目錄
《數(shù)學分析立體化教材》序言
第二版說明
第一版前言
使用說明
第13章 多元函數(shù)及其微分學 1
13.1 平面中的點集 1
13.1.1 二維Euclid空間 R2 1
13.1.2 平面中的點集 2
13.1.3 點和點集之間的關系 4
13.1.4 開集與閉集 6
13.2 R2的完備性 8
13.3 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性 12
13.3.1 二元函數(shù)和多元函數(shù)的概念 12
13.3.2 二元函數(shù)的重極限 14
13.3.3 二元函數(shù)的累次極限 18
13.3.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 21
13.3.5 二元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì) 26
13.4 多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分 29
13.4.1 偏導數(shù)的概念 29
13.4.2 全微分的概念 31
13.4.3 可微的幾何意義和充分條件 35
13.5 復合函數(shù)的微分法 42
13.5.1 復合函數(shù)的求導法則 42
13.5.2 高階偏導數(shù) 45
小結 51
復習題 51
第14章 多元函數(shù)微分法的應用 53
14.1 方向導數(shù) 53
14.1.1 方向導數(shù)的概念 53
14.1.2 方向導數(shù)的最大值和梯度 55
14.2 多元函數(shù)Taylor公式 58
14.3 多元函數(shù)的極值 62
14.3.1 多元函數(shù)極值的必要條件 62
14.3.2 多元函數(shù)極值的充分條件 63
14.3.3 多元函數(shù)的最值問題及其應用 66
14.4 隱函數(shù) 69
14.4.1 隱函數(shù)的概念及其幾何意義 69
14.4.2 隱函數(shù)存在性定理 71
14.4.3 隱函數(shù)的求導法 74
14.5 隱函數(shù)組 78
14.5.1 兩個曲面所交曲線的參數(shù)化 78
14.5.2 反函數(shù)組及坐標變換 81
14.5.3 隱函數(shù)組 84
14.6 幾何應用 87
14.6.1 空間曲線的切線和法平面 87
14.6.2 曲面的切平面和法線 91
14.7 條件極值 92
14.7.1 條件極值的概念及幾何意義 93
14.7.2 Lagrange乘數(shù)法 95
小結 103
復習題 104
第15章 含參變量積分 105
15.1 含參變量正常積分及其分析性質(zhì) 105
15.1.1 含參變量正常積分 105
15.1.2 含參變量正常積分的分析性質(zhì) 106
15.2 含參變量反常積分及一致收斂判別法 112
15.3 含參變量反常積分的分析性質(zhì) 121
15.4 含參變量反常積分的應用 129
15.4.1 Poisson型積分的計算 129
15.4.2 Dirichlet型積分的計算 131
15.4.3 Euler型的參變量積分——Gamma函數(shù) 132
15.4.4 Beta函數(shù) 135
15.4.5 Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)之間的關系 137
小結 139
復習題 140
第16章 重積分 142
16.1 二重積分的概念 142
16.1.1 平面圖形的面積 142
16.1.2 二重積分的定義 144
16.1.3 二重積分的存在性 146
16.1.4 可積函數(shù)類 147
16.1.5 二重積分的性質(zhì) 148
16.1.6 例題 149
16.2 直角坐標系下二重積分的計算 151
16.2.1 矩形區(qū)域上二重積分轉化為累次積分 151
16.2.2 一般區(qū)域上二重積分轉化為累次積分 155
16.3 二重積分的變量變換 161
16.3.1 二重積分的變量變換與面積微元 161
16.3.2 二重積分的變量變換公式 164
16.3.3 例題 165
16.3.4 在極坐標系中計算二重積分 167
16.4 三重積分 173
16.4.1 三重積分的概念 173
16.4.2 化三重積分為累次積分(穿針法與切片法) 174
16.4.3 三重積分的變量變換法 179
16.5 重積分的應用 184
16.5.1 曲面的面積 184
16.5.2 重心 187
16.5.3 萬有引力 188
小結 189
復習題 190
第17章 曲線積分和曲面積分 192
17.1 第一型曲線積分 192
17.1.1 第一型曲線積分的概念 192
17.1.2 第一型曲線積分的計算 194
17.2 第一型曲面積分 199
17.2.1 第一型曲面積分的概念 199
17.2.2 第一型曲面積分的計算 200
17.3 第二型曲線積分 204
17.3.1 第二型曲線積分的概念 204
17.3.2 第二型曲線積分的計算 206
17.3.3 兩類曲線積分之間的關系 210
17.4 第二型曲面積分 211
17.4.1 曲面的側的概念 211
17.4.2 第二型曲面積分的定義 212
17.4.3 第二型曲面積分的計算 214
17.4.4 第一型曲面積分與第二型曲面積分的關系 218
小結 220
復習題 220
第18章 各種積分之間的關系 223
18.1 Green公式 223
18.2 Gauss公式 228
18.3 Stokes公式 232
18.4 曲線積分與路徑無關性 236
18.4.1 平面曲線積分與路徑無關的條件 236
18.4.2 空間曲線積分與路徑無關的條件 239
18.5 場論 242
18.5.1 散度和旋度 242
18.5.2 Hamilton算子▽ 245
18.5.3 幾種常用的場 247
小結 248
復習題 249
部分習題答案或提示 251
參考文獻 264
索引 265