將近50年前，一位美國批評家評論了李（Marius Sophus Lie，1842-1899年）在1888年發(fā)表的《變換群論》第一卷，用如下評述給他自己，同時也給我們奠定了基調(diào)。
　　可能其他任何一門學科都不會像數(shù)學那樣，在研習與不研習它的人面前呈現(xiàn)出如此截然不同的面貌。對于不研習它的人來說，它古老、莊重而完整，是一個枯燥、無可辯駁、毫不含混的理論體系。而另一方面，對于數(shù)學家來說，這門學科卻仿佛怒放的鮮花一般生機勃勃，它的分支隨處伸展，追隨著那些“可以獲致卻尚未獲得”的知識，充滿了新思想帶來的刺激；它的邏輯深受非確定性的困擾；它的分析過程如同約翰·班揚①的道路，一邊是沼澤，另一邊是深淵；它不計其數(shù)的旁枝一直延伸到蠻荒之地的邊緣。②
　　我們一旦超越了最基礎的層次，可能就會同意，與那些對數(shù)學僅僅懷有敬畏之心的人相比，那些研習數(shù)學的人描述的事件更為精彩。因此，我們將跟隨那些研習者，探索這條約翰·班揚之路，追溯數(shù)學的發(fā)展歷程。如果我們有時候沒有注意怒放的鮮花，那是因為我們需要全心全意地投入，以免失足落入深淵，或者在細枝末節(jié)的糾纏中誤入蠻荒之地，以致誤以為那就是數(shù)學本身或者是它的歷史。至于用玫瑰重新裝飾數(shù)學木乃伊的臉頰這些困難而又精細的工作，就留給文物研究者吧。
　　在后面的章節(jié)中，我們將根據(jù)兩個因素決定材料的選取。第一個因素是回應許多與我聯(lián)系的人（其中主要是大學生和學生導師）的要求，為他們提供一份數(shù)學發(fā)展歷史的綜合而廣泛的記述，著重援引那些在數(shù)學發(fā)展的過程中或多或少存留下來的主要概念和方法。第二個因素則是若干年來我與一些數(shù)學家的個人聯(lián)系——他們在純數(shù)學和應用數(shù)學分支都進行過創(chuàng)造性的工作。
　　他們想要的不是一部傳統(tǒng)意義上的數(shù)學史，而是一部記述在數(shù)學發(fā)展史上產(chǎn)生關鍵作用的時代的著作。本書將用很大一部分篇幅進行學術性探討，探尋為什么某些東西始終吸引著數(shù)學家、工程技術人員和科學工作者的興趣，而其他東西卻無人理會，或者被認為不再具有重要意義而遭到擯棄；與此同時，本書將盡可能回避過多的細節(jié)。許多計劃學習數(shù)學只到微積分為止的人，或者在某種情況下計劃學得更少一些的人，希望了解在17世紀思想界的杰出里程碑之后，有關數(shù)學一般發(fā)展的知識，作為他們的文化教育的一部分。而那些希望繼續(xù)學習數(shù)學、科學或工程學的人也希望能從專業(yè)層面上學習更廣泛的知識。他們還給出了兩個額外的原因，其中第二個對每位職業(yè)教師都特別有益。他們相信，如果大致了解一下現(xiàn)存數(shù)學循之演變而來的主要方向，他們就可以更加明智地決定從哪一個數(shù)學領域獲得持久的滿足一一如果有一個的話。
　　年輕一代在成長中已經(jīng)厭倦了聽人說教、指示他們應該如何思考和尊敬什么，他們提出這種要求的第二個原因很有自己的特色。這些年輕批評家對他們未來的教育者們很坦率；他們希望能夠對別人答應教導他們的領域進行簡單的個人探索——即使只是遠遠地眺望一下，以便抵擋那些誘騙他們上當?shù)摹岸�道販子”的甜言蜜語，讓那些趁學生們不熟悉行情，向他們隨意兜售手中物品的陰謀無法得逞。自從1873年以來，我們似乎走過了很長的路；那時候，學究式的英國數(shù)學歷史學家和不知疲倦的枯燥教科書制造者艾薩克·托德亨特（Isaac Todhunter，1820-1884年）提出了狂熱盲從支撐下的順從模式，作為知識分子應該遵從的準則：