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數(shù)學(xué)之美 第三版 八年前,“數(shù)學(xué)之美”系列文章原刊載于谷歌黑板報,獲得上百萬次點擊,得到讀者高度評價。讀者說,讀了“數(shù)學(xué)之美”,才發(fā)現(xiàn)大學(xué)時學(xué)的數(shù)學(xué)知識,比如馬爾可夫鏈、矩陣計算,甚至余弦函數(shù)原來都如此親切,并且栩栩如生,才發(fā)現(xiàn)自然語言和信息處理這么有趣。 在紙本書的創(chuàng)作中,作者幾乎把所有文章都重寫了一遍,為的是把高深的數(shù)學(xué)原理講得更加通俗易懂,讓非專業(yè)讀者也能領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。讀者通過具體的例子學(xué)到的是思考問題的方式 —— 如何化繁為簡,如何用數(shù)學(xué)去解決工程問題,如何跳出固有思維不斷去思考創(chuàng)新。 本書第一版榮獲國家圖書館第八屆文津圖書獎。第二版增加了針對大數(shù)據(jù)和機(jī)器學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第三版增加了三章新內(nèi)容,分別介紹當(dāng)今非常熱門的三個主題:區(qū)塊鏈的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),量子通信的原理,以及人工智能的數(shù)學(xué)極限。 適讀人群 :IT行業(yè)從業(yè)人員,對計算機(jī)算法感興趣的學(xué)生,有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的非IT人員 這是一本備受推崇的經(jīng)典科普作品,被眾多機(jī)構(gòu)推薦為數(shù)學(xué)學(xué)科的敲門磚,是信息領(lǐng)域大學(xué)生的必讀好書。 數(shù)學(xué)既是對于自然界事實的總結(jié)和歸納,又是抽象思考的結(jié)果。在《數(shù)學(xué)之美》里,吳軍博士集中闡述了他對數(shù)學(xué)和信息處理這些專業(yè)學(xué)科的理解,把數(shù)學(xué)在IT領(lǐng)域,特別是語音識別、自然語言處理和信息搜索等方面的美麗之處予以了精彩表達(dá),這些都是智能時代的熱門技術(shù)話題。 本書還用了大量篇幅介紹各個領(lǐng)域的典故,是文科生也可以看懂的科普讀物。成為一個領(lǐng)域的大師有其偶然性,但更有其必然性。其必然性就是大師們的思維方法。通過本書,可以了解他們的平凡與卓越,理解他們?nèi)〉贸晒Φ脑,感受那些真正懂得?shù)學(xué)之美的人們所擁有的美好人生。 本書先后榮獲國家圖書館第八屆文津圖書獎、第五屆中華優(yōu)秀出版物獎圖書提名獎、入選“2014年向全國青少年推薦百種優(yōu)秀圖書書目”、第一版曾榮獲2012-2013年度全行業(yè)暢銷書,《數(shù)學(xué)之美》多次被推選為必讀書!稊(shù)學(xué)之美》給廣大讀者,尤其是在校讀大學(xué)甚至讀高中的年輕人帶去了美的數(shù)學(xué)啟示,作者更希望中國做工程的年輕人,能夠從《數(shù)學(xué)之美》中體會到在信息技術(shù)行業(yè)做事情的正確方法,以便在職業(yè)和生活上都獲得成功。 第三版增加了三章新內(nèi)容,分別介紹當(dāng)今非常熱門的三個主題:區(qū)塊鏈的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),量子通信的原理,以及人工智能的數(shù)學(xué)極限。 第三版前言 數(shù)學(xué)一詞在西方源于古希臘語μ?θημα,意思是通過學(xué)習(xí)獲得的知識。從這個角度來說,早期的數(shù)學(xué)涵蓋的范圍比我們今天講的數(shù)學(xué)要廣得多,和人類的生活也更接近一些。 早期的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不如今天神秘,它是非常真實的。與任何事物一樣,數(shù)學(xué)也在不斷地演化,而這個發(fā)展過程使得數(shù)學(xué)變得高深起來。數(shù)學(xué)演化的過程,實際上是將我們生活中遇到的具體事物及其運(yùn)動的規(guī)律不斷抽象化的過程。經(jīng)過幾千年的抽象化,大家頭腦里能想象的數(shù)學(xué)只剩下數(shù)字、符號、公式和定理了。這些東西和我們的生活似乎漸行漸遠(yuǎn),甚至在表面上毫不相關(guān)了。今天,除了初等數(shù)學(xué),大家一般對數(shù)學(xué),尤其是純粹數(shù)學(xué)(Pure Mathematics)的用途甚至產(chǎn)生了懷疑。很多大學(xué)生畢業(yè)后,在大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)可能一輩子都沒有機(jī)會應(yīng)用,幾年后就忘得差不多了。這樣,很多人也就產(chǎn)生了為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的疑問。更加不幸的是,數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生連就業(yè)也頗為困難,在中國和美國都是如此。在很多國人眼里,數(shù)學(xué)家都像陳景潤那樣戴著厚厚的鏡片、言行舉止多少有些木訥。因此,在一般人看來,無論是這些抽象的數(shù)字、符號、公式和定理,還是研究它們的數(shù)學(xué)家,似乎都和美沒有什么聯(lián)系。 然而,事實上數(shù)學(xué)的用途遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎人們的想象,甚至可以說在我們的生活中無處不在。且不說那些和我們生活聯(lián)系相對較少的領(lǐng)域,比如原子能和航天,都需要用到大量的數(shù)學(xué)知識。就說我們天天用的產(chǎn)品和技術(shù),背后都有支持它們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。作為一名工作了20多年的科學(xué)工作者,我在工作中經(jīng)常驚嘆數(shù)學(xué)語言應(yīng)用于解決實際問題時的魔力。因此,我也很希望把這種神奇講給大家聽。 在古代,最重要的知識,除了對世界的認(rèn)識和了解,就是人與人之間的互通和交流了,我們把它稱為廣義上的通信。本書的內(nèi)容也將從這里開始。為了展示數(shù)學(xué)的美妙之處,我之所以選擇了以通信這個領(lǐng)域為切入點,一來是因為數(shù)學(xué)在通信中應(yīng)用非常普遍,二來通信和我們的生活息息相連。從工業(yè)社會起,通信就占據(jù)了人們生活的大量時間。當(dāng)人類進(jìn)入電的時代后,通信的擴(kuò)展不僅拉近了人與人的距離,而且成為帶動世界經(jīng)濟(jì)增長的火車頭。如今,通信及其相關(guān)產(chǎn)業(yè)可能占到世界GDP很大的一部分。今天城市里的人們花時間最多的,無非是在電視機(jī)前、互聯(lián)網(wǎng)上、電話上(不論是固定電話還是手機(jī)),這些都是這樣或那樣的通信方式。甚至原本必須人到現(xiàn)場的很多活動,比如購物,也被建立在現(xiàn)代通信基礎(chǔ)之上的電子商務(wù)逐漸取代。而現(xiàn)代通信,追溯到100多年前的莫爾斯電報碼和貝爾的電話,再回到今天的電視、手機(jī)和互聯(lián)網(wǎng),都遵循著信息論的規(guī)律,而整個信息論的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)。如果往更遠(yuǎn)處看,我們?nèi)祟惖淖匀徽Z言和文字的起源背后都受著數(shù)學(xué)規(guī)律的支配。 “信”字作為“通信”一詞的50%,表明了信息的存儲、傳輸、處理和理解的重要性。今天每個人都要使用的搜索,以及我們都覺得很神奇的語音識別、機(jī)器翻譯和自然語言處理也被包括在其中。也許大家想不到,解決這些問題最好的工具就是數(shù)學(xué)。人們不僅能夠十分清晰地用一些通用的數(shù)學(xué)模型來描述這些領(lǐng)域里看似不同的實際問題,而且能給出非常漂亮的解決辦法。每當(dāng)人們應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決了一個個和信息處理相關(guān)的問題時,總會感嘆數(shù)學(xué)之美。雖然人類的語言有成百上千種,但處理它們的數(shù)學(xué)模型卻是相同或相似的,這種一致性也是數(shù)學(xué)之美的表現(xiàn)。在這本書中,我們將介紹一些數(shù)學(xué)工具,看看人們是如何利用這些數(shù)學(xué)工具來處理信息,開發(fā)出生活中每天都會用到的產(chǎn)品。 數(shù)學(xué)總是會給人一種深奧和復(fù)雜的感覺,但它的本質(zhì)卻常常是簡單而直接的。英國哲學(xué)家弗朗西斯?培根在《論美德》這篇文章中講:“美德就如同華貴的寶石,在樸素的襯托下最顯華麗!保╒irtue is like a rich stone, best plain set.)數(shù)學(xué)的美妙,也恰恰在于一個好的方法,通常是最簡單明了的方法。因此,我會將“簡單即是美”的思想貫穿全書。 相比第二版,這一版增加了三章新內(nèi)容,分別介紹當(dāng)今非常熱門的三個主題:區(qū)塊鏈的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),量子通信的原理,以及人工智能的數(shù)學(xué)極限。除此之外,與時俱進(jìn),對部分原有章節(jié)做了相應(yīng)的更正和必要的補(bǔ)充。 最后,要說明一下本書為何用了不少篇幅來介紹很多我所熟知的自然語言處理和通信領(lǐng)域的世界級專家。這些世界級專家,他們來自不同的國家或民族,不過都有著一個共同的特點,那就是他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都特別好,同時運(yùn)用數(shù)學(xué)解決了很多實際問題。通過介紹他們?nèi)粘5墓ぷ骱蜕,希望能讓讀者對真正的世界級學(xué)者有更多的了解和理解。了解他們的平凡與卓越,理解他們?nèi)〉贸晒Φ脑,感受那些真正懂得?shù)學(xué)之美的人們所擁有的美好人生。 吳軍 2020年3月于硅谷 吳軍,學(xué)者,投資人,人工智能、語音識別和互聯(lián)網(wǎng)搜索專家。畢業(yè)于清華大學(xué)和美國約翰·霍普金斯大學(xué),現(xiàn)任豐元資本創(chuàng)始合伙人、上海交通大學(xué)客座教授、約翰·霍普金斯大學(xué)工學(xué)院董事等職。 吳軍博士曾作為資深研究員和副總裁分別任職于Google公司和騰訊公司。在Google公司,他和同事一同開創(chuàng)了搜索反作弊研究領(lǐng)域,成立了中、日、韓文產(chǎn)品部門,設(shè)計了Google中、日、韓文搜索算法,領(lǐng)導(dǎo)了Google自然語言處理和自動問答等研究型項目,擁有近20項美國發(fā)明專利。在騰訊公司,他負(fù)責(zé)了搜索、搜索廣告和街景地圖等項目。作為風(fēng)險投資人,他成功地投資了150家硅谷和中國的高科技企業(yè)。吳軍博士對科技產(chǎn)業(yè)有深入的研究,是當(dāng)今硅谷地區(qū)解讀IT產(chǎn)業(yè)的專家。 吳軍博士著有《數(shù)學(xué)之美》《大學(xué)之路》《文明之光》《智能時代》《見識》《態(tài)度》和《全球科技通史》等多部暢銷書,并多次獲得包括文津獎、中國好書獎、中華優(yōu)秀出版物在內(nèi)的圖書大獎。 I 第二版序言 III 第一版序言 VI 第三版前言 1 第1章 文字和語言 vs 數(shù)字和信息 文字和語言與數(shù)學(xué),從產(chǎn)生起原本就有相通性,雖然它們的發(fā)展一度分道揚(yáng)鑣,但是最終還是能走到一起。 1 信息 2 文字和數(shù)字 3 文字和語言背后的數(shù)學(xué)
15 第2章 自然語言處理——從規(guī)則到統(tǒng)計 人類對機(jī)器理解自然語言的認(rèn)識走了一條大彎路。早期的研究集中采用基于規(guī)則的方法,雖然解決了一些簡單的問題,但是無法從根本上將自然語言理解實用化。直到20多年后,人們開始嘗試用基于統(tǒng)計的方法進(jìn)行自然語言處理,才有了突破性進(jìn)展和實用的產(chǎn)品。 1 機(jī)器智能 2 從規(guī)則到統(tǒng)計
27 第3章 統(tǒng)計語言模型 統(tǒng)計語言模型是自然語言處理的基礎(chǔ),并且被廣泛應(yīng)用于機(jī)器翻譯、語音識別、印刷體,或手寫體識別、拼寫糾錯、漢字輸入和文獻(xiàn)查詢。 1 用數(shù)學(xué)的方法描述語言規(guī)律 2 延伸閱讀:統(tǒng)計語言模型的工程訣竅
41 第4章 談?wù)劮衷~ 中文分詞是中文信息處理的基礎(chǔ),它同樣走過了一段彎路,目前依靠統(tǒng)計語言模型已經(jīng)基本解決了這個問題。 1 中文分詞方法的演變 2 延伸閱讀:如何衡量分詞的結(jié)果
50 第5章 隱馬爾可夫模型 隱馬爾可夫模型最初應(yīng)用于通信領(lǐng)域,繼而推廣到語音和語言處理中,成為連接自然語言處理和通信的橋梁。同時,隱馬爾可夫模型也是機(jī)器學(xué)習(xí)的主要工具之一。 1 通信模型 2 隱馬爾可夫模型 3 延伸閱讀:隱馬爾可夫模型的訓(xùn)練
60 第6章 信息的度量和作用 信息是可以量化度量的。信息熵不僅是對信息的量化度量,也是整個信息論的基礎(chǔ)。它對于通信、數(shù)據(jù)壓縮、自然語言處理都有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。 1 信息熵 2 信息的作用 3 互信息 4 延伸閱讀:相對熵
72 第7章 賈里尼克和現(xiàn)代語言處理 作為現(xiàn)代自然語言處理的奠基者,賈里尼克教授成功地將數(shù)學(xué)原理應(yīng)用于自然語言處理領(lǐng)域中,他的一生富于傳奇色彩。 1 早年生活 2 從水門事件到莫妮卡·萊溫斯基 3 一位老人的奇跡
82 第8章 簡單之美——布爾代數(shù)和搜索引擎 布爾代數(shù)雖然非常簡單,卻是計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ),它不僅把邏輯和數(shù)學(xué)合二為一,而且給了我們一個全新的視角看待世界,開創(chuàng)了數(shù)字化時代。 1 布爾代數(shù) 2 索引
89 第9章 圖論和網(wǎng)絡(luò)爬蟲 互聯(lián)網(wǎng)搜索引擎在建立索引前需要用一個程序自動地將所有的網(wǎng)頁下載到服務(wù)器上,這個程序稱為網(wǎng)絡(luò)爬蟲,它的編寫是基于離散數(shù)學(xué)中圖論的原理。 1 圖論 2 網(wǎng)絡(luò)爬蟲 3 延伸閱讀:圖論的兩點補(bǔ)充說明
98 第10章 PageRank——Google的民主表決式網(wǎng)頁排名技術(shù) 網(wǎng)頁排名技術(shù)PageRank是早期Google的殺手锏,它的出現(xiàn)使得網(wǎng)頁搜索的質(zhì)量上了一個大的臺階。它背后的原理是圖論和線性代數(shù)的矩陣運(yùn)算。 1 PageRank算法的原理 2 延伸閱讀:PageRank的計算方法
104 第11章 如何確定網(wǎng)頁和查詢的相關(guān)性 確定網(wǎng)頁和查詢的相關(guān)性是網(wǎng)頁搜索的根本問題,其中確定查詢中每個關(guān)鍵詞的重要性有多高是關(guān)鍵。TF-IDF是目前通用的關(guān)鍵詞重要性的度量,其背后的原理是信息論。 1 搜索關(guān)鍵詞權(quán)重的科學(xué)度量TF-IDF 2 延伸閱讀:TF-IDF 的信息論依據(jù)
111 第12章 有限狀態(tài)機(jī)和動態(tài)規(guī)劃——地圖與本地搜索的核心技術(shù) 地圖與本地搜索中要用到有限狀態(tài)機(jī)和動態(tài)規(guī)劃技術(shù)。這兩項技術(shù)是機(jī)器智能和機(jī)器學(xué)習(xí)的工具,它們的應(yīng)用非常廣泛,還包括語音識別、拼寫和語法糾錯、拼音輸入法、工業(yè)控制和生物的序列分析等。 1 地址分析和有限狀態(tài)機(jī) 2 全球?qū)Ш胶蛣討B(tài)規(guī)劃 3 延伸閱讀:有限狀態(tài)傳感器
121 第13章 Google AK-47的設(shè)計者——阿米特·辛格博士 在所有輕武器中最有名的是AK-47沖鋒槍,因為它從不卡殼,不易損壞,可在任何環(huán)境下使用,可靠性好,殺傷力大并且操作簡單。Google的產(chǎn)品就是按照上述原則設(shè)計的。
127 第14章 余弦定理和新聞的分類 計算機(jī)雖然讀不懂新聞,卻可以準(zhǔn)確地對新聞進(jìn)行分類。其數(shù)學(xué)工具是看似毫不相干的余弦定理。 1 新聞的特征向量 2 向量距離的度量 3 延伸閱讀:計算向量余弦的技巧
136 第15章 矩陣運(yùn)算和文本處理中的兩個分類問題 無論是詞匯的聚類還是文本的分類,都可以通過線性代數(shù)中矩陣的奇異值分解來進(jìn)行。這樣一來,自然語言處理的問題就變成了一個數(shù)學(xué)問題。 1 文本和詞匯的矩陣 2 延伸閱讀:奇異值分解的方法和應(yīng)用場景
142 第16章 信息指紋及其應(yīng)用 世間萬物都有一個唯一標(biāo)識的特征,信息也是如此。每一條信息都有它特定的指紋,通過這個指紋可以區(qū)別不同的信息。 1 信息指紋 2 信息指紋的用途 3 延伸閱讀:信息指紋的重復(fù)性和相似哈希
153 第17章 由電視劇《暗算》所想到的——談?wù)劽艽a學(xué)的數(shù)學(xué)原理 密碼學(xué)的根本是信息論和數(shù)學(xué)。沒有信息論指導(dǎo)的密碼是非常容易被破解的。只有在信息論被廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)后,密碼才真正變得安全。 1 密碼學(xué)的自發(fā)時代 2 信息論時代的密碼學(xué)
162 第18章 閃光的不一定是金子——談?wù)勊阉饕娣醋鞅讍栴}和搜索結(jié)果的權(quán)威性問題 閃光的不一定是金子,搜索引擎中排名靠前的網(wǎng)頁也未必是有用的網(wǎng)頁。消除這些作弊網(wǎng)頁的原理和通信中過濾噪聲的原理相同。這說明信息處理和通信的很多原理是相通的。 1 搜索引擎的反作弊 2 搜索結(jié)果的權(quán)威性
171 第19章 談?wù)剶?shù)學(xué)模型的重要性 正確的數(shù)學(xué)模型在科學(xué)和工程中至關(guān)重要,而發(fā)現(xiàn)正確模型的途徑常常是曲折的。正確的模型在形式上通常是簡單的。
179 第20章 不要把雞蛋放到一個籃子里——談?wù)勛畲箪啬P?/p> 最大熵模型是一個完美的數(shù)學(xué)模型。它可以將各種信息整合到一個統(tǒng)一的模型中,在信息處理和機(jī)器學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用。它在形式上非常簡單、優(yōu)美,而在實現(xiàn)時需要有精深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和高超的技巧。 1 最大熵原理和最大熵模型 2 延伸閱讀:最大熵模型的訓(xùn)練
186 第21章 拼音輸入法的數(shù)學(xué)原理 漢字的輸入過程本身就是人和計算機(jī)之間的通信。好的輸入法會自覺或不自覺地遵循通信的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然要做出最有效的輸入法,應(yīng)當(dāng)自覺使用信息論做指導(dǎo)。 1 輸入法與編碼 2 輸入一個漢字需要敲多少個鍵——談?wù)勏戕r(nóng)第一定理 3 拼音轉(zhuǎn)漢字的算法 4 延伸閱讀:個性化的語言模型
197 第22章 自然語言處理的教父馬庫斯和他的優(yōu)秀弟子們 將自然語言處理從基于規(guī)則的研究方法轉(zhuǎn)到基于統(tǒng)計的研究方法上,賓夕法尼亞大學(xué)的教授米奇·馬庫斯功不可沒。他創(chuàng)立了今天在學(xué)術(shù)界廣泛使用的LCD語料庫,同時培養(yǎng)了一大批精英人物。 1 教父馬庫斯 2 從賓夕法尼亞大學(xué)走出的精英們
204 第23章 布隆過濾器 日常生活中,經(jīng)常要判斷一個元素是否在一個集合中。布隆過濾器是計算機(jī)工程中解決這個問題最好的數(shù)學(xué) 工具。 1 布隆過濾器的原理 2 延伸閱讀:布隆過濾器的誤識別問題
209 第24章 馬爾可夫鏈的擴(kuò)展——貝葉斯網(wǎng)絡(luò) 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一個加權(quán)的有向圖,是馬爾可夫鏈的擴(kuò)展。而從認(rèn)識論的層面看:貝葉斯網(wǎng)絡(luò)克服了馬爾可夫鏈那種機(jī)械的線性約束,它可以把任何有關(guān)聯(lián)的事件統(tǒng)一到它的框架下面。它在生物統(tǒng)計、圖像處理、決策支持系統(tǒng)和博弈論中都有廣泛的使用。 1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò) 2 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在詞分類中的應(yīng)用 3 延伸閱讀:貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練
217 第25章 條件隨機(jī)場、文法分析及其他 條件隨機(jī)場是計算聯(lián)合概率分布的有效模型,而句子的文法分析似乎是英文課上英語老師教的東西,這兩者有什么聯(lián)系呢? 1 文法分析——計算機(jī)算法的演變 2 條件隨機(jī)場 3 條件隨機(jī)場在其他領(lǐng)域的應(yīng)用
227 第26章 維特比和他的維特比算法 維特比算法是現(xiàn)代數(shù)字通信中使用最頻繁的算法,也是很多自然語言處理采用的解碼算法?梢院敛豢鋸埖 講,維特比是對我們今天的生活影響力最大的科學(xué)家之一,因為基于CDMA的3G移動通信標(biāo)準(zhǔn)主要就是他和厄文·雅各布創(chuàng)辦的高通公司制定的。 1 維特比算法 2 CDMA技術(shù)——3G移動通信的基礎(chǔ)
238 第27章 上帝的算法——期望最大化算法 只要有一些訓(xùn)練數(shù)據(jù),再定義一個最大化函數(shù),采用EM算法,利用計算機(jī)經(jīng)過若干次迭代,就可以得到所需要的模型。這實在是太美妙了,這也許是造物主刻意安排的,所以我把它稱作上帝的算法。 1 文本的自收斂分類 2 延伸閱讀:期望最大化和收斂的必然性
244 第28章 邏輯回歸和搜索廣告 邏輯回歸模型是一種將影響概率的不同因素結(jié)合在一起的指數(shù)模型,它不僅在搜索廣告中起著重要的作用,而且被廣泛應(yīng)用于信息處理和生物統(tǒng)計中。 1 搜索廣告的發(fā)展 2 邏輯回歸模型
249 第29章 各個擊破算法和Google云計算的基礎(chǔ) Google頗為神秘的云計算中最重要的MapReduce工具,其原理就是計算機(jī)算法中常用的“各個擊破”算法,它的原理原來這么簡單——將復(fù)雜的大問題分解成很多小問題分別求解,然后再把小問題的解合并成原始問題的解。由此可見,在生活中大量用到的、真正有用的方法常常都是簡單樸實的。 1 分治算法的原理 2 從分治算法到MapReduce
254 第30章 Google大腦和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) Google大腦并不是一個什么都能思考的大腦,而是一個很能計算的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。因此,與其說Google大腦很聰明,不如說它很能算。不過,換個角度來說,隨著計算能力的不斷提高,計算量大但簡單的數(shù)學(xué)方法有時能夠解決很復(fù)雜的問題。 1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 2 訓(xùn)練人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系 4 延伸閱讀:Google大腦
274 第31章 區(qū)塊鏈的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——橢圓曲線加密原理 希爾伯特講,“我們直到能夠把一門自然科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)核剝出并完全地揭示出來,才能夠掌握它!币员忍貛艦榇淼募用茇泿诺幕A(chǔ)是數(shù)學(xué)的算法,只有搞清楚加密貨幣的數(shù)學(xué)內(nèi)核,我們才能了解它的本質(zhì)。 1 不對稱、不透明之美 2 橢圓曲線加密的原理
282 第32章 大數(shù)據(jù)的威力——談?wù)剶?shù)據(jù)的重要性 如果說在過去的40年里,主導(dǎo)全球IT產(chǎn)業(yè)發(fā)展的是摩爾定律,那么在今后的20年里,主導(dǎo)IT行業(yè)繼續(xù)發(fā)展的動力則將來自于數(shù)據(jù)。 1 數(shù)據(jù)的重要性 2 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和信息技術(shù) 3 為什么需要大數(shù)據(jù)
304 第33章 隨機(jī)性帶來的好處——量子密鑰分發(fā)的數(shù)學(xué)原理 人們總是喜歡確定性而不喜歡隨機(jī)性。但是從對確定性規(guī)律的把握上升到對隨機(jī)性規(guī)律的把握,恰恰是近代數(shù)學(xué)進(jìn)步的標(biāo)志。量子通信就是建立在把握了有關(guān)隨機(jī)性規(guī)律的基礎(chǔ)之上。 1 用(激光)量子的偏振方向傳遞信息 2 利用隨機(jī)性保證信息安全
312 第34章 數(shù)學(xué)的極限——希爾伯特第十問題和機(jī)器智能的極限 世界上只有一小部分問題是數(shù)學(xué)問題,而數(shù)學(xué)問題中又只有極小的一部分問題有解。在這些問題中,今天已經(jīng)找到相應(yīng)算法的少之又少。因此,數(shù)學(xué)不是萬能的,我們需要了解數(shù)學(xué)的邊界在哪里。 1 圖靈劃定計算機(jī)可計算問題的邊界 2 希爾伯特劃定有解數(shù)學(xué)問題的邊界 3 延伸閱讀:關(guān)于圖靈機(jī)
323 附錄 計算復(fù)雜度
327 第三版后記
333 索引
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