本書(shū)為日本數(shù)學(xué)家伊藤清創(chuàng)作的現(xiàn)代概率論著作。書(shū)中以最小限度的預(yù)備知識(shí)為前提，以簡(jiǎn)練的筆法系統(tǒng)講解了測(cè)度論基礎(chǔ)，以及現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)體系與概念，為引導(dǎo)讀者理解“隨機(jī)過(guò)程”，特別是Markov過(guò)程做了細(xì)致準(zhǔn)備。此外，本書(shū)還展示了“伊藤引理”的構(gòu)想原點(diǎn)，收錄了概率論發(fā)展的歷史過(guò)程。對(duì)于背景知識(shí)較為薄弱的讀者，作者則從各章的主要脈絡(luò)上，為其準(zhǔn)備了一條了解現(xiàn)代概率論輪廓的輕快之路。
本書(shū)適合相關(guān)專業(yè)的本科生、研究生和教師閱讀學(xué)習(xí)，也適合作為數(shù)學(xué)、物理、金融等領(lǐng)域的研究者的參考資料。
沃爾夫獎(jiǎng)、高斯獎(jiǎng)得主，現(xiàn)代隨機(jī)分析之父、日本數(shù)學(xué)大家-伊藤清之作
現(xiàn)代概率論的名著
伊藤清先生是現(xiàn)代概率論研究的開(kāi)拓者之一，伊藤積分、伊藤公式已經(jīng)成為隨機(jī)分析的根基，伊藤之名也廣為人知。2006年，他獲得了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）的首屆高斯獎(jiǎng)。此外，他還獲得了沃爾夫獎(jiǎng)、日本文化勛章、京都獎(jiǎng)等多項(xiàng)榮譽(yù)。
——日本數(shù)學(xué)會(huì)
“伊藤引理”大概是目前世界上應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)成果。這一成果，其重要性好比微積分基本定理之于古典分析，是隨機(jī)分析中必不可少之物。
——美國(guó)國(guó)家科學(xué)院
伊藤清
1915—2008，日本數(shù)學(xué)家，日本學(xué)士院院士，日本京都大學(xué)教授。隨機(jī)分析的創(chuàng)始人之一，日本概率論研究的奠基者。曾任京都大學(xué)數(shù)理分析研究所所長(zhǎng)，日本數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)。他因在概率論方面的奠基性工作而獲1987年的沃爾夫獎(jiǎng)，并于1998年獲得京都獎(jiǎng)，2006年獲得首屆高斯獎(jiǎng)。伊藤清的工作集中于概率論，特別是隨機(jī)分析領(lǐng)域，他被譽(yù)為“現(xiàn)代隨機(jī)分析之父”，因他命名的理論有伊藤引理、伊藤積分、伊藤過(guò)程等。他的研究不僅推動(dòng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，還對(duì)物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。著有《概率論》《隨機(jī)過(guò)程》《我與概率論：伊藤清文集》等。
目錄
第 1章 概率論的基本概念 1
1 概率空間的定義 1
2 概率空間的實(shí)際意義 3
3 概率測(cè)度的簡(jiǎn)單性質(zhì) 5
4 事件，條件，推斷 10
5 隨機(jī)變量的定義 12
6 隨機(jī)變量的合成與隨機(jī)變量的函數(shù) 15
7 隨機(jī)變量序列的收斂性 16
8 條件概率、相依性與獨(dú)立性 21
9 均值 26
第 2章 實(shí)值隨機(jī)變量的概率分布 29
10 實(shí)值隨機(jī)變量的表現(xiàn) 29
11 R-概率測(cè)度的表現(xiàn) 32
12 R-概率測(cè)度之間的距離 33
13 R-概率測(cè)度集合的拓?fù)湫再|(zhì) 35
14 R-概率測(cè)度的數(shù)字特征 38
15 獨(dú)立隨機(jī)變量的和，R-概率測(cè)度的卷積 43
16 特征函數(shù) 46
17 R-概率測(cè)度及其特征函數(shù)的拓?fù)潢P(guān)系 50
第3章 概率空間的構(gòu)成 54
18 建立概率空間的必要性 54
19 擴(kuò)張定理(I) 55
20 擴(kuò)張定理(II) 57
21 Markov 鏈 59
第4章 大數(shù)定律 63
22 大數(shù)定律的數(shù)學(xué)表現(xiàn) 63
23 Bernoulli 大數(shù)定律 65
24 中心極限定理 66
25 強(qiáng)大數(shù)定律 69
26 無(wú)規(guī)則性的含義 73
27 無(wú)規(guī)則性的證明 76
28 統(tǒng)計(jì)分布 81
29 重對(duì)數(shù)律與遍歷定理 82
第5章 隨機(jī)變量序列 84
30 一般的問(wèn)題 84
31 條件概率分布 85
32 單純Markov 過(guò)程與轉(zhuǎn)移概率族 87
33 遍歷問(wèn)題的簡(jiǎn)單例子 89
34 遍歷定理 92
第6章 隨機(jī)過(guò)程 99
35 隨機(jī)過(guò)程的定義 99
36 Markov 過(guò)程 101
37 時(shí)空齊次的Markov 過(guò)程(I) 103
38 時(shí)空齊次的Markov 過(guò)程(II) 112
39 一般Markov 過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程 115
附錄1 符號(hào) 119
附錄2 參考文獻(xiàn) 121
附錄3 后記與評(píng)注 122
概要與背景 124
索引 144
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