第1章 向量空間及其性質(zhì) 1
1.1 向量 2
1.1.1 有向線段 2
1.1.2 向量的定義 3
1.1.3 零向量 5
1.1.4 長(zhǎng)度和方向 6
1.2 向量的加法和數(shù)乘 6
1.2.1 向量的加法 6
1.2.2 向量的數(shù)乘 10
1.2.3 基本運(yùn)算法則 11
1.3 線性組合與線性相關(guān) 12
1.3.1 混合顏色 13
1.3.2 線性組合 15
1.3.3 線性相關(guān)和線性無關(guān) 17
1.3.4 線性相關(guān)和線性無關(guān)的例題 18
1.3.5 升維與降維 20
1.4 向量空間 21
1.4.1 宇宙空間和向量空間 22
1.4.2 向量空間的嚴(yán)格定義 23
1.4.3 特殊向量空間 24
1.4.4 子空間 25
1.5 張成空間 26
1.5.1 等價(jià)向量組 28
1.5.2 幾何意義 31
1.5.3 最大無關(guān)組 33
1.5.4 向量組的秩 34
1.6 向量空間的基 35
1.6.1 基的定義 36
1.6.2 基與坐標(biāo) 38
1.6.3 坐標(biāo)系 40
1.6.4 向量空間的維度 42
1.7 數(shù)量積（點(diǎn)積） 43
1.7.1 歐氏幾何 43
1.7.2 長(zhǎng)度和角度 44
1.7.3 新的運(yùn)算 47
1.7.4 點(diǎn)積的性質(zhì) 48
1.7.5 余弦相似性 50

第2章 矩陣和矩陣乘法 53
2.1 矩陣和線性方程組 53
2.1.1 電視轉(zhuǎn)播與線性方程組 53
2.1.2 線性方程組 55
2.1.3 矩陣的出現(xiàn) 56
2.1.4 矩陣標(biāo)記法與解線性方程組 58
2.1.5 矩陣乘法 59
2.1.6 矩陣的結(jié)合 62
2.1.7 彩色電視機(jī)的計(jì)算 63
2.2 高斯消元法 64
2.2.1 高斯消元法的思想 64
2.2.2 特殊矩陣 69
2.2.3 初等行變換與初等行矩陣 72
2.3 矩陣的加法與乘法 75
2.3.1 矩陣加法 75
2.3.2 矩陣數(shù)乘 76
2.3.3 矩陣乘法的合法性 77
2.3.4 矩陣乘法的行觀點(diǎn) 77
2.3.5 矩陣乘法的列觀點(diǎn) 78
2.3.6 矩陣乘法的點(diǎn)積觀點(diǎn) 79
2.3.7 矩陣乘法的性質(zhì) 80
2.4 矩陣的冪運(yùn)算與轉(zhuǎn)置 81
2.4.1 冪運(yùn)算 81
2.4.2 矩陣的轉(zhuǎn)置 83
2.4.3 對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣 85
2.5 矩陣乘法的幾何意義 86
2.5.1 矩陣的左乘和右乘 86
2.5.2 矩陣的乘法 89
2.5.3 總結(jié) 91

第3章 矩陣函數(shù)及其幾何意義 92
3.1 矩陣函數(shù)與線性函數(shù) 92
3.1.1 函數(shù) 92
3.1.2 矩陣函數(shù) 94
3.1.3 矩陣是線性函數(shù) 95
3.2 旋轉(zhuǎn)矩陣函數(shù) 98
3.2.1 旋轉(zhuǎn)矩陣的左乘 98
3.2.2 旋轉(zhuǎn)橢圓 99
3.3 常用的矩陣函數(shù) 100
3.3.1 單位陣 101
3.3.2 鏡像矩陣 102
3.3.3 伸縮矩陣 102
3.3.4 剪切矩陣 103
3.4 矩陣函數(shù)的性質(zhì) 104
3.4.1 矩陣函數(shù)的交換律 104
3.4.2 矩陣函數(shù)的結(jié)合律 105

第4章 矩陣的秩的定義及意義 107
4.1 矩陣的秩 107
4.1.1 列空間 107
4.1.2 行空間 109
4.1.3 行秩、列秩、矩陣的秩 110
4.2 矩陣函數(shù)的四要素 111
4.2.1 定義域 112
4.2.2 映射法則 113
4.2.3 值域 115
4.2.4 到達(dá)域 115
4.2.5 矩陣函數(shù) 116
4.3 矩陣函數(shù)的值域 117
4.3.1 值域與列空間 117
4.3.2 值域與矩陣的秩 119
4.3.3 矩陣的秩的性質(zhì) 121
4.4 矩陣函數(shù)的單射 124
4.5 矩陣函數(shù)的滿射 131
4.6 矩陣函數(shù)的雙射 133
4.7 逆矩陣 134
4.7.1 逆矩陣的存在性 134
4.7.2 逆矩陣的定義 135
4.7.3 初等行矩陣求逆矩陣 137
4.7.4 高斯若爾當(dāng)求逆矩陣 137
4.7.5 逆矩陣的性質(zhì) 138
4.8 初等變換求秩 139
4.8.1 初等行變換求秩 139
4.8.2 初等列變換與標(biāo)準(zhǔn)形 142
4.9 分塊矩陣 143
4.9.1 分塊矩陣的定義 143
4.9.2 分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則 144
4.9.3 分塊對(duì)角矩陣 146
4.9.4 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 148
4.9.5 西爾維斯特不等式 148

第5章 線性方程組的解 150
5.1 解的存在性 150
5.2 解的個(gè)數(shù) 154
5.2.1 解的個(gè)數(shù)的矩陣觀點(diǎn) 155
5.2.2 滿秩矩陣有唯一解 156
5.3 解集 157
5.3.1 齊次線性方程組的解集 157
5.3.2 非齊次線性方程組的解 161
5.3.3 解集的結(jié)構(gòu) 164
5.4 秩零定理 166
5.4.1 二維中的例子 166
5.4.2 三維中的例子 167
5.4.3 秩零定理的嚴(yán)格形式 169

第6章 行列式 170
6.1 行列式的來歷 170
6.1.1 二階行列式 171
6.1.2 三階行列式 172
6.1.3 克拉默法則 174
6.1.4 全排列與逆序數(shù) 176
6.1.5 行列式的定義 178
6.2 二階行列式 179
6.2.1 伸縮比例 179
6.2.2 原理 182
6.2.3 總結(jié) 186
6.3 向量積 187
6.3.1 三維空間中的有向面積 187
6.3.2 向量積的方向 188
6.3.3 求解三維空間中的有向面積 190
6.4 三階行列式 195
6.4.1 有向體積 195
6.4.2 有向體積之比 196
6.4.3 總結(jié) 200
6.5 子式和余子式 200
6.5.1 子式 201
6.5.2 余子式 202
6.5.3 代數(shù)余子式 203
6.5.4 總結(jié) 204
6.6 行列式的性質(zhì) 204
6.6.1 轉(zhuǎn)置行列式 204
6.6.2 滿秩、可逆與行列式 205
6.6.3 行列式的數(shù)乘 206
6.6.4 行（列）互換 207
6.6.5 行列式的倍加 208
6.6.6 行列式的加法 210
6.6.7 行列式的乘法 211
6.6.8 三角行列式的計(jì)算法 212
6.6.9 三角分塊行列式的計(jì)算法 213
6.6.10 拉普拉斯展開 214
6.6.11 拉普拉斯展開的推論 217
6.7 克拉默法則 218
6.8 行列式的應(yīng)用 221
6.8.1 范德蒙行列式 221
6.8.2 伴隨矩陣與逆矩陣 224
6.8.3 伴隨矩陣的秩 225

第7章 相似矩陣 227
7.1 函數(shù)的坐標(biāo)系 227
7.1.1 日心說與地心說 227
7.1.2 阿基米德螺線 228
7.1.3 亮度調(diào)整 229
7.2 基變換 230
7.2.1 各種基變換的例題 230
7.2.2 過渡矩陣和基變換公式 235
7.3 坐標(biāo)變換 237
7.3.1 坐標(biāo)變換公式 237
7.3.2 矩陣函數(shù)和坐標(biāo)變換 241
7.4 相似矩陣 242
7.4.1 相似矩陣的定義 243
7.4.2 相似矩陣的性質(zhì) 247
7.4.3 亮度的調(diào)整 249

第8章 特征向量與對(duì)角化 252
8.1 特征值與特征向量 252
8.1.1 特征值與特征向量的定義 253
8.1.2 特征空間與特征方程 254
8.1.3 互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量 260
8.2 對(duì)角化 261
8.3 再談特征值與特征向量 265
8.4 正交矩陣 268
8.4.1 正交基 269
8.4.2 正交矩陣的定義 271
8.5 施密特正交化 273
8.5.1 二維空間的正交基 274
8.5.2 三維空間的正交基 276
8.5.3 施密特正交化的完整形式 279
8.6 正交對(duì)角化 279
8.6.1 整體的思路 280
8.6.2 實(shí)對(duì)稱陣 281
8.6.3 完整的解題過程 282
8.6.4 正交對(duì)角化的定義 284
8.7 相似矩陣中的不變量 285
8.7.1 相似矩陣的特征值相同 285
8.7.2 相似矩陣的行列式相同 288
8.7.3 相似矩陣的跡相同 290

第9章 二次型與合同矩陣 292
9.1 二次型 292
9.1.1 二次型的定義 292
9.1.2 從二次型到矩陣 293
9.2 合同矩陣 296
9.2.1 合同矩陣的定義 299
9.2.2 一點(diǎn)補(bǔ)充 299
9.3 合同對(duì)角化 300
9.3.1 正交合同對(duì)角化 300
9.3.2 拉格朗日配方法 303
9.4 慣性定理與正負(fù)定 309
9.4.1 慣性定理 309
9.4.2 正定與負(fù)定 311