第 1章 通過(guò)代碼學(xué)數(shù)學(xué)　　1 1.1　使用數(shù)學(xué)和軟件解決商業(yè)問(wèn)題　2 1.1.1　預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)走勢(shì)　2 1.1.2　尋找優(yōu)質(zhì)交易　4 1.1.3　構(gòu)建三維圖形和動(dòng)畫　6 1.1.4　對(duì)物理世界建�！�8 1.2　如何高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)　9 1.2.1　Jane想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)　9 1.2.2　在數(shù)學(xué)課本中苦苦掙扎　10 1.3　用上你訓(xùn)練有素的左腦　11 1.3.1　使用正式的語(yǔ)言　11 1.3.2　構(gòu)建你自己的計(jì)算器　12 1.3.3　用函數(shù)建立抽象概念　13 1.4　小結(jié)　14 第　一部分 向量和圖形 第　2章 二維向量繪圖　16 2.1　二維向量繪圖　16 2.1.1　如何表示二維向量　18 2.1.2　用Python繪制二維圖形　20 2.1.3　練習(xí)　23 2.2　平面向量運(yùn)算　25 2.2.1　向量的分量和長(zhǎng)度　28 2.2.2　向量與數(shù)相乘　29 2.2.3　減法、位移和距離　31 2.2.4　練習(xí)　34 2.3　平面上的角度和三角學(xué)　41 2.3.1　從角度到分量　42 2.3.2　Python中的三角學(xué)和弧度　46 2.3.3　從分量到角度　47 2.3.4　練習(xí)　50 2.4　向量集合的變換　57 2.4.1　組合向量變換　59 2.4.2　練習(xí)　60 2.5　用Matplotlib繪圖　61 2.6　小結(jié)　62 第3章　上升到三維世界　63 3.1　在三維空間中繪制向量　64 3.1.1　用坐標(biāo)表示三維向量　66 3.1.2　用Python進(jìn)行三維繪圖　66 3.1.3　練習(xí)　68 3.2　三維空間中的向量運(yùn)算　70 3.2.1　添加三維向量　70 3.2.2　三維空間中的標(biāo)量乘法　72 3.2.3　三維向量減法　72 3.2.4　計(jì)算長(zhǎng)度和距離　73 3.2.5　計(jì)算角度和方向　74 3.2.6　練習(xí)　75 3.3　點(diǎn)積：測(cè)量向量對(duì)齊　78 3.3.1　繪制點(diǎn)積　78 3.3.2　計(jì)算點(diǎn)積　80 3.3.3　點(diǎn)積的示例　82 3.3.4　用點(diǎn)積測(cè)量角度　83 3.3.5　練習(xí)　85 3.4　向量積：測(cè)量定向區(qū)域　88 3.4.1　在三維空間中確定自己的朝向　88 3.4.2　找到向量積的方向　89 3.4.3　求向量積的長(zhǎng)度　91 3.4.4　計(jì)算三維向量的向量積　92 3.4.5　練習(xí)　93 3.5　在二維平面上渲染三維對(duì)象　96 3.5.1　使用向量定義三維對(duì)象　97 3.5.2　二維投影　98 3.5.3　確定面的朝向和陰影　99 3.5.4　練習(xí)　101 3.6　小結(jié)　102 第4章　變換向量和圖形　103 4.1　變換三維對(duì)象　105 4.1.1　繪制變換后的對(duì)象　105 4.1.2　組合向量變換　107 4.1.3　繞軸旋轉(zhuǎn)對(duì)象　110 4.1.4　創(chuàng)造屬于你自己的幾何變換　113 4.2　線性變換　117 4.2.1　向量運(yùn)算的不變性　117 4.2.2　圖解線性變換　119 4.2.3　為什么要做線性變換　121 4.2.4　計(jì)算線性變換　124 4.2.5　練習(xí)　127 4.3　小結(jié)　132 第5章　使用矩陣計(jì)算變換　134 5.1　用矩陣表示線性變換　135 5.1.1　把向量和線性變換寫成矩陣形式　135 5.1.2　矩陣與向量相乘　136 5.1.3　用矩陣乘法組合線性變換　138 5.1.4　實(shí)現(xiàn)矩陣乘法　140 5.1.5　用矩陣變換表示三維動(dòng)畫　141 5.1.6　練習(xí)　142 5.2　不同形狀矩陣的含義　148 5.2.1　列向量組成的矩陣　149 5.2.2　哪些矩陣可以相乘　151 5.2.3　將方陣和非方陣視為向量函數(shù)　152 5.2.4　從三維到二維的線性映射投影　154 5.2.5　組合線性映射　156 5.2.6　練習(xí)　157 5.3　用矩陣平移向量　163 5.3.1　線性化平面平移　163 5.3.2　尋找做二維平移的三維矩陣　167 5.3.4　在四維世界里平移三維對(duì)象　170 5.4　小結(jié)　174 第6章　高維泛化　176 6.1　泛化向量的定義　177 6.1.1　為二維坐標(biāo)向量創(chuàng)建一個(gè)類　178 6.1.3　使用同樣的方法定義三維向量　179 6.1.4　構(gòu)建向量基類　180 6.1.5　定義向量空間　182 6.1.6　對(duì)向量空間類進(jìn)行單元測(cè)試　185 6.2　探索不同的向量空間　188 6.2.1　枚舉所有坐標(biāo)向量空間　188 6.2.2　識(shí)別現(xiàn)實(shí)中的向量　190 6.2.3　將函數(shù)作為向量處理　192 6.2.4　將矩陣作為向量處理　194 6.2.5　使用向量運(yùn)算來(lái)操作圖像　195 6.2.6　練習(xí)　198 6.3　尋找更小的向量空間　205 6.3.1　定義子空間　205 6.3.2　從單個(gè)向量開始　207 6.3.3　生成更大的空間　207 6.3.4　定義“維度”的概念　209 6.3.5　尋找函數(shù)向量空間的子空間　210 6.3.6　圖像的子空間　212 6.3.7　練習(xí)　214 6.4　小結(jié)　220 第7章　求解線性方程組　222 7.1　設(shè)計(jì)一款街機(jī)游戲　223 7.1.1　游戲建�！�223 7.1.2　渲染游戲　224 7.1.3　發(fā)射激光　225 7.1.4　練習(xí)　226 7.2　找到直線的交點(diǎn)　227 7.2.1　為直線選擇正確的公式　227 7.2.2　直線的標(biāo)準(zhǔn)形式方程　229 7.2.3　線性方程組的矩陣形式　231 7.2.4　使用NumPy求解線性方程組　233 7.2.6　識(shí)別不可解方程組　234 7.2.7　練習(xí)　236 7.3　將線性方程泛化到更高維度　240 7.3.1　在三維空間中表示平面　240 7.3.2　在三維空間中求解線性方程組　243 7.3.4　計(jì)算維數(shù)、方程和解　245 7.3.5　練習(xí)　246 7.4　通過(guò)解線性方程來(lái)改變向量的基　253 7.4.1　在三維空間中求解　255 7.4.2　練習(xí)　256 7.5　小結(jié)　257 第二部分　微積分和物理仿真 第8章　理解變化率　261 8.1　根據(jù)體積計(jì)算平均流速　262 8.1.1　實(shí)現(xiàn)average_flow_rate函數(shù)　263 8.1.2　用割線描繪平均流速　264 8.1.3　負(fù)變化率　265 8.1.4　練習(xí)　266 8.2　繪制隨時(shí)間變化的平均流速　266 8.2.1　計(jì)算不同時(shí)間段內(nèi)的平均流速　267 8.2.2　繪制間隔流速圖　268 8.2.3　練習(xí)　270 8.3　瞬時(shí)流速的近似值　271 8.3.1　計(jì)算小割線的斜率　272 8.3.2　構(gòu)建瞬時(shí)流速函數(shù)　274 8.3.3　柯里化并繪制瞬時(shí)流速函數(shù)　277 8.4　體積變化的近似值　278 8.4.1　計(jì)算短時(shí)間間隔內(nèi)的體積變化　279 8.4.2　將時(shí)間分割成更小的間隔　280 8.4.3　在流速圖上繪制體積變化的圖形　280 8.4.4　練習(xí)　283 8.5　繪制隨時(shí)間變化的體積圖　283 8.5.1　計(jì)算隨時(shí)間變化的體積　283 8.5.2　繪制體積函數(shù)的黎曼和　285 8.5.3　提升近似結(jié)果的精確度　286 8.5.4　定積分和不定積分　288 8.6　小結(jié)　290 第9章　模擬運(yùn)動(dòng)的對(duì)象　291 9.1　模擬勻速運(yùn)動(dòng)　291 9.1.1　給小行星設(shè)置速度　292 9.1.2　更新游戲引擎，讓小行星運(yùn)動(dòng)　292 9.1.3　保持小行星在屏幕上　293 9.1.4　練習(xí)　295 9.2　模擬加速　295 9.3　深入研究歐拉方法　296 9.3.1　手動(dòng)計(jì)算歐拉方法　297 9.3.2　使用 Python 實(shí)現(xiàn)算法　298 9.4　用更小的時(shí)間步執(zhí)行歐拉方法　300 9.5　小結(jié)　305 第　10章 使用符號(hào)表達(dá)式　306 10.1　用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)計(jì)算精確的導(dǎo)數(shù)　309 10.2.1　將表達(dá)式拆分成若干部分　310 10.2.3　使用Python語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)表達(dá)式樹　311 10.2.4　練習(xí)　313 10.3　符號(hào)表達(dá)式的應(yīng)用　315 10.3.1　尋找表達(dá)式中的所有變量　317 10.3.3　表達(dá)式展開　319 10.3.4　練習(xí)　321 10.4　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　323 10.4.1　冪的導(dǎo)數(shù)　324 10.4.2　變換后函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　324 10.4.3　一些特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　326 10.4.4　乘積與組合的導(dǎo)數(shù)　327 10.4.5　練習(xí)　328 10.5　自動(dòng)計(jì)算導(dǎo)數(shù)　330 10.5.1　實(shí)現(xiàn)表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)方法　330 10.5.2　實(shí)現(xiàn)乘積法則和鏈?zhǔn)椒▌t　332 10.5.4　練習(xí)　334 10.6　符號(hào)化積分函數(shù)　335 10.6.1　積分作為反導(dǎo)數(shù)　335 10.6.2　SymPy庫(kù)介紹　336 10.6.3　練習(xí)　337 10.7　小結(jié)　338 第　11章 模擬力場(chǎng)　339 11.1　用向量場(chǎng)對(duì)引力建�！�339 11.2　引力場(chǎng)建�！�342 11.2.1　定義一個(gè)向量場(chǎng)　343 11.2.2　定義一個(gè)簡(jiǎn)單的力場(chǎng)　344 11.3　把引力加入小行星游戲　345 11.3.1　讓游戲中的對(duì)象感受到引力　346 11.3.2　練習(xí)　349 11.4　引入勢(shì)能　350 11.4.1　定義勢(shì)能標(biāo)量場(chǎng)　351 11.4.2　將標(biāo)量場(chǎng)繪制成熱圖　352 11.4.3　將標(biāo)量場(chǎng)繪制成等高線圖　354 11.5.1　用橫截面測(cè)量陡度　354 11.5.2　計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)　356 11.5.3　用梯度求圖形的陡度　357 11.5.4　用勢(shì)能的梯度計(jì)算力場(chǎng)　359 11.5.5　練習(xí)　361 11.6　小結(jié)　364 第　12章 優(yōu)化物理系統(tǒng)　365 12.1　測(cè)試炮彈模擬器　367 12.1.1　用歐拉方法建立模擬器　368 12.1.2　測(cè)量彈道的屬性　369 12.1.3　探索不同的發(fā)射角度　370 12.1.4　練習(xí)　371 12.2　計(jì)算最佳射程　373 12.2.1　求炮彈射程關(guān)于發(fā)射角的函數(shù)　373 12.2.2　求最大射程　376 12.2.3　確定最大值和最小值　378 12.2.4　練習(xí)　379 12.3　增強(qiáng)模擬器　381 12.3.1　添加另一個(gè)維度　381 12.3.2　在炮彈周圍建立地形模型　383 12.3.4　練習(xí)　386 12.4　利用梯度上升優(yōu)化范圍　388 12.4.1　繪制射程與發(fā)射參數(shù)的關(guān)系圖　388 12.4.2　射程函數(shù)的梯度　389 12.4.3　利用梯度尋找上坡方向　390 12.4.4　實(shí)現(xiàn)梯度上升　392 12.4.5　練習(xí)　395 12.5　小結(jié)　399 第　13章 用傅里葉級(jí)數(shù)分析聲波　400 13.1　聲波的組合和分解　401 13.2　用Python播放聲波　402 13.2.1　產(chǎn)生第 一個(gè)聲音　402 13.2.2　演奏音符　405 13.2.3　練習(xí)　406 13.3　把正弦波轉(zhuǎn)化為聲音　406 13.3.1　用正弦函數(shù)制作音頻　406 13.3.2　改變正弦函數(shù)的頻率　408 13.3.3　對(duì)聲波進(jìn)行采樣和播放　409 13.3.4　練習(xí)　411 13.4　組合聲波得到新的聲波　412 13.4.1　疊加聲波的樣本來(lái)構(gòu)造和弦　412 13.4.2　兩個(gè)聲波疊加后的圖形　413 13.4.3　構(gòu)造正弦波的線性組合　414 13.4.4　用正弦波構(gòu)造一個(gè)熟悉的函數(shù)　416 13.4.5　練習(xí)　419 13.5　將聲波分解為傅里葉級(jí)數(shù)　419 13.5.1　用內(nèi)積確定向量分量　420 13.5.2　定義周期函數(shù)的內(nèi)積　421 13.5.3　實(shí)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)來(lái)計(jì)算傅里葉系數(shù)　423 13.5.4　求方波的傅里葉系數(shù)　424 13.5.5　其他波形的傅里葉系數(shù)　424 13.5.6　練習(xí)　426 13.6　小結(jié)　428 第三部分　機(jī)器學(xué)習(xí)的應(yīng)用 第　14章 數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合　431 14.1　衡量函數(shù)的擬合質(zhì)量　433 14.1.1　計(jì)算數(shù)據(jù)與函數(shù)的距離　434 14.1.2　計(jì)算誤差的平方和　436 14.1.3　計(jì)算汽車價(jià)格函數(shù)的代價(jià)　440 14.2　探索函數(shù)空間　441 14.2.1　繪制通過(guò)原點(diǎn)的直線的代價(jià)　442 14.2.2　所有線性函數(shù)的空間　443 14.2.3　練習(xí)　445 14.3　使用梯度下降法尋找最佳擬合線　445 14.3.1　縮放數(shù)據(jù)　445 14.3.2　找到并繪制最佳擬合線　446 14.3.3　練習(xí)　447 14.4　非線性函數(shù)擬合　448 14.4.1　理解指數(shù)函數(shù)的行為　448 14.4.2　尋找最佳擬合的指數(shù)函數(shù)　451 14.5　小結(jié)　453 第　15章 使用logistic回歸對(duì)數(shù)據(jù)分類　455 15.1　用真實(shí)數(shù)據(jù)測(cè)試分類函數(shù)　456 15.1.1　加載汽車數(shù)據(jù)　457 15.1.2　測(cè)試分類函數(shù)　458 15.1.3　練習(xí)　458 15.2　繪制決策邊界　460 15.2.1　繪制汽車的向量空間　460 15.2.2　繪制更好的決策邊界　461 15.2.3　實(shí)現(xiàn)分類函數(shù)　462 15.2.4　練習(xí)　463 15.3　將分類問(wèn)題構(gòu)造為回歸問(wèn)題　464 15.3.1　縮放原始汽車數(shù)據(jù)　464 15.3.2　衡量汽車的“寶馬性”　465 15.3.3　sigmoid函數(shù)　467 15.3.4　將sigmoid函數(shù)與其他函數(shù)組合　468 15.3.5　練習(xí)　470 15.4　探索可能的logistic函數(shù)　471 15.4.1　參數(shù)化logistic函數(shù)　472 15.4.2　衡量logistic函數(shù)的擬合質(zhì)量　472 15.4.3　測(cè)試不同的logistic函數(shù)　474 15.4.4　練習(xí)　475 15.5　尋找最佳logistic函數(shù)　477 15.5.1　三維中的梯度下降法　477 15.5.2　使用梯度下降法尋找最佳擬合　478 15.5.3　測(cè)試和理解最佳logistic分類器　479 15.5.4　練習(xí)　481 15.6　小結(jié)　483 第　16章 訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　484 16.1　用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類　485 16.2　手寫數(shù)字圖像分類　486 16.2.1　構(gòu)建64維圖像向量　487 16.2.2　構(gòu)建隨機(jī)數(shù)字分類器　488 16.2.3　測(cè)試數(shù)字分類器的表現(xiàn)　489 16.2.4　練習(xí)　490 16.3　設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　491 16.3.1　組織神經(jīng)元和連接　492 16.3.2　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)流　492 16.3.3　計(jì)算激活值　495 16.3.4　用矩陣表示法計(jì)算激活值　498 16.4　用Python構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　499 16.4.1　用Python實(shí)現(xiàn)MLP類　500 16.4.2　評(píng)估MLP　502 16.4.3　測(cè)試MLP的分類效果　503 16.4.4　練習(xí)　504 16.5　使用梯度下降法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　504 16.5.1　將訓(xùn)練構(gòu)造為最小化問(wèn)題　505 16.5.3　使用scikit-learn自動(dòng)訓(xùn)練　507 16.6　使用反向傳播計(jì)算梯度　509 16.6.1　根據(jù)最后一層的權(quán)重計(jì)算代價(jià)　509 16.6.2　利用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算最后一層權(quán)重的偏導(dǎo)數(shù)　510 16.6.3　練習(xí)　512 16.7　小結(jié)　513 附錄A　準(zhǔn)備Python（圖靈社區(qū)下載） 附錄B　Python技巧和竅門（圖靈社區(qū)下載） 附錄C　使用OpenGL和PyGame加載和渲染三維模型（圖靈社區(qū)下載） 附錄D　數(shù)學(xué)符號(hào)參考（圖靈社區(qū)下載）