哥德爾的第二項成果，是所謂“哥德爾不完全性定理”。其所證明的是：對于任何足夠復(fù)雜（其復(fù)雜度達(dá)到初等數(shù)論）的形式系統(tǒng)而言，如果它是相容的（無矛盾的），那么它就必定不是語義完全的。這個結(jié)果有一個重要推論（史稱“哥德爾第二不完全性定理”）：對于任何足夠復(fù)雜的形式系統(tǒng)而言，如果它是相容的，那么它的相容性是不可能在該系統(tǒng)之內(nèi)得到證明的。哥德爾的這個結(jié)果在當(dāng)時學(xué)界引起了極大的震動，因為它不僅清楚地揭示了作為公理化方法之最高成就的形式系統(tǒng)方法的局限性，而且否定了希爾伯特提出“證明論”的初始追求：徹底證明現(xiàn)有數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相容性，確保悖論不再出現(xiàn)。由于哥德爾的證明嚴(yán)格遵循了“證明論”的要求，是無懈可擊的，從此人們只得把希爾伯特的“絕對相容性”訴求弱化為“相對相容性”訴求。
    “哥德爾不完全性定理”的證明，也粉碎了為當(dāng)時已經(jīng)確立的“公理化集合論系統(tǒng)”提供嚴(yán)格的相容性證明、確保其不再出現(xiàn)悖論的希望。這些公理化集合論系統(tǒng)都是為消除導(dǎo)致所謂“第三次數(shù)學(xué)危機”的集合論悖論而建立的，它們都因為其復(fù)雜性高于初等數(shù)論而被哥德爾不完全性定理所統(tǒng)攝。哥德爾定理盡管說明了形式系統(tǒng)方法的局限性，但同時也有力展示了形式系統(tǒng)方法的巨大威力，使得現(xiàn)代邏輯基本研究方法和現(xiàn)代演繹科學(xué)方法論得以最終確立。
    上述意義的“證明論”、“模型論”，加上“集合論”和“遞歸論”，經(jīng)常被稱為“狹義數(shù)理邏輯”（有時再加上邏輯演算基礎(chǔ)理論），其中“集合論”可視為布爾的“類演算”向無限類研究擴張的結(jié)果；遞歸論則是對“能行可計算”這種“受控推理”的研究（也為哥德爾在證明不完全定理時所創(chuàng)立），是計算機科學(xué)和人工智能的直接理論基礎(chǔ)之一。在現(xiàn)代學(xué)科分類體系中，它們經(jīng)常被歸到“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”研究之下，但它們又都具有一般哲學(xué)與方法論價值，屬于當(dāng)代邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科的交叉研究領(lǐng)域。
    現(xiàn)代演繹邏輯另一個方面的巨大發(fā)展，是“哲理邏輯”學(xué)科群的興起。
    由上面的評述可以看出，現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)生是在一批數(shù)學(xué)家的手中完成的，但這些數(shù)學(xué)家都具有強烈的哲學(xué)關(guān)懷，許多人本身就是出色的哲學(xué)家。
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