目錄
前言
第一章 函數(shù)與極限 1
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 1
一、考試要求 1
二、考點(diǎn)精講 2
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 2
一、函數(shù)及其性質(zhì) 2
二、數(shù)列極限及其性質(zhì) 11
三、函數(shù)極限及其性質(zhì) 18
四、無窮小量及無窮小的階 22
五、洛必達(dá)法則 27
六、泰勒公式 30
七、求極限的其他方法 32
八、連續(xù)和間斷 34
九、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 37
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 38
專題一 定積分定義和夾逼準(zhǔn)則求極限的技巧 38
專題二 單調(diào)有界原理求極限的技巧 41
專題三 求極限的綜合技巧 46
專題四 無窮小階及其反問題 51
專題五 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 53
第二章 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分 55
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 55
一、考試要求 55
二、考點(diǎn)精講 56
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 56
一、導(dǎo)數(shù)定義及左右導(dǎo)數(shù) 56
二、導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算 61
三、中值定理 74
四、單調(diào)性和凹凸性 79
五、漸近線和曲率、曲率半徑 (數(shù)學(xué)一、二) 86
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 88
專題一 導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算的技巧 88
專題二 單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)的綜合性題目 93
專題三 中值定理的解題技巧 96
專題四 不等式證明的技巧 (含積分不等式) 103
專題五 方程根的問題證明 103
第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 107
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 107
一、考試要求 107
二、考點(diǎn)精講 107
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 108
一、原函數(shù)和不定積分 108
二、定積分定義、性質(zhì)及應(yīng)用 125
三、變限積分及其導(dǎo)數(shù) 128
四、定積分的計(jì)算 131
五、廣義積分的斂散性 137
六、積分的幾何應(yīng)用 143
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 150
專題一 不定積分的技巧 150
專題二 定積分的技巧 153
專題三 變限積分的解題技巧 154
專題四 積分綜合題目的技巧 157
專題五 積分不等式證明的技巧 159
專題六 極坐標(biāo), 參數(shù)方程的幾何應(yīng)用 161
第四章 多元函數(shù)的微分學(xué) 165
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 165
一、考試要求 165
二、考點(diǎn)精講 166
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 166
一、多元函數(shù)的基本理論 166
二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 169
三、多元函數(shù)微分的基本理論與計(jì)算 173
四、多元函數(shù)的極值和最值 181
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 190
專題一 偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義 190
專題二 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的解題技巧 193
專題三 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的解題技巧 195
第五章 二元函數(shù)積分學(xué) 201
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 201
一、考試要求 201
二、考點(diǎn)精講 201
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 202
一、二重積分的概念和性質(zhì) 202
二、二重積分的計(jì)算 206
三、二重積分的應(yīng)用 (數(shù)學(xué)一、二) 217
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 219
專題一 二重積分的計(jì)算技巧 219
專題二 分塊區(qū)域上的二重積分 224
專題三 抽象函數(shù)的二重積分 228
專題四 二重積分的證明題和不等式證明技巧 229
專題五 積分區(qū)域用參數(shù)表示的二重積分 232
第六章 微分方程 233
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 233
一、考試要求 233
二、考點(diǎn)精講 233
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 234
一、一階線性微分方程 234
二、高階微分方程 242
三、差分方程 (數(shù)學(xué)三) 253
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 255
專題一 變限積分對(duì)應(yīng)的微分方程 255
專題二 偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程 257
專題三 含參數(shù)的二階線性非齊次微分方程 258
專題四 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)對(duì)應(yīng)的微分方程 259
專題五 微分方程的綜合題 260
專題六 微分方程的證明題 264
第七章 無窮級(jí)數(shù) (數(shù)學(xué)一、二) 267
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 267
一、考試要求 267
二、考點(diǎn)精講 267
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 268
一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 268
二、正項(xiàng)級(jí)數(shù) 270
三、交錯(cuò)級(jí)數(shù) 274
四、冪級(jí)數(shù)及其性質(zhì) 279
五、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 282
六、傅里葉級(jí)數(shù) 287
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 291
專題一 利用微分方程求和函數(shù) 291
專題二 利用泰勒公式求和函數(shù) 293
專題三 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的技巧 294
專題四 冪級(jí)數(shù)證明的技巧 296
第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何 (數(shù)學(xué)一) 299
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 299
一、考試要求 299
二、考點(diǎn)精講 299
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 300
一、向量的相關(guān)概念 300
二、向量的運(yùn)算 301
三、平面方程和直線方程 305
四、直線與平面之間的角度 307
五、點(diǎn)、線、面之間的距離 309
六、旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面 310
七、空間曲線 314
八、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用 316
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 319
專題一 直線與平面之間的關(guān)系 319
專題二 空間直線生成的曲面 320
第九章 三重積分 (數(shù)學(xué)一) 322
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 322
一、考試要求 322
二、考點(diǎn)精講 322
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 322
一、三重積分的定義和性質(zhì) 322
二、三重積分的計(jì)算 324
三、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)法 326
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 329
專題一 三重積分的綜合計(jì)算 329
專題二 三重積分的物理應(yīng)用 331
第十章 曲線積分與曲面積分 (數(shù)學(xué)一) 335
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 335
一、考試要求 335
二、考點(diǎn)精講 335
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 336
一、第一類曲線積分 336
二、第一類曲線積分的物理應(yīng)用 339
三、第二類曲線積分 341
四、格林公式和積分與路徑無關(guān) 344
五、第一類曲面積分 346
六、第二類曲面積分 349
七、空間中第二類曲線積分 353
八、場論初步 356
第三節(jié) 專題精講及解題技巧 359
專題一 格林公式解題技巧 359
專題二 積分與路徑無關(guān)的綜合題 361
專題三 高斯公式解題技巧 363
專題四 場論綜合題 364
第十一章 幾何應(yīng)用專題 366
一、簡單幾何應(yīng)用 366
二、微分方程在幾何中的應(yīng)用 375
三、級(jí)數(shù)在幾何中的應(yīng)用 380
第十二章 物理應(yīng)用專題 (數(shù)學(xué)一、二) 383
一、微元法的應(yīng)用 383
二、牛頓定律的應(yīng)用 388
三、綜合物理應(yīng)用 392
第十三章 經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用專題 (數(shù)學(xué)三) 397
一、經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)、邊際與彈性 397
二、函數(shù)極值的應(yīng)用 401
三、差分、積分與復(fù)利的應(yīng)用 409
附錄一 常用數(shù)學(xué)公式 412
一、常用初等代數(shù)公式 412
二、常用基本三角公式 413
三、常用求面積和體積的公式 415
附錄二 基本初等函數(shù)及其圖形 417
附錄三 幾種常用的曲線 420