本書是為培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才,針對高中生編寫的微積分的教材.本書在總體框架和結(jié)構(gòu)上,定位在高中與大學(xué)銜接階段;在概念引入、方法應(yīng)用及例題上,盡量貼近高中生需求,通過引入實際例子來介紹其來源及背景,使學(xué)生能夠逐步掌握數(shù)學(xué)證明的思想與方法.書中的例題與習(xí)題都經(jīng)過精心挑選,其中大部分選自高考試題及強(qiáng)基計劃筆試題目,且題型新穎、覆蓋面廣.本書力圖體現(xiàn)微積分完整的體系,又符合易學(xué)、易懂、簡潔、精煉的原則;共5章,內(nèi)容包含函數(shù)、極限、一元微分學(xué)、一元積分學(xué)、微積分在高中的應(yīng)用等.
尹遜波,哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授,主講的中國大學(xué)MOOC《微積分》為國家精品在線開放課程,2020年被評為黑龍江省教學(xué)名師。
第1章 函數(shù)1
1.1 函數(shù)的概念1
1.1.1 實數(shù)與數(shù)集2
1.1.2 區(qū)間2
1.1.3 鄰域與去心鄰域2
1.1.4 有界集3
1.1.5 函數(shù)3
1.2 隱函數(shù)與反函數(shù)5
1.2.1 隱函數(shù)5
1.2.2 反函數(shù)5
1.2.3 反三角函數(shù)6
1.3 參數(shù)方程與極坐標(biāo)9
1.3.1 參數(shù)方程表示的函數(shù)9
1.3.2 極坐標(biāo)10
1.3.3 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系11
1.3.4 極坐標(biāo)中常見的曲線12
1.4 初等函數(shù)14
1.4.1 基本初等函數(shù)14
1.4.2 復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)17
第2章 極限20
2.1 數(shù)列的極限20
2.1.1 數(shù)列與極限的定義21
2.1.2 極限的運(yùn)算23
2.2 連續(xù)函數(shù)與函數(shù)的極限26
2.2.1 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的定義26
2.2.2 函數(shù)的單側(cè)極限28
2.3 極限的嚴(yán)格定義30
2.3.1 數(shù)列極限的嚴(yán)格定義30
2.3.2 一般函數(shù)極限的嚴(yán)格定義31
2.3.3 極限的性質(zhì)33
2.4 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)34
2.4.1 連續(xù)函數(shù)的嚴(yán)格定義34
2.4.2 閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)35
2.5 自然指數(shù)e 38
2.5.1 銀行復(fù)利的問題38
2.5.2。宓膽(yīng)用40
2.6 漸近線42
第3章 一元微分學(xué)47
3.1 導(dǎo)數(shù)的概念47
3.1.1 導(dǎo)數(shù)的例子47
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義49
3.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式與四則運(yùn)算求導(dǎo)法則53
3.3 其他求導(dǎo)法則57
3.3.1 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則57
3.3.2 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則60
3.4 高階導(dǎo)數(shù)67
3.5 微分72
3.6 洛必達(dá)法則74
3.6.1。埃昂汀蕖扌臀炊ㄊ剑罚
3.6.2 其他型未定式75
3.7 極值的判定和最值性78
3.8 函數(shù)的凸向和作圖83
3.8.1 凸函數(shù)、曲線的凸向及拐點83
3.8.2 函數(shù)的分析作圖法84
3.9 泰勒公式87
第4章 一元積分學(xué)91
4.1 積分的概念與性質(zhì)91
4.1.1 定積分的概念91
4.1.2 定積分的簡單性質(zhì)93
4.2 微積分基本定理95
4.2.1 微積分基本定理第一部分95
4.2.2 微積分基本定理第二部分97
第5章 微積分在高中的應(yīng)用102
5.1 微積分的論證方法102
5.1.1 分析法102
5.1.2 綜合法104
5.1.3 構(gòu)造法105
5.1.4 舉反例法106
5.1.5 計算法107
5.1.6 反證法108
5.1.7 數(shù)學(xué)歸納法109
5.2 微積分在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用110
5.2.1 極坐標(biāo)及反三角函數(shù)的應(yīng)用110
5.2.2 極限及泰勒公式的應(yīng)用111
參考答案126
參考文獻(xiàn)136