的概念——它們構(gòu)成了這一章的基礎(chǔ)，同時介紹向量空間。向量空間的理論是從理論的角度進行介紹的，同時也參考了它們的物理意義和幾何意義。這些思想將在第10章中用于處理線性映射