公元820年左右，波斯數(shù)學(xué)家阿布·阿卜杜拉·穆罕默德·本·穆薩·阿爾·花拉子密(Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，約780年約850年)完成了他的手稿《代數(shù)學(xué)》(Calculation by Completion and Balancing)。在這本書稿中，花拉子密使用了代數(shù)一詞，收集整理了一些基本的代數(shù)運(yùn)算法則。平衡是代數(shù)的基礎(chǔ)概念之一，而方程體現(xiàn)的正是平衡之理。假如我們將一個(gè)蘋果、一個(gè)橘子置于天平兩端的托盤之上，只有蘋果與橘子的重量相等時(shí)，天平兩邊才是平衡的。實(shí)際上，每一個(gè)方程都表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式之間的相等關(guān)系。
那么，如何閱讀這本《數(shù)學(xué)的奧秘》呢？
本書可以一頁(yè)一頁(yè)地從頭讀到尾�？墒�，大多數(shù)讀者不會(huì)像翻看小說(shuō)一樣閱讀數(shù)學(xué)書籍。數(shù)學(xué)擁有自己的概念網(wǎng)絡(luò)，包含了大量相互聯(lián)系的概念，需要仔細(xì)地研讀。有鑒于此，本書中許多章節(jié)相互參照，或許不能以某種預(yù)設(shè)的順序快速地瀏覽。有些章節(jié)甚至需要在讀完它后面的章節(jié)之后，再回頭重讀一遍，方可更好地理解其中的內(nèi)容。
各位讀者也大可不必為此而心生煩惱。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，一旦學(xué)懂了某些概念，可能就會(huì)突然明白一些先前學(xué)過(guò)的內(nèi)容，我們大多數(shù)人在大多數(shù)時(shí)候是不是都有這種感覺呢？即使是偉大的數(shù)學(xué)家，他們?cè)谛碌念I(lǐng)域?qū)W習(xí)新知的時(shí)候，也會(huì)有思路不清、迷惘失措的時(shí)候，但他們也會(huì)收獲意外發(fā)現(xiàn)某種聯(lián)系之后的內(nèi)心愉悅。有些時(shí)候，意外發(fā)現(xiàn)之驚喜，實(shí)則是美妙的心靈感受，足以讓人引以為豪。
在遇到新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，我們大都需要借助于直觀圖像來(lái)理解。撰寫本書之目的決定了書中的內(nèi)容不能過(guò)于專業(yè)化每一章涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，或是初級(jí)的、簡(jiǎn)單的，或是高級(jí)的、復(fù)雜的，但互為關(guān)聯(lián)，共同形成了統(tǒng)一整體。本書意欲達(dá)成之目標(biāo)，就是用簡(jiǎn)樸的語(yǔ)言來(lái)解釋一般性的數(shù)學(xué)概念，并構(gòu)建起這些概念之間的相互對(duì)話。
但有些時(shí)候，相關(guān)討論不可避免地需要在數(shù)學(xué)、科學(xué)和日常生活等不同領(lǐng)域之間交叉跨越。因此，本書需要用到一些簡(jiǎn)單易懂的表達(dá)。將抽象概念簡(jiǎn)單化，或許可以得到數(shù)學(xué)初學(xué)者的欣賞，但一定需要請(qǐng)求數(shù)學(xué)專家們的原諒。出于相同的原因，書中的插圖也沒有標(biāo)注數(shù)值、尺度，這又可能會(huì)使一些數(shù)學(xué)教師大為光火。然而，去掉細(xì)枝末葉的信息真的無(wú)關(guān)緊要，反而可以讓我們聚焦于探討問(wèn)題的全貌。
無(wú)論怎樣，本書是有關(guān)數(shù)學(xué)方程的，那么，它又怎樣處理數(shù)學(xué)符號(hào)呢？大多數(shù)普及性數(shù)學(xué)著作的作者與編輯，會(huì)精心地設(shè)計(jì)出一套技術(shù)路線來(lái)，以避免過(guò)多地使用那些令人生畏的數(shù)學(xué)公式。本書反其道行之。數(shù)學(xué)家發(fā)明的數(shù)學(xué)符號(hào)，原本就是為了將問(wèn)題簡(jiǎn)單化的，不是嗎？
從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)家使用的符號(hào)，與音樂家的樂譜符號(hào)、編輯的校對(duì)符號(hào)、舞美的編導(dǎo)符號(hào)、繡娘的編織符號(hào)和棋手的棋譜符號(hào)一樣，都是特殊符號(hào) 如果我們不能解析出這些符號(hào)所指何物，就完全不會(huì)明白它們所示何意。一旦我們弄清了它們指代的含義，它們就猶如美麗的圖畫，可以簡(jiǎn)潔、明晰地傳遞信息，其表達(dá)功效遠(yuǎn)勝于啰唆繁復(fù)的言語(yǔ)。
本書講述數(shù)學(xué)知識(shí)的方式，不一定完全具有邏輯性。數(shù)學(xué)有著久遠(yuǎn)的歷史，有些數(shù)學(xué)概念與大多數(shù)事物一樣，可能是獨(dú)特的，也可能是怪異的；可能是的，也可能是愚蠢的，但相關(guān)概念產(chǎn)生的歷史進(jìn)程又是有跡可循的，所以，追本溯源或許可以幫助我們從源頭上來(lái)探究數(shù)學(xué)方程的奧秘。當(dāng)然，也許可以采用全新的敘事方式來(lái)講述方程，使內(nèi)容更具連貫性，但若非駕輕就熟，這么做將是愚蠢又魯莽的冒險(xiǎn)。
所以，當(dāng)你對(duì)書中某個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)知其然不知其所以然時(shí)，不要為此而發(fā)愁。有時(shí)候，你甚至?xí)�發(fā)現(xiàn)，讀懂那些印在某一頁(yè)上的文字，遠(yuǎn)比理解某個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)更為困難。本書的相關(guān)討論，涉及一套完整的符號(hào)系統(tǒng)，但這些符號(hào)幾乎全都是數(shù)學(xué)家隨意創(chuàng)設(shè)的，符號(hào)本身與所指概念之間沒有任何關(guān)聯(lián)。假如你能解析符號(hào)所指，相信你也能克服理解文字的困難。
舉例來(lái)說(shuō)吧，相信各位讀者都了解正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，知道什么是分?jǐn)?shù)，也明白一些代數(shù)原則。例如，字母或別的什么符號(hào)，可以用來(lái)表示未知數(shù)或可變數(shù)。兩個(gè)未知量相乘， 可以用一個(gè)字母置于另一個(gè)字母之后來(lái)表述，即 ab=ab ; 而某個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，也可以用分號(hào)表述為:a÷b= ab。再如，等號(hào)=是極為重要的運(yùn)算符號(hào)，其意義在于它兩邊表達(dá)式代表的值相等。其他的數(shù)學(xué)符號(hào)將在正文內(nèi)分別給予介紹。
方程好比小型的機(jī)器，依靠各自的零件維持運(yùn)轉(zhuǎn)。我們的主要任務(wù)，就是弄清楚在每一部正常運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器中，每一個(gè)零件可以做什么，它又是如何與其他零件相互作用的。
就理解數(shù)學(xué)符號(hào)而言，我們有時(shí)需要拆分或解碼數(shù)學(xué)符號(hào)，有時(shí)需要以簡(jiǎn)單的實(shí)例加以說(shuō)明，有時(shí)則需要從底層的問(wèn)題出發(fā)，或者從鮮為人知的方面開始，但有關(guān)方程的很多內(nèi)容都是一筆帶過(guò)的，所以，我們向讀者呈現(xiàn)的也僅僅是方程大觀園里的匆匆一瞥。
事實(shí)上，假若以講授數(shù)學(xué)知識(shí)先易后難的慣例來(lái)判斷， 本書并未遵循傳統(tǒng)，各章節(jié)的內(nèi)容難易程度不一。某一節(jié)說(shuō)的還是中學(xué)水平的代數(shù)，而緊接其后的內(nèi)容又達(dá)到了大學(xué)難度。我有意地忽略了難度跳躍，因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題不可能全部按照預(yù)設(shè)的難度水平循序漸進(jìn)地出現(xiàn)，對(duì)吧?我們?cè)趦簳r(shí)學(xué)會(huì)的一些算術(shù)運(yùn)算，竟然是深?yuàn)W甚至神秘的數(shù)學(xué)難題；而許多所謂具有高階的數(shù)學(xué)難題，一旦用數(shù)學(xué)專業(yè)的行話來(lái)解釋，實(shí)質(zhì)上是極易領(lǐng)悟的。
總而言之，閱讀此書時(shí)，讀者可以像閱讀其他書籍一樣，多讀自己能理解的內(nèi)容，細(xì)讀自己感興趣的內(nèi)容。任何行得通的閱讀方法，都是閱讀本書的良方。