《廣東省專(zhuān)升本考試考前押密試卷·高等數(shù)學(xué)》共包含10套考前押密試卷, 每一套卷每一題均由中公教育廣東專(zhuān)升本考試研究院經(jīng)過(guò)精心打磨研發(fā)而成。8套試卷嚴(yán)格按照最新真題及考試要求全新研發(fā), 題型、題量及試題難易程度均與歷年真題保持一致。同時(shí)試卷嚴(yán)格按照真題的版式編排, 讓考生提前體驗(yàn)考場(chǎng)考試的感覺(jué), 以達(dá)到具備真正進(jìn)入考場(chǎng)時(shí)能夠迅速進(jìn)入考試狀態(tài)的能力。8套試卷在深入研究歷年真題的基礎(chǔ)上, 總結(jié)歷年真題中的高頻考點(diǎn), 并根據(jù)重要知識(shí)點(diǎn)出題, 突出命題重點(diǎn), 避免浪費(fèi)考生寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間。
廣東省普通高等教育專(zhuān)升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）考試科目高等數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)
1.答題前，考生須按規(guī)定將考生姓名、考生編號(hào)和報(bào)考單位填寫(xiě)到試卷規(guī)定的位置上，并在答題卡上填（涂）對(duì)應(yīng)的信息。
2.所有答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，超出各題答題區(qū)域的答案無(wú)效。在草稿紙、試題上作答無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，將試題和答題卡一并交回。
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）第頁(yè)（共12頁(yè)）廣東省普通高等教育專(zhuān)升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列各式不正確的是（）
A. limx→0e1x=∞B. limx→0-e1x=0
C. limx→0+e1x=+∞D(zhuǎn). limx→∞e1x=1
2.函數(shù)f（x）=x（x-1）2sinx的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A. 0B. 1
C. 2D.無(wú)窮多個(gè)
3.若f（x）的一個(gè)原函數(shù)為ln（2x），則f′（x）=（）
A. -1x2B. ln（2x）
C. 2ln（2x）D. 1x
4.已知常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un的部分和Sn=n+1nn（n∈N*），則下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中收斂的是（）
A. ∑∞n=1un+1nB. ∑∞n=1（un+Sn）
C. ∑∞n=1un+1enD. ∑∞n=1（un-1）
5.設(shè)D是由上半圓周y=2ax-x2和x軸所圍成的閉區(qū)域，則Df（x，y）dσ=（）
A. ∫π20dθ∫2a0f（rcosθ，rsinθ）rdrB. ∫π20dθ∫2a0f（rcosθ，rsinθ）dr
C. ∫π20dθ∫2acosθ0f（rcosθ，rsinθ）rdrD. ∫π20dθ∫2acosθ0f（rcosθ，rsinθ）dr第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）6.設(shè)limx→∞x-1xx=∫a-∞exdx，則常數(shù)a=。
7.定積分∫1-1x3+11+x2dx=。
8.已知二元函數(shù)z=f（x，y）的全微分為dz=1ydx-xy2dy，則2zxy=。
9.方程xdy+2ydx=0滿(mǎn)足yx=2=1的特解為。
10.已知曲線(xiàn)y=x3-3a2x+b與x軸相切，則b2可以由a表示為b2=。
三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題6分，共48分，計(jì)算題必須寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程，只寫(xiě)答案的不給分）11.求極限limx→0∫x0（et2-1）dttanx-x。
12.設(shè)y=xxe2x（x>0），求y′。
13.已知xlnx為f（x）的一個(gè)原函數(shù)，求不定積分∫xf′（x）dx。
14.設(shè)方程xz=lnzy確定隱函數(shù)z=z（x，y），求z(mì)x+z(mì)y。
15.求定積分∫2-2f（x-1）dx，其中f（x）=1x+1，x≥0，1ex，x<0。
16.求二重積分D（x+y）dxdy，其中D為由直線(xiàn)y=-x，y=1，x=0所圍成的平面閉區(qū)域。
17.判斷級(jí)數(shù)∑∞n=1n2+（-2）n3n的斂散性。
18.設(shè)函數(shù)y=y（x）是微分方程y″+y′-2y=0的解，且在x=0處y（x）取得極值3，求y（x）。
四、綜合題（本大題共2小題，第19題10分，第20題12分，共22分，綜合題必須寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程，只寫(xiě)答案的不給分）19.欲做一個(gè)容積為300立方米的無(wú)蓋圓柱形蓄水池，已知池底單位造價(jià)為周?chē)鷨挝辉靸r(jià)的兩倍，問(wèn)蓄水池的尺寸應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使總造價(jià)低。
20.設(shè)D1是由拋物線(xiàn)y=2x2和直線(xiàn)x=a，y=0所圍成的平面區(qū)域，D2是由拋物線(xiàn)y=2x2和直線(xiàn)x=a，x=2及y=0所圍成的平面區(qū)域，其中0（1）D1繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V1，以及D2繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V2；
（2）求常數(shù)a的值，使得D1的面積與D2的面積相等。廣東省普通高等教育專(zhuān)升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）參考答案及解析第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題
1.【答案】A
【解析】D項(xiàng)，x→∞時(shí)1x→0，所以limx→∞e1x=1，D項(xiàng)正確；
B項(xiàng)，x→0-時(shí)1x→-∞，所以limx→0-e1x=0，B項(xiàng)正確；
C項(xiàng)，x→0+時(shí)1x→+∞，所以limx→0+e1x=+∞，C項(xiàng)正確；
同時(shí)，通過(guò)分析B、C兩項(xiàng)可知limx→0e1x不存在且不是無(wú)窮大，所以A項(xiàng)不正確。故選A。
2.【答案】D
【解析】當(dāng)x=kπ（k∈Z）時(shí)，sinx=0，所以x=kπ（k∈Z）均為f（x）的間斷點(diǎn)。其中x=0時(shí)，
limx→0f（x）=limx→0x（x-1）2sinx=limx→0（x-1）2=1，
所以x=0是一個(gè)可去間斷點(diǎn)；x=kπ（k∈Z且k≠0）時(shí)，limx→kπf（x）=∞，此時(shí)x=kπ（k∈Z且k≠0）為無(wú)窮間斷點(diǎn)，且有無(wú)數(shù)個(gè)。故選D。
3.【答案】A
【解析】由題意可知
f（x）=［ln（2x）］′=1x，
因此f′（x）=-1x2。故選A。
4.【答案】C
【解析】根據(jù)已知，部分和數(shù)列的極限為
limn→∞Sn=limn→∞n+1nn=limn→∞1+1nn=e，
由級(jí)數(shù)收斂的定義可知∑∞n=1un收斂。
A項(xiàng)可分解為∑∞n=1un+∑∞n=11n，而∑∞n=11n為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，由“收斂+發(fā)散=發(fā)散”可知A項(xiàng)發(fā)散；
B項(xiàng)可分解為∑∞n=1un+∑∞n=1Sn，而∑∞n=1Sn的一般項(xiàng)極限limn→∞Sn=e≠0，由極限收斂的必要條件可知極限∑∞n=1Sn發(fā)散，由“收斂+發(fā)散=發(fā)散”可知B項(xiàng)發(fā)散；
C項(xiàng)可分解為∑∞n=1un+∑∞n=11en，對(duì)于∑∞n=11en，由比值判別法可知
limn→∞un+1un=limn→∞1en+1·en1=1e<1，
因此∑∞n=11en收斂，由“收斂+收斂=收斂”可知C項(xiàng)正確；
D項(xiàng)可分解為∑∞n=1un+∑∞n=1（-1），而∑∞n=1（-1）顯然發(fā)散，由“收斂+發(fā)散=發(fā)散”可知D項(xiàng)發(fā)散。故選C。
5.【答案】C
【解析】如圖所示，積分區(qū)域D可表示為0≤θ≤π2，0≤r≤2acosθ，于是
Df（x，y）dσ=∫π20dθ∫2acosθ0f（rcosθ，rsinθ）rdr。
故選C。
第Ⅱ卷
二、填空題
6.【答案】-1
【解析】因?yàn)?
limx→∞x-1xx=limx→∞1+-1xx-1·-1x·x=e-1，
∫a-∞exdx=exa-∞=ea-0=ea，
所以ea=e-1，因此a=-1。
7.【答案】π2
【解析】先拆分再積分，
∫1-1x3+11+x2dx=∫1-1x31+x2dx+∫1-111+x2dx。
積分區(qū)間是對(duì)稱(chēng)的，且被積函數(shù)x31+x2為奇函數(shù)，11+x2為偶函數(shù)，由奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的積分性質(zhì)可知
∫1-1x31+x2dx=0，∫1-111+x2dx=2∫1011+x2dx，
因此
∫1-1x3+11+x2dx=2∫1011+x2dx=2arctanx10=π2。
8.【答案】-1y2
【解析】由全微分的表達(dá)式可知z(mì)x=1y，因此
2zxy=-1y2。
9.【答案】x2y=4
【解析】對(duì)已知方程分離變量得dyy=-2dxx，兩邊同時(shí)積分得∫dyy=-2∫dxx，解得
lny=-2lnx+lnC，
移項(xiàng)整理得lny+lnx2=lnC，所以x2y=C。又yx=2=1，故C=4，因此微分方程的特解為x2y=4。
10.【答案】4a6
【解析】由題設(shè)，在切點(diǎn)處有
y′=3x2-3a2=0，x20=a2，
又已知曲線(xiàn)與x軸相切，即在切點(diǎn)處y的坐標(biāo)為0，于是有
x30-3a2x0+b=0，
整理得
b2=（3a2x0-x30）2=x20（3a2-x20）2=a2·4a4=4a6。
三、計(jì)算題
11.【解析】由洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小替換可得
limx→0∫x0（et2-1）dttanx-x=limx→0ex2-1sec2x-1=limx→0x2tan2x=1。
12.【解析】由y=xxe2x兩邊取對(duì)數(shù)得
lny=xlnx+2x，
兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，
y′y=lnx+x·1x+2=lnx+3，
故y′=xxe2x（lnx+3）。
13.【解析】因?yàn)閤lnx為f（x）的一個(gè)原函數(shù)，所以
f（x）=（xlnx）′=lnx+1，
因此
∫xf′（x）dx=∫xdf（x）=xf（x）-∫f（x）dx
=x（lnx+1）-xlnx+C=x+C。
14.【解析】方法一：根據(jù)已知方程，令
F（x，y，z）=xz-lnzy=xz-lnz+lny，
由隱函數(shù)求導(dǎo)法則，
z(mì)x=-F′xF′z=-1z-xz2-1z=zx+z，
z(mì)y=-F′yF′z=-1y-xz2-1z=z2y（x+z），
因此
z(mì)x+z(mì)y=zx+z+z2y（x+z）=z（y+z）y（x+z）。
方法二：方程xz=lnzy兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得
1z-xz2z(mì)x=yz·1yz(mì)x，
解得z(mì)x=zx+z；
方程xz=lnzy兩邊對(duì)y求導(dǎo)可得
-xz2z(mì)y=yz-zy2+1yz(mì)y，
解得z(mì)y=z2y（x+z）。
代入可得
z(mì)x+z(mì)y=zx+z+z2y（x+z）=z（y+z）y（x+z）。
15.【解析】令x-1=t，則dx=dt，當(dāng)x=-2時(shí)，t=-3，當(dāng)x=2時(shí)，t=1，則
∫2-2f（x-1）dx=∫1-3f（t）dt=∫0-31etdt+∫101t+1dt
=-1et0-3+ln（t+1）10=e3+ln2-1。
16.【解析】方法一：如圖所示，積分區(qū)域D可表示為0≤y≤1，-y≤x≤0，故
D（x+y）dxdy=∫10dy∫0-y（x+y）dx
=∫10y22dy=16y310=16。
方法二：如圖所示，積分區(qū)域D可表示為-1≤x≤0，-x≤y≤1，故
D（x+y）dxdy=∫0-1dx∫1-x（x+y）dy=∫0-112x2+x+12dx
=16x3+12x2+12x0-1=16。
17.【解析】已知級(jí)數(shù)可拆分為
∑∞n=1n2+（-2）n3n=∑∞n=1n23n+∑∞n=1（-2）n3n，
設(shè)an=∑∞n=1n23n，bn=∑∞n=1（-2）n3n，bn是公比為-23的等比級(jí)數(shù)且q=-23<1，所以bn是收斂的。
對(duì)于級(jí)數(shù)an=∑∞n=1n23n，
limn→∞an+1an=limn→∞（n+1）23n+13nn2=limn→∞（n+1）23n2=13<1，
由比值判別法可知級(jí)數(shù)an是收斂的。故原級(jí)數(shù)是收斂的。
18.【解析】微分方程的特征方程為r2+r-2=0，解得r1=-2，r2=1，其通解為
y=C1e-2x+C2ex，y′=-2C1e-2x+C2ex，
由題意可知，y′（0）=0，y（0）=3，代入可得C1=1，C2=2，故
y（x）=e-2x+2ex。
四、綜合題
19.【解析】設(shè)底面半徑為x，則高為300πx2，總造價(jià)為
f（x）=2πx2+2πx·300πx2=2πx2+600x。
f′（x）=4πx-600x2，令f′（x）=0，得x=3150π。又
f″（x）=4π+1200x3， f″3150π=12π>0，
從而當(dāng)x=3150π時(shí)， f（x）取得極小值，即小值。此時(shí)
h=300πx2=300πx3·x=300π150π·3150π=23150π，
故當(dāng)?shù)酌姘霃綖?150π米，高為底面半徑的2倍時(shí)，總造價(jià)低。
20.【解析】D1和D2如圖所示，x=a時(shí)y=2a2。
（1）V1可視為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積差，即
V1=πa2·2a2-π∫2a20y2dy=πa4。
D2繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V2為
V2=∫2aπ（2x2）2dx=45π（32-a5）。
（2）根據(jù)題意，設(shè)D1和D2面積分別為A1和A2，
A1=∫a02x2dx=23a3，A2=∫2a2x2dx=23（8-a3），
因?yàn)锳1=A2，所以a=34。
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