本書介紹了數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論和方法,包括一元(多元)函數(shù)極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論和多元函數(shù)微積分學(xué)等.全書共分三冊.本冊內(nèi)容包括不定積分、定積分、定積分應(yīng)用和反常積分、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)與Fourier級(jí)數(shù).書中列舉了大量例題來說明數(shù)學(xué)分析的定義、定理及方法,并提供了豐富的思考題和習(xí)題,便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué).每章都有小結(jié),對該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié),章末配有復(fù)習(xí)題,方便學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí).書中還配有23個(gè)關(guān)于主要概念和重要定理講解的小視頻,內(nèi)容呈現(xiàn)得更加生動(dòng)直觀.
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目錄
《數(shù)學(xué)分析立體化教材》序言
第二版說明
第一版前言
使用說明
第7章 不定積分 1
7.1 原函數(shù)與不定積分的概念 1
7.1.1 原函數(shù)和不定積分的定義 1
7.1.2 運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式 3
7.2 不定積分的計(jì)算 6
7.2.1 換元法求不定積分 6
7.2.2 分部法求不定積分 10
7.3 有理函數(shù)的不定積分 14
7.3.1 有理函數(shù)的部分分式分解 14
7.3.2 有理函數(shù)的不定積分 16
7.3.3 三角函數(shù)有理式的不定積分 19
7.3.4 某些無理根式的不定積分 21
小結(jié) 23
復(fù)習(xí)題 24
第8章 定積分 26
8.1 定積分的概念與性質(zhì) 26
8.1.1 引例與定義 26
8.1.2 定積分的性質(zhì) 31
8.2 微積分基本定理 35
8.2.1 變上限積分的定義與性質(zhì) 35
8.2.2 微積分基本定理 37
8.3 定積分的計(jì)算 39
8.3.1 換元法求定積分 39
8.3.2 分部法求定積分 41
8.4 定積分存在的條件 44
8.4.1 達(dá)布和的定義 44
8.4.2 上和與下和的性質(zhì) 45
8.4.3 可積的充要條件 48
8.4.4 可積函數(shù)類 53
8.5 積分中值定理 56
8.5.1 積分第一中值定理 56
8.5.2 積分第二中值定理 58
小結(jié) 61
復(fù)習(xí)題 62
第9章 定積分應(yīng)用和反常積分 65
9.1 定積分應(yīng)用的兩種常用格式 65
9.2 平面圖形的面積 67
9.2.1 直角坐標(biāo)情形 67
9.2.2 參數(shù)方程情形 68
9.2.3 極坐標(biāo)情形 69
9.3 由平行截面面積求體積 71
9.3.1 由平行截面面積計(jì)算體積 71
9.3.2 旋轉(zhuǎn)體體積 73
9.4 平面曲線的弧長 75
9.4.1 平面曲線弧長的概念 75
9.4.2 平面曲線弧長的計(jì)算 75
9.5 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 78
9.5.1 旋轉(zhuǎn)曲面面積的概念 78
9.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算 79
9.6 定積分在某些物理問題中的應(yīng)用 82
9.6.1 變力做功 82
9.6.2 壓力 83
9.6.3 力矩與重心 83
9.7 反常積分的概念與基本性質(zhì) 85
9.7.1 反常積分的概念與統(tǒng)一定義 85
9.7.2 反常積分的基本性質(zhì) 89
9.8 反常積分的斂散性 91
9.8.1 反常積分的 Cauchy 收斂準(zhǔn)則 91
9.8.2 反常積分的絕對收斂與條件收斂 92
9.8.3 反常積分的比較判別法 92
9.8.4 Dirichlet 判別法與 Abel 判別法 96
小結(jié) 99
復(fù)習(xí)題 101
第10章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 104
10.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 104
10.1.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 104
10.1.2 級(jí)數(shù)的 Cauchy 收斂準(zhǔn)則 106
10.1.3 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 107
10.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 110
10.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別法 111
10.2.2 根值法與比值法 116
10.2.3 其他判別法 118
10.3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 123
10.3.1 絕對收斂與條件收斂 123
10.3.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 123
10.3.3 Dirichlet判別法和Abel判別法 125
10.4 絕對收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 129
10.4.1 收斂級(jí)數(shù)的可結(jié)合性 130
10.4.2 收斂級(jí)數(shù)的重排 130
10.4.3 級(jí)數(shù)的乘積 132
小結(jié) 135
復(fù)習(xí)題 135
第11章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 138
11.1 函數(shù)列一致收斂的概念與判定 138
11.1.1 逐點(diǎn)收斂與一致收斂的概念 138
11.1.2 函數(shù)列一致收斂的判定 142
11.2 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì) 147
11.3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的概念及其判定 153
11.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的概念 153
11.3.2 一致收斂的判別法 156
11.4 和函數(shù)的分析性質(zhì) 161
11.5 處處不可微的連續(xù)函數(shù) 166
小結(jié) 167
復(fù)習(xí)題 169
第12章 冪級(jí)數(shù)與Fourier級(jí)數(shù) 171
12.1 冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù) 171
12.1.1 冪級(jí)數(shù)的定義和收斂域 171
12.1.2 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì) 176
12.1.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 181
12.2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 183
12.2.1 Taylor級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式 184
12.2.2 幾個(gè)常用的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 188
12.3 三角級(jí)數(shù)與Fourier級(jí)數(shù) 195
12.3.1 三角級(jí)數(shù)的概念 195
12.3.2 以2為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù) 197
12.3.3 以2l為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù) 199
12.3.4 任意區(qū)間[a; b]上的Fourier級(jí)數(shù) 202
12.4 Fourier級(jí)數(shù)的收斂性 205
12.4.1 Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法 205
12.4.2 Dirichlet積分 208
12.4.3 Riemann引理與Fourier級(jí)數(shù)收斂判別法的證明 210
12.4.4 Fourier級(jí)數(shù)的分析性質(zhì) 211
12.4.5 Fourier級(jí)數(shù)的平方平均收斂 215
小結(jié) 217
復(fù)習(xí)題 219
習(xí)題答案或提示 221
參考文獻(xiàn) 233
附錄 不定積分表 234
索引 238
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