《陜西省專升本考試考前押密試卷·高等數(shù)學》共包含10套考前押密試卷, 每一套卷每一題均由中公教育陜西專升本考試研究院經(jīng)過精心打磨研發(fā)而成。10套試卷嚴格按照最新真題及考試要求全新研發(fā), 題型、題量及試題難易程度均與歷年真題保持一致。同時試卷嚴格按照真題的版式編排, 讓考生提前體驗考場考試的感覺, 以達到具備真正進入考場時能夠迅速進入考試狀態(tài)的能力。10套試卷在深入研究歷年真題的基礎上, 總結(jié)歷年真題中的高頻考點。
陜西省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學考前押密試卷（一）考試科目高等數(shù)學
考生姓名
考生編號
報考單位注
意
事
項1答題前，考生須按規(guī)定將考生姓名、考生編號和報考單位填寫到試卷規(guī)定的位置上，并在答題卡上填（涂）對應的信息。
2所有答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，超出各題答題區(qū)域的答案無效。在草稿紙、試題上作答無效。
3考試結(jié)束后，將試題和答題卡一并交回。
高等數(shù)學考前押密試卷（一）第頁（共11頁）陜西省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學考前押密試卷（一）一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知函數(shù)f(x)=x1x-1，則（）
A limx→1 f(x)不存在
B點x=1為f(x)的類間斷點
C點x=1為f(x)的第二類間斷點
D f(x)在點x=1處連續(xù)
2當x→0時，下列等價無窮小不正確的是（）
A x2+x3~x2
B x2+x3~x3
C 1-cosx~12x2
D ln(1+x)~x
3下列各項敘述錯誤的是（）
A連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)
B初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)
C若F1(x)和F2(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F1(x)=F2(x)
D若F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F′(x)=f(x)
4下列各級數(shù)中收斂的是（）
A ∑∞n=1nn+1B ∑∞n=12n+1n2+n
C ∑∞n=11+(-1)nnD ∑∞n=1n22n
5曲面z=2x2+y4-3在點(1,1,0)處的切平面方程為（）
A 4x+4y-z-8=0B 4x+4y+z-8=0
C 4x+4y-z+8=0D 4x+4y+z+8=0
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）6過點(1,-2,3)且與平面2x-3y+6z-7=0垂直的直線方程為。
7函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1在［-1,2］上的小值為。
8設方程ey+2xy=e確定了隱函數(shù)y=y(x)，則dydxx=0=。
9微分方程y′-yx=0的通解為y=。
10設曲線L的方程為x2+y2=1，則對弧長的曲線積分∮Lln(1+x2+y2)ds=。
三、計算題（本大題共10小題，每小題8分，共80分，計算題必須寫出必要的計算過程，只寫答案的不給分）11設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程x=1+t3,y=e3t所確定，求dydx及d2ydx2。
12求不定積分∫exdx2。
13求極限limx→0∫x20ln(1+t)dtsin4x。
14設函數(shù)z=f(x+y,exy)，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求zx及2zx2。
15求定積分∫π20sinx-cosxdx。
16將函數(shù)f(x)=ln(1-x-2x2)展開成x的冪級數(shù)，并指出其收斂域。
17求微分方程y″-6y′+8y=e3x的通解。
18求函數(shù)f(x,y,z)=xyz+x-y+2z在點P0(1,1,2)處沿方向l={2,-2,1}的方向?qū)?shù)。
19求二重積分D(x+y3)dxdy，其中D是由直線y=x，y=-x，x=3所圍成的區(qū)域。
20求曲線積分I=∮L(xsin2x-2y)dx+(3x+ycos2y)dy，其中L是x+y=1沿逆時針方向繞行的有向閉合曲線。
四、證明題和應用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，證明題和應用題必須寫出必要的證明或計算過程，只寫答案的不給分）21求曲線y=x2和y=x所圍成平面圖形的面積S，并求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V。
22設函數(shù)f(x)二階可導，且在［a,b］上連續(xù)，已知過點(a, f(a))，(b, f(b))的直線與曲線y=f(x)相交于(c, f(c))(a （1）存在不同的兩點ξ1,ξ2∈(a,b)，使得f′(ξ1)=f′(ξ2)；
（2）在(a,b)內(nèi)存在點ξ，使得f″(ξ)=0。
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高等數(shù)學考前押密試卷（一）參考答案及解析一、單項選擇題
1【答案】B
【解析】函數(shù)在x=1處的極限為
limx→1 f(x)=limx→1x1x-1=limx→1［1+(x-1)］1x-1=e，
x=1處的左右極限存在，但函數(shù)在x=1處無意義，故點x=1為f(x)的類間斷點。故選B。
2【答案】B
【解析】對于A項，limx→0x2+x3x2=limx→0(1+x)=1，A項正確；
對于B項，limx→0x2+x3x3=limx→01+xx=∞，B項錯誤，故選B；
C、D兩項顯然都是正確的。
3【答案】C
【解析】因為連續(xù)函數(shù)一定可積，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，因此A、B兩項正確；
F1(x)和F2(x)都是f(x)原函數(shù)，則F1(x)和F2(x)應相差一個任意常數(shù)C，C項錯誤；
D項顯然正確。故選C。
4【答案】D
【解析】對于A項，limn→∞nn+1=1≠0，由級數(shù)收斂的必要條件可知，A項級數(shù)發(fā)散；
對于B項，2n+1n2+n>2nn2+n=2n+1，級數(shù)∑∞n=12n+1發(fā)散，根據(jù)比較判別法可知，B項級數(shù)∑∞n=12n+1n2+n發(fā)散；
對于C項，∑∞n=11+(-1)nn=∑∞n=11n+∑∞n=1(-1)nn，其中級數(shù)∑∞n=11n發(fā)散，交錯級數(shù)∑∞n=1(-1)nn收斂，根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)，C項級數(shù)∑∞n=11+(-1)nn發(fā)散；
對于D項，limn→∞un+1un=limn→∞(n+1)22n+1·2nn2=12<1，根據(jù)比值判別法可知，D項級數(shù)∑∞n=1n22n收斂。故選D。
5【答案】A
【解析】令F(x,y,z)=2x2+y4-z-3，則
F′x=4x，F(xiàn)′y=4y3，F(xiàn)′z=-1，
因此曲面在點(1,1,0)處的切平面法向量為{4,4,-1}，故曲面在該點處的切平面方程為4(x-1)+4(y-1)-z=0，即4x+4y-z-8=0。故選A。
二、填空題
6【答案】x-12=y+2-3=z-36
【解析】已知所求直線與平面2x-3y+6z-7=0垂直，所以直線的方向向量與平面的法線向量共線，所以s=n={2,-3,6}，由直線的點向式得所求直線方程為
x-12=y+2-3=z-36。
7【答案】-4
【解析】已知函數(shù)在［-1,2］上連續(xù)，
f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)，
令f′(x)=0，得駐點x1=0，x2=1，比較駐點與區(qū)間端點的函數(shù)值，
f(-1)=-4, f(0)=1, f(1)=0, f(2)=5，
得函數(shù)在［-1,2］上的小值為-4。
8【答案】-2e
【解析】令F(x,y)=ey+2xy-e，則F′x=2y，F(xiàn)′y=ey+2x，可得
dydx=-F′xF′y=-2yey+2x，
由題干方程可知，當x=0時，y=1，故dydxx=0=-2e。
9【答案】Cx
【解析】由題可得dydx=yx，分離變量得dyy=dxx，兩邊積分得∫dyy=∫dxx，整理得
lny=lnx+lnC=ln(Cx)，
即y=Cx，其中C為任意常數(shù)。
10【答案】2πl(wèi)n2
【解析】將曲線方程x2+y2=1代入曲線積分
∮Lln(1+x2+y2)ds=∮Lln2ds=2πl(wèi)n2。
三、計算題
11【解析】由已知可得dydt=3e3t，dxdt=3t2，則由參數(shù)方程的一階、二階求導公式可得
dydx=dydtdxdt=3e3t3t2=e3tt2，
d2ydx2=ddtdydx·1dxdt=3t2e3t-2te3tt4·13t2=3t-23t5e3t。
12【解析】由分部積分法可得
∫exdx2=∫2xexdx=2∫xdex=2xex-2∫exdx=2xex-2ex+C。
13【解析】由洛必達法則和等價無窮小替換可得
limx→0∫x20ln(1+t)dtsin4x=limx→0∫x20ln(1+t)dtx4=limx→02xln(1+x2)4x3=limx→02x34x3=12。
14【解析】由復合函數(shù)求導法則可知，
zx=f′1+yexyf′2，
2zx2=f″11+yexyf″12+y2exyf′2+yexyf″21+y2e2xyf″22
=f″11+2yexyf″12+y2e2xyf″22+y2exyf′2。
15【解析】先去絕對值再積分，
∫π20sinx-cosxdx=∫π40(cosx-sinx)dx+∫π2π4(sinx-cosx)dx
=(sinx+cosx)π40+(-cosx-sinx)π2π4
=2-1-1+2=22-2。
16【解析】由1-x-2x2>0可得f(x)的定義域為-1,12，則函數(shù)可化為
f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x)。
將ln(1+x)和ln(1-2x)分別展開成x的冪級數(shù)如下，
ln(1+x)=∑∞n=1(-1)n-1nxn，-1 ln(1-2x)=∑∞n=1(-1)n-1n(-2x)n，-1<-2x≤1。
兩個冪級數(shù)相加可得
f(x)=∑∞n=1(-1)n-1(1-2n)nxn，-12≤x<12。
17【解析】題干的微分方程所對應二階齊次微分方程的特征方程為r2-6r+8=0，解得特征根為r1=2，r2=4。則對應二階齊次微分方程的通解為
Y=C1e2x+C2e4x。
設二階非齊次微分方程的特解y*=Ae3x，代入原方程得A=-1，故y*=-e3x。因此二階非齊次微分方程的通解為
y=Y+y*=C1e2x+C2e4x-e3x（其中C1，C2為任意常數(shù)）。
18【解析】由題意得函數(shù)在(1,1,2)處的偏導數(shù)分別為
fx(1,1,2)=(yz+1)(1,1,2)=3，
fy(1,1,2)=(xz-1)(1,1,2)=1，
fz(1,1,2)=(xy+2)(1,1,2)=3，
方向l的方向余弦分別為
cosα=222+(-2)2+1=23，cosβ=-23，cosγ=13，
則方向?qū)?shù)為
flP0=3·23+1·-23+3·13=73。
19【解析】積分區(qū)域為D={(x,y)0≤x≤3,-x≤y≤x}，如圖所示，則
D(x+y3)dxdy=∫30dx∫x-x(x+y3)dy=∫302x2dx=23x330=18。
20【解析】曲線L為閉合曲線，方向取正向，如圖所示，
P(x,y)=xsin2x-2y，Q(x,y)=3x+ycos2y，
Py=-2，Qx=3，
由格林公式可得
I=DQx-Pydxdy=D5dxdy=5×2×2=10。
四、證明題和應用題
21【解析】聯(lián)立y=x2,y=x,求解可得兩曲線交點為(0,0)和(1,1)，所圍圖形如圖所示，所以可得
S=∫10(x-x2)dx=23x32-13x310=13，
V=∫10［π(x)2-π(x2)2］dx=π12x2-15x510=310π。
22【證明】（1）已知f(x)在［a,c］，［c,b］上連續(xù)，在(a,c)，(c,b)內(nèi)可導，所以根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a,c)使得
f′(ξ1)=f(c)-f(a)c-a，
存在ξ2∈(c,b)使得
f′(ξ2)=f(b)-f(c)b-c，
又(a, f(a))，(b, f(b))，(c, f(c))三點共線，有
f(c)-f(a)c-a=f(b)-f(c)b-c，
即f′(ξ1)=f′(ξ2)。
（2）令F(x)=f′(x)，則F(x)在［a,b］上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導，又由第（1）問的結(jié)論f′(ξ1)=f′(ξ2)，根據(jù)羅爾定理可得，存在ξ∈(ξ1,ξ2)(a,b)，使得f″(ξ)=0。
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