序 言
大學(xué)數(shù)學(xué)難學(xué)是一個(gè)眾所周知的事實(shí).但它到底有多難，直到我開(kāi)始學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，我才明白.對(duì)于要把注意重點(diǎn)從高中數(shù)學(xué)中以重復(fù)性操練為基礎(chǔ)的常規(guī)解題訓(xùn)練轉(zhuǎn)移到作為真正數(shù)學(xué)的智力體操上來(lái)，我毫無(wú)準(zhǔn)備∶慶幸的是，在我的奮力拼搏下，我通過(guò)了初幾個(gè)月的學(xué)習(xí)，而且逐漸地開(kāi)始理解正式講課中無(wú)處不在的大量符號(hào)的含義.我發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)是一門(mén)既令人驚嘆又讓人愉悅的生機(jī)勃勃的學(xué)科，盡管它遠(yuǎn)在一條由形式化、簡(jiǎn)潔性和邏輯性構(gòu)成的水流湍急、險(xiǎn)象環(huán)生的大河的那一側(cè).
幾年以后，我在從事研究和講授數(shù)學(xué)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)一代又一代的數(shù)學(xué)家苗子仍在與我當(dāng)初面臨的同樣問(wèn)題作戰(zhàn).很自然，一些學(xué)生很突出，很快成了技巧嫻熟的數(shù)學(xué)家.一些學(xué)生沒(méi)能完成向更高層次數(shù)學(xué)的過(guò)渡，于是放棄，不再繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).其他一些學(xué)生很成功，這種"成功"在于能將符號(hào)搬來(lái)弄去，并在考試中取得高分.但是他們不具備任何有意義的數(shù)學(xué)悟性.第四類(lèi)由有可能成為既技巧嫻熟又聰穎過(guò)人的數(shù)學(xué)家的學(xué)生組成，但他們?nèi)匀挥X(jué)得向更高層次數(shù)學(xué)的過(guò)渡很困難.這四類(lèi)學(xué)生的共同之處是，他們都是有才能的學(xué)生，但他們?cè)谥袑W(xué)階段沒(méi)有接觸更高層次的數(shù)學(xué)就進(jìn)了大學(xué).有那么多的學(xué)生終歸于后兩類(lèi)，這讓我一直感到吃驚.
進(jìn)一步的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，看來(lái)幾乎沒(méi)有一種圖書(shū)資料能以一種清晰的、直觀的，特別是以一種有趣的方式來(lái)提供這種過(guò)渡性材料.一方面，我們有著標(biāo)準(zhǔn)的教材.當(dāng)然，這些教材是必需的，但從整體上講它們也是內(nèi)容非常密集、閱讀非常困難、編排非常緊湊的東西，除了適用于專(zhuān)門(mén)的學(xué)習(xí)和參考外，其他什么都不適用.另一方面，還有許多精彩的"普及性"數(shù)學(xué)圖書(shū).然而，這些圖書(shū)往往關(guān)注數(shù)學(xué)中十分前沿的尖端性研究論題，這種論題只與一小部分成功的數(shù)學(xué)家直接相關(guān)，而且只經(jīng)過(guò)數(shù)年的研究.此外，這些圖書(shū)往往不包含任何實(shí)在的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié);它們有點(diǎn)像在對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行觀光，或?qū)θ祟?lèi)智能進(jìn)行探視，對(duì)一個(gè)景點(diǎn)拍一張照，然后趕往下一個(gè)景點(diǎn). 雖然它們是長(zhǎng)期靈感的重要來(lái)源，或者就是一種令人愉快的讀物，但閱讀這種圖書(shū)幾乎不需要數(shù)學(xué)技巧，人們也幾乎不能從中得到任何數(shù)學(xué)技巧.
我覺(jué)得這兩個(gè)之間肯定可以有一個(gè)折中點(diǎn)∶一種真正的數(shù)學(xué)書(shū)，它表述內(nèi)容的風(fēng)格比通常的數(shù)學(xué)書(shū)更具有談話性、更為直觀而且更為親切.由于這些原因，我靈感迸發(fā)，著手寫(xiě)這本書(shū)一本雜交型的"普及性教科書(shū)"，一本我在從事數(shù)學(xué)家職業(yè)之前就應(yīng)該樂(lè)于擁有的書(shū).本書(shū)的目標(biāo)很簡(jiǎn)單∶
以一種只需要基本的高中數(shù)學(xué)為起點(diǎn)的方式.發(fā)掘典型的數(shù)學(xué)學(xué)位
課程中的核心元素和亮點(diǎn).強(qiáng)調(diào)許多令人驚嘆的結(jié)果所具有的自然之美
和實(shí)用價(jià)值.同時(shí)保持?jǐn)?shù)學(xué)上的純正性.
于是，經(jīng)過(guò)數(shù)年的努力，這本書(shū)現(xiàn)已完成，我想讓它適用于以下人群∶
●有抱負(fù)的數(shù)學(xué)家，他們想更多地了解關(guān)于數(shù)學(xué)的真正藝術(shù).
●數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科畢業(yè)生，他們?cè)敢忾喿x關(guān)于其大學(xué)數(shù)學(xué)課程中各個(gè)"亮點(diǎn)"的一種引人入勝的概覽性讀物.
●科學(xué)家、工程師和熱情的業(yè)余愛(ài)好者，他們想知道數(shù)學(xué)家到底是干什么的.
●數(shù)學(xué)教師，他們希望對(duì)較高層次的內(nèi)容有一種使人耳目一新的表述，以從中找到例子來(lái)激發(fā)自己和學(xué)生的靈感.
●進(jìn)修高等數(shù)學(xué)概要或適合詩(shī)人的數(shù)學(xué)等課程的學(xué)生.
就像剛才提到的，數(shù)學(xué)是難學(xué)的.這本書(shū)也不例外.由于所述概念的豐富性，閱讀本書(shū)需要在腦力上付出高度的努力.在書(shū)中各個(gè)不同的地方，需要對(duì)附錄中所詳細(xì)敘述的數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)基本水平上的知曉或熟悉∶然而，本書(shū)非常具有談話性，而且各個(gè)部分相對(duì)獨(dú)立，因此可以在不同的深度水平上閱讀∶ 而且，一個(gè)論題對(duì)另一個(gè)論題的依賴(lài)性也保持在水平.只要可能，每個(gè)新章節(jié)都從頭講起，所以如果某個(gè)領(lǐng)域變得太難懂了，或者不令你感興趣了，你可以轉(zhuǎn)到下一個(gè)領(lǐng)域.此外，為了避免破壞內(nèi)容的流暢性或遺漏掉作為數(shù)學(xué)思想之基礎(chǔ)的關(guān)鍵點(diǎn)，在一些地方我對(duì)某些技術(shù)性較強(qiáng)的細(xì)節(jié)略而不講.但愿這些地方已被清楚地指明，而這些省略不會(huì)影響到大多數(shù)讀者.
數(shù)學(xué)是一種激動(dòng)人心而又充滿活力的藝術(shù)形式，我希望本書(shū)能給你帶來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)之真正意義的某種領(lǐng)悟.
斯蒂芬·弗萊徹·休森
2003年4月