目錄
前言
第一版前言
序章 學(xué)好高等數(shù)學(xué) 1
0.1 初識高等數(shù)學(xué) 1
0.1.1 高等數(shù)學(xué)的定義 1
0.1.2 高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容 1
0.1.3 微積分的發(fā)展歷史 2
0.2 學(xué)好高等數(shù)學(xué) 6
0.2.1 為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué) 6
0.2.2 如何學(xué)好高等數(shù)學(xué) 7
0.2.3 為實(shí)現(xiàn)“中國夢”努力學(xué)習(xí) 7
第1章 函數(shù)的極限與連續(xù) 9
1.1 函數(shù) 9
1.1.1 區(qū)間與鄰域 9
1.1.2 函數(shù)的定義 10
1.1.3 函數(shù)的幾何性質(zhì) 13
1.1.4 反函數(shù) 15
1.1.5 復(fù)合函數(shù) 16
1.1.6 基本初等函數(shù)與初等函數(shù) 17
習(xí)題1.1 18
1.2 數(shù)列的極限 19
1.2.1 數(shù)列的概念 19
1.2.2 數(shù)列極限的定義 20
1.2.3 數(shù)列極限的性質(zhì) 24
1.2.4 數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則 25
1.2.5 數(shù)列的子列 27
習(xí)題1.2 28
1.3 函數(shù)的極限 29
1.3.1 自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)的極限 29
1.3.2 自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限 30
1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 33
1.3.4 函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則 33
習(xí)題1.3 34
1.4 無窮小量與無窮大量 34
1.4.1 無窮小量 34
1.4.2 無窮大量 36
習(xí)題1.437
1.5 極限的運(yùn)算法則 37
1.5.1 極限的四則運(yùn)算法則 37
1.5.2 運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限舉例 38
1.5.3 復(fù)合函數(shù)的極限法則 45
習(xí)題1.547
1.6 兩個(gè)重要極限 48
1.6.1 limx→0sinxx=148
1.6.2 limx→∞1+1xx=e 51
習(xí)題1.6 55
1.7 無窮小量階的比較 56
1.7.1 無窮小量階的比較定義 57
1.7.2 無窮小量的等價(jià)替代 58
習(xí)題1.7 61
1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 62
1.8.1 函數(shù)的連續(xù)性 62
1.8.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 65
習(xí)題1.8 68
1.9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 69
1.9.1 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 69
1.9.2 初等函數(shù)的連續(xù)性 69
1.9.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 71
習(xí)題1.9 73
綜合練習(xí)題一 73
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 76
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 76
2.1.1 引例 76
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 78
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 84
2.1.4 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 85
習(xí)題2.1 87
2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 88
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 89
2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 91
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 92
習(xí)題2.2 97
2.3 隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 98
2.3.1 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 98
2.3.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 100
2.3.3 由極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 102
2.3.4 相關(guān)變化率 103
習(xí)題2.3 104
2.4 函數(shù)的微分 105
2.4.1 微分的定義 105
2.4.2 可微與可導(dǎo)的關(guān)系 106
2.4.3 基本初等函數(shù)的微分公式 107
2.4.4 微分的運(yùn)算法則 108
2.4.5 微分的幾何意義 111
*2.4.6 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 112
習(xí)題2.4 113
2.5 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分 114
2.5.1 高階導(dǎo)數(shù) 114
2.5.2 高階微分 120
習(xí)題2.5 121
綜合練習(xí)題二 122
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 125
3.1 微分中值定理 125
3.1.1 費(fèi)馬（Fermat）引理 125
3.1.2 羅爾(Rolle)中值定理 126
3.1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 127
3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 130
習(xí)題3.1 130
3.2 洛必達(dá)法則 131
3.2.1 洛必達(dá)法則 131
3.2.2 其他類型的未定式 133
3.2.3 需要注意的問題 135
習(xí)題3.2 137
3.3 泰勒公式 137
3.3.1 帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 138
3.3.2 帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式 140
習(xí)題3.3 142
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與極值 142
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 142
3.4.2 函數(shù)的極值 145
3.4.3 函數(shù)的最大值和最小值 150
習(xí)題3.4 152
3.5 曲線的凹凸、拐點(diǎn)與漸近線 154
3.5.1 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 154
3.5.2 曲線的漸近線 159
3.5.3 函數(shù)圖形的描繪 160
習(xí)題3.5 163
3.6 平面曲線的曲率 163
3.6.1 弧微分 164
3.6.2 曲率及其計(jì)算 165
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 169
習(xí)題3.6 170
綜合練習(xí)題三 171
第4章 積分 175
4.1 定積分的概念與性質(zhì) 175
4.1.1 定積分問題舉例 175
4.1.2 定積分的定義 177
4.1.3 定積分的幾何意義 179
4.1.4 定積分的性質(zhì) 180
習(xí)題4.1 184
4.2 原函數(shù)與微積分基本定理 185
4.2.1 原函數(shù) 185
4.2.2 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 187
4.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 191
習(xí)題4.2 193
4.3 不定積分的概念 194
4.3.1 不定積分的定義 194
4.3.2 不定積分與微分的關(guān)系 195
4.3.3 不定積分的性質(zhì) 197
4.3.4 不定積分的幾何意義 197
4.3.5 不定積分的直接積分法 198
習(xí)題4.3 200
4.4 不定積分的換元積分法 200
4.4.1 第一類換元積分法 201
4.4.2 第二類換元積分法 209
習(xí)題4.4 216
4.5 不定積分的分部積分法及分段函數(shù)的不定積分 217
4.5.1 不定積分的分部積分法 217
4.5.2 分段函數(shù)的不定積分 222
習(xí)題4.5 222
4.6 有理函數(shù)的不定積分 223
4.6.1 有理函數(shù)的不定積分 223
4.6.2 三角函數(shù)有理式的積分 231
習(xí)題4.6 233
4.7 定積分的換元法和分部積分法 234
4.7.1 定積分的換元積分法 234
4.7.2 定積分的分部積分法 238
習(xí)題4.7 240
4.8 廣義積分與Γ函數(shù) 241
4.8.1 無窮區(qū)間上的廣義積分 241
4.8.2 無界函數(shù)的廣義積分 243
4.8.3Γ函數(shù) 246
習(xí)題4.8 247
綜合練習(xí)題四 248
第5章 定積分的應(yīng)用 252
5.1 微元法 252
5.2 定積分的幾何應(yīng)用 253
5.2.1 平面圖形的面積 253
5.2.2 體積 257
5.2.3 平面曲線的弧長 260
習(xí)題5.2 262
5.3 定積分的物理應(yīng)用 263
5.3.1 變力沿直線所做的功 263
5.3.2 液體的壓力 264
習(xí)題5.3 265
綜合練習(xí)題五 265
第6章 微分方程 267
6.1 微分方程的基本概念 267
習(xí)題6.1 270
6.2 一階微分方程 270
6.2.1 可分離變量的微分方程 270
6.2.2 齊次方程 273
6.2.3 一階線性微分方程 275
*6.2.4 伯努利(Bernoulli)方程 279
習(xí)題6.2 280
6.3 可降階的高階微分方程 282
6.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 282
6.3.2 y″=f(x,y′)型的微分方程 283
6.3.3 y″=f(y,y′)型的微分方程 284
習(xí)題6.3 285
6.4 二階常系數(shù)線性微分方程 286
6.4.1 二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 286
6.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 288
6.4.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 292
習(xí)題6.4 297
綜合練習(xí)題六 298
附錄 301
常用初等數(shù)學(xué)公式 301
一、代數(shù)公式 301
二、三角公式 303
三、反三角函數(shù)與公式 304
四、初等幾何公式 305
習(xí)題與綜合練習(xí)題參考答案 307
參考文獻(xiàn) 329