本書由近百個“無字證明”組成。無字證明（Proofs Without Words）也叫作“無需語言的證明”，一般是指僅用圖像而無需語言解釋就能不證自明的數(shù)學結論。無字證明往往是指一個特定的圖片，有時也配有少量解釋說明。本書正是因為圖片豐富而趣味十足，所以取名為數(shù)學寫真集。
本書是數(shù)學愛好者的休閑讀物，也是中學生和大學生的課外參考書，還是數(shù)學教師的教學素材。
This work was originally published in English under the title, Proofs Without Words, III: Further Exercises in Visual Thinking.2015 held by the American Mathematical Society. All rights reserved. The present translation was created by China Machine Press under authority of the American Mathematical Society and is published by permission.
北京市版權局著作權登記 圖字：01-2016-8122號。
前言
一個無趣的證明可以用一個幾何類比作為一個補充，這樣定理的優(yōu)美性和正確性幾乎瞥一眼就能看得到�！R丁•加德納
在美國數(shù)學協(xié)會1993年出版《數(shù)學寫真集（第1季）—無需語言的證明》后的一年，威廉•德漢姆在他的《數(shù)學領域——一次按字母順序排列的偉大證明、問題及知名學者的數(shù)學之旅》一書中寫道：
數(shù)學家欣賞的證明是靈巧的，但是數(shù)學家特別欣賞的證明是既靈巧又經(jīng)濟的。這些證明僅需很少的論證，而即使是這些很少的論證也能夠直接指向問題的核心，并且一針見血地達到證明的目標。這樣的證明確實是優(yōu)美的。
數(shù)學的優(yōu)美不同于其他創(chuàng)意的活動。它和莫奈用很少且靈巧的繪畫技巧在帆布上描繪出法國的風景有些類似，也和用三行俳句詩去描繪出比其語言能夠達到的多得多的意境類似。優(yōu)美的極致是藝術而非數(shù)學性質(zhì)。
一種被數(shù)學家們叫作“無字證明”的東西就能實現(xiàn)極致的優(yōu)美。在“無字證明”中富有啟發(fā)意義的構圖立刻傳遞一種證明而不需要任何解釋，這種感覺讓人感到再優(yōu)美不過了。
自從上述書籍出版后，第二個合集《數(shù)學寫真集（第2季）—無需語言的證明》由美國數(shù)學協(xié)會于2000年出版，而本書是“無字證明”的第三本合集。我必須承認，這本書像前兩本一樣，必然是不完整的。它并沒有包含從第二本合集出版以來的所有的無字證明，也沒有包括前兩本寫真集中忽略的全部。作為美國數(shù)學協(xié)會期刊的讀者，我們深知，新的無字證明在紙媒上出現(xiàn)得很頻繁，而且現(xiàn)在還會在互聯(lián)網(wǎng)上以一種紙媒更優(yōu)越的形式出現(xiàn)，它可以動還可以與讀者交互。
我希望閱讀這本合集的讀者在發(fā)現(xiàn)或者重拾某些數(shù)學思想的直觀展示的過程中能享受到樂趣。我希望老師們能將書中的內(nèi)容與學生們分享，我希望每個人都能受到激勵和鼓舞，去創(chuàng)造新的無字證明。
致謝：在此我想表達我對貢獻無字證明這種數(shù)學文化的人們的感謝與感激，他們的名字在本書的第184～187頁。沒有他們，這本書是不可能存在的。感謝蘇珊•斯特普爾斯和她的課堂教學資源團隊細心地閱讀本書的初稿并提出了許多有益的建議。同時在本書出版過程中也必須感謝美國數(shù)學協(xié)會的出版人員卡羅爾•巴克斯特、貝弗利•魯埃迪和薩馬莎•韋伯的鼓勵、建議以及努力的工作。
羅杰B.尼爾森（Roger B.Nelsen）
路易克拉克大學
俄勒岡州波特蘭
原書作者注：1.為了形成一個統(tǒng)一的外觀，書中所有圖形重新描繪過。在一些例子中標題改變了，并且為了更清楚，增加（減少）了一些陰影和符號。在這一過程中的任何錯誤都是我的責任。
2.我們用不同的羅馬數(shù)字區(qū)分同一個定理不同的無字證明，而且這種編號次序從《數(shù)學寫真集（第1季）—無需語言的證明》和《數(shù)學寫真集（第2季）—無需語言的證明》一直沿用。比如，畢達哥拉斯定理在第1季中有6個，在第2季中還有幾個，這個定理在本書中從畢達哥拉斯定理開始編號。
3.有些無字證明是以數(shù)學競賽，比如普特南數(shù)學競賽、哈薩克斯坦國家數(shù)學競賽中的問題與解的形式給出的。但是，具體用這種解法能得多少分我們不能確定。因為，在數(shù)學競賽中，比方說普特南數(shù)學競賽中，要求選手將證明的每個必要步驟都說清楚才能獲得滿分。
目錄
前言
幾何與代數(shù)1
畢達哥拉斯定理ⅩⅢ3
畢達哥拉斯定理ⅩⅣ4
畢達哥拉斯定理ⅩⅤ5
畢達哥拉斯定理ⅩⅥ6
畢達哥拉斯定理的帕普斯推廣7
畢達哥拉斯定理的倒數(shù)形式8
一個類似于畢達哥拉斯定理的定理9
四個類似于畢達哥拉斯定理的定理10
直角梯形的畢達哥拉斯定理14
缺角矩形的畢達哥拉斯定理15
海倫公式16
每個三角形有無窮多個內(nèi)接等邊三角形17
每個三角形可以被分割成6個等腰三角形18
更多的等腰分割19
維維安尼定理Ⅱ20
維維安尼定理Ⅲ21
托勒密定理Ⅰ22
托勒密定理Ⅱ23
平行四邊形分割中的相等面積24
內(nèi)部正方形的面積25
平行四邊形定律26
借助平行四邊形定律得到三角形中線長公式27
兩個正方形和兩個三角形28
等邊三角形內(nèi)切圓半徑29
通過三角形內(nèi)心的直線30
三角形的面積和外接圓的半徑31
外圍三角形之外32
和為45°的角33
三等分線段Ⅱ34
面積和恒定的兩個正方形35
面積和恒定的四個正方形36
圓里和半圓里的正方形38
圣誕樹問題39
“鞋匠之刀”的面積40
“鹽窖”的面積41
直角三角形的面積42
正十二邊形的面積Ⅱ43
四個月牙形的面積之和等于一個正方形的面積44
月牙形和正六邊形45
三棱錐的體積46
代數(shù)式的面積Ⅳ47
合比與分比——一個關于比例的定理48
配成完全平方Ⅱ49
坎迪多恒等式50
三角、微積分與解析幾何51
兩角和或差的正弦（通過正弦定理證明）53
兩角差的余弦Ⅰ54
兩角和的正弦Ⅳ以及兩角差的余弦Ⅱ55
二倍角公式Ⅳ56
歐拉正切半角公式57
三倍角的正弦、余弦公式Ⅰ58
三倍角的正弦、余弦公式Ⅱ59
15°角和75°角的三角函數(shù)60
18°角及其整倍數(shù)的三角函數(shù)61
莫爾韋德等式Ⅱ62
一般三角形中的牛頓公式63
三角形的一個正弦恒等式64
正余函數(shù)之和65
正切定理Ⅰ66
正切定理Ⅱ67
想找x+y=xy的一組解？68
secx+tanx的一個恒等式69
正切乘積的和70
三個正切的和與積71
正切的乘積72
反正切的和Ⅱ73
一個圖形，五個反正切恒等式74
赫頓和斯特拉尼斯基公式75
一個反正切恒等式76
歐拉反正切恒等式77
函數(shù)acost+bsint的極值78
最小面積問題79
正弦的導數(shù)80
正切的導數(shù)81
一個極限的幾何求值Ⅱ82
一個數(shù)及其倒數(shù)的對數(shù)83
單位雙曲線圍出的等面積區(qū)域84
魏爾斯特拉斯替換法Ⅱ85
看，無需換元！86
自然對數(shù)的積分87
cos2θ和sec2θ的積分88
一個部分分式分解89
積分變換90
不等式91
算術平均-幾何平均不等式Ⅶ93
算術平均-幾何平均不等式Ⅷ（通過三角函數(shù)證明）94
算術平均-平方平均不等式95
柯西-施瓦茨不等式Ⅱ（用帕普斯定理*）96
柯西-施瓦茨不等式Ⅲ97
柯西-施瓦茨不等式Ⅳ98
柯西-施瓦茨不等式Ⅴ99
關于直角三角形各種半徑的不等式100
托勒密不等式101
代數(shù)不等式Ⅰ102
代數(shù)不等式Ⅱ103
正弦在［0，π］上的次可加性104
正切在［0，π/2）上的超可加性105
和為1的兩個數(shù)的不等式106
帕多阿不等式107
與e有關的斯坦納問題108
辛普森悖論109
馬爾可夫不等式110
整數(shù)與整數(shù)求和111
奇數(shù)和Ⅳ113
奇數(shù)和Ⅴ114
奇數(shù)的交錯和115
平方和Ⅹ116
平方和Ⅺ117
連續(xù)平方數(shù)的交錯和118
奇數(shù)平方的交錯和119
阿基米德平方和公式120
通過數(shù)三角形計算平方和121
平方數(shù)模3122
二階階乘的和123
把立方數(shù)表示為二重求和124
把立方數(shù)表示為等差數(shù)列的和125
立方和Ⅷ126
連續(xù)立方數(shù)的差模6余1127
斐波那契恒等式Ⅱ128
斐波那契地磚129
斐波那契梯形130
斐波那契三角形和梯形131
斐波那契數(shù)的平方與立方132
每個八邊形數(shù)是兩個平方數(shù)的差133
2的冪134
4的冪的和135
通過自相似證明n的連續(xù)冪的和136
每個大于1的四次冪都等于兩個不連續(xù)三角形數(shù)的和137
三角形數(shù)的和Ⅴ138
三角形數(shù)的交錯和Ⅱ139
一串又一串的三角形數(shù)140
每第三個三角形數(shù)的和141
隔項奇數(shù)和與三角形數(shù)的和142
三角形數(shù)是二項式系數(shù)143
關于三角形數(shù)的容斥公式144
分拆三角形數(shù)145
三角形數(shù)恒等式Ⅱ146
三角形數(shù)的一個和式147
帶權重的三角形數(shù)的和148
中心三角形數(shù)149
雅各布斯塔爾數(shù)150
無窮級數(shù)及其他議題151
幾何級數(shù)V153
幾何級數(shù)Ⅵ154
幾何級數(shù)Ⅶ（通過直角三角形證明）155
幾何級數(shù)Ⅷ156
幾何級數(shù)Ⅸ157
幾何級數(shù)的導數(shù)Ⅱ158
幾何裂項159
交錯級數(shù)Ⅱ160
交錯級數(shù)Ⅲ161
交錯級數(shù)審斂法162
交錯調(diào)和級數(shù)Ⅱ163
伽利略比值Ⅱ164
把箏形裁成扇形165
非負整數(shù)解與三角形數(shù)166
分割蛋糕167
可重復的無序選擇的數(shù)目168
一道普特南數(shù)學競賽題的無字證明169
畢達哥拉斯三元組170
畢達哥拉斯四元組171
2的無理性172
Z×Z是可數(shù)集173
前n個整數(shù)的圖論式求和174
二項式系數(shù)的圖論式分解175
（0，1）和［0，1］有相同的勢176
不動點定理177
在空間中，四種顏色是不夠的178
文獻索引179
英文人名索引184
中文人名索引186
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