本書是美國著名數(shù)學(xué)競(jìng)賽專家Titu Andreescu教授及其團(tuán)隊(duì)編寫的數(shù)學(xué)競(jìng)賽 數(shù)論知識(shí)教材.
書中涵蓋了整除、公約數(shù)、算術(shù)基本定理、數(shù)論函數(shù)、同余方程、模p多項(xiàng) 式、二次剩余、p進(jìn)賦值等主題.通過精彩的例題重點(diǎn)展現(xiàn)了帶余除法、裴蜀定理、 高斯弓I理、同余計(jì)算、積性函數(shù)、費(fèi)馬小定理、強(qiáng)三角不等式、二次互反律、素?cái)?shù)估 計(jì)、局部一整體原則的應(yīng)用.課后共有二百多道習(xí)題供練習(xí).
本書適合熱愛數(shù)學(xué)的廣大教師和學(xué)生使用,特別是從事數(shù)學(xué)競(jìng)賽相關(guān)事業(yè)的 人員參考使用.
譯者序
數(shù)學(xué)競(jìng)賽中包含了大量的初等題目,它們需要很強(qiáng)的技巧才能解決。這些技 巧顯著高于普通的中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),又和大學(xué)數(shù)學(xué)有明顯區(qū)別。初步看去這些技 巧像是一些解題定式,深入則發(fā)現(xiàn)其更注重敏銳地觀察和巧妙地思考。大多數(shù)學(xué) 生和家長以為通過大量刷題可以獲得這些解題經(jīng)驗(yàn)和技巧,但實(shí)際上經(jīng)驗(yàn)和技巧 都來源于個(gè)人的思考和總結(jié)。思維就像一張網(wǎng),從海量的知識(shí)和論述中發(fā)現(xiàn)巧妙 的思路和有力的方法。
從本人的學(xué)習(xí)過程來看,刷題時(shí)經(jīng)常自問自答的一個(gè)問題就是“這種解法 的關(guān)鍵步驟是什么從一開始的無意識(shí)問到后來的習(xí)慣性問,這樣做的結(jié)果是 每道題目最終只記住了一點(diǎn)點(diǎn)的東西。相當(dāng)于對(duì)解答的過程做了高度的概括和 標(biāo)記,也有助于對(duì)一類題目的普遍解題方法做歸納總結(jié)。因?yàn)樗㈩}時(shí)主要目的 還是學(xué)到新的技巧和思路,題目的選擇也要考慮。個(gè)人認(rèn)為,做自己可以完成 50% - 90%的題目比較合適,這樣有大概的思路,可以過濾掉題目中比較簡單平 凡的步驟,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)題目的難點(diǎn)。如果最終未解決題目,對(duì)比題目難點(diǎn)的處理辦 法,可以找到自己未掌握的部分,經(jīng)常就是解答的關(guān)鍵步驟或者包含新的技巧。
對(duì)于某些非常巧妙的題目解答,僅僅發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵步驟還不能滿足學(xué)習(xí)目的。這 時(shí)經(jīng)常問“是怎么想到用這樣的方法”。代入解題情境,體會(huì)方法使用時(shí)題目的 狀態(tài)和特性,將合適的特點(diǎn)與解題方法關(guān)聯(lián)思考,就容易獲得正確的經(jīng)驗(yàn),熟練 了就成為可變化處理問題的技巧。
一本好的競(jìng)賽知識(shí)書主要在于將有類似技巧的題目循序漸進(jìn)地安排在一起 (相對(duì)來說,競(jìng)賽題目書只要題目列表、解答正確即可)。蒂圖(Titu)曾是美 國IMO代表隊(duì)主教練,有豐富的訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)和資料,又編寫過多本數(shù)學(xué)競(jìng)賽的書 籍。他的這本《數(shù)論:概念和問題》就是一本精品競(jìng)賽知識(shí)書,有許多獨(dú)特之 處。首先,章節(jié)的設(shè)計(jì)和其他數(shù)論圖書大有不同,例如將模素?cái)?shù)的同余式和模合 數(shù)的同余式作為標(biāo)題形成兩章來講解。這本書所提倡的是從同余方程角度思考數(shù) 學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問題。一般首先考慮模素?cái)?shù)的問題,然后是模素?cái)?shù)幕的問題,最 后是(經(jīng)常用中國剩余定理)解決模合數(shù)的問題。
這本書的深度相當(dāng)于大學(xué)本科的初等數(shù)論教材,習(xí)題普遍是非平凡的需要思 考和解題技巧的競(jìng)賽題目。書中所提到的定理都是在解決競(jìng)賽題目中真正有用 的,覆蓋面很廣泛。這本書的知識(shí)和技巧足夠解決IMO和預(yù)選題難度的題目。因 為這本書的題目非常精彩,有些題目解答譯者按作者主要思路,給出了自己的論 述。
在書寫排版方面,這本書基本沒有公式編號(hào),也從不引用另外題目的公式。 如果需要,則引用定理或命題的結(jié)論,偶爾才會(huì)引用某定理證明中的方法(一般 這種方法就是難于命名的一種處理技巧)。每節(jié)的內(nèi)容安排基本上是理論結(jié)果在 前面,跟著一些具體題目上的應(yīng)用。主要定理在邏輯關(guān)聯(lián)性的方面安排較好,嚴(yán) 謹(jǐn)性方面相當(dāng)于大學(xué)教材。有趣的是,作者在上下文穿插語言中,基本上都說下 一個(gè)定理或結(jié)果很“重要、有用、關(guān)鍵\",等等。本著中文表達(dá)的謙虛性質(zhì),沒 有將這些詞完全翻譯?赡苁怯捎谟⑽臄(shù)學(xué)論述的特點(diǎn),或者作者有意為之,很 多時(shí)候一句斷言,作者會(huì)把結(jié)果寫在前半句,原因?qū)懺诤蟀刖,?qǐng)讀者碰到時(shí)注 意。這也許是一個(gè)好的做法,讀者看到結(jié)果會(huì)不自覺地產(chǎn)生疑問,然后看到原因 時(shí)恍然大悟,一定程度刺激了讀者的思考。每道題目的解答作者經(jīng)常使用分析 法,從結(jié)論倒推,得到需要證明的步驟,然后再證明之。還有的時(shí)候,作者先聲 明某個(gè)結(jié)果,然后給出聲明蘊(yùn)含題目結(jié)果的論述,最后證明所聲明的部分。
數(shù)論解題的三板斧(為部分競(jìng)賽選手認(rèn)同)是:取模、不等式和因式分解。 舊類型的不定方程基本可以這樣搞定。讀過這本書,又可以看到兩種新的方法: 考察素因子類型和考察素因子矗次。希望讀者可以從解法的字里行間或者題目之 間的聯(lián)系中總結(jié)出更多的方法和技巧。
學(xué)無止境,吾輩皆需努力。
羅煒
2019年10月寫于杭州