目錄
第1章 緒論 1
1.1 Lie代數(shù)及Lie超代數(shù)簡介 1
1.2 可積系統(tǒng)及其擴展 4
1.3 自相容源和守恒律 8
1.4 孤子方程的求解 10
1.5 數(shù)學(xué)機械化、符號計算及其在可積系統(tǒng)中應(yīng)用 11
第2章 孤子族的非線性可積耦合 14
2.1 耦合mKdV方程族的可積耦合 15
2.1.1 二次型恒等式 15
2.1.2 耦合mKdV方程族 17
2.1.3 耦合mKdV方程族可積耦合 20
2.1.4 可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu) 25
2.2 Guo族的非線性可積耦合 27
2.2.1 非線性可積耦合的概念 27
2.2.2 Guo族及其非線性可積耦合 29
2.2.3 非線性可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu) 33
2.3 Lie代數(shù)構(gòu)造非線性可積耦合 36
2.3.1 一個新的Lie代數(shù) 36
2.3.2 應(yīng)用 38
2.3.3 可積耦合的Hamilton 結(jié)構(gòu) 41
2.4 Broer-Kaup-Kupershmidt 族的非線性雙可積耦合 46
2.4.1 矩陣Lie代數(shù)和非線性雙可積耦合 46
2.4.2 Broer-Kaup-Kupershmidt 族 48
2.4.3 Broer-Kaup-Kupershmidt 族的非線性雙可積耦合 50
2.4.4 Hamilton結(jié)構(gòu) 53
2.5 超Kaup-Newell族的非線性可積耦合 56
2.5.1 超可積耦合 56
2.5.2 超Kaup-Newell族 58
2.5.3 超Kaup-Newell族非線性可積耦合 61
2.5.4 超Hamilton結(jié)構(gòu) 65
2.5.5 方程族的約化 68
第3章 可積與超可積系統(tǒng)的自相容源與守恒律 70
3.1 Li族非線性可積耦合的自相容源與守恒律 70
3.1.1 Li族的非線性可積耦合 70
3.1.2 帶自相容源的Li族非線性可積耦合 74
3.1.3 Li族非線性可積耦合的守恒律 77
3.2 超Tu族的自相容源與守恒律 82
3.2.1 第一類超Tu族 82
3.2.2 第一類超Tu族的自相容源 85
3.2.3 第一類超Tu族的守恒律 87
3.2.4 第二類超Tu族 90
3.2.5 第二類超Tu族的自相容源 94
3.2.6 第二類超Tu族的守恒律 95
3.3 超Guo族的自相容源與守恒律 98
3.3.1 超Guo族 98
3.3.2 超Guo族的自相容源 101
3.3.3 超Guo族的守恒律 103
3.4 新6分量超孤子族的自相容源與守恒律 106
3.4.1 新6分量超孤子族 106
3.4.2 超Hamilton結(jié)構(gòu) 111
3.4.3 新6分量超孤子族的自相容源 113
3.4.4 新6分量超孤子族的守恒律 116
第4章 分數(shù)階可積與超可積系統(tǒng) 119
4.1 分數(shù)階可積系統(tǒng) 120
4.1.1 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì) 120
4.1.2 廣義分數(shù)階變分恒等式 122
4.2 Kaup-Newell族的分數(shù)階可積耦合及其Hamilton結(jié)構(gòu) 125
4.2.1 Kaup-Newell族的分數(shù)階可積耦合 125
4.2.2 Hamilton結(jié)構(gòu) 129
4.3 分數(shù)階Kaup-Newell族的雙可積耦合及其Hamilton結(jié)構(gòu) 131
4.3.1 分數(shù)階Kaup-Newell 族 131
4.3.2 分數(shù)階雙可積耦合 132
4.3.3 分數(shù)階Hamilton 結(jié)構(gòu) 136
4.4 分數(shù)階超可積系統(tǒng) 140
4.4.1 分數(shù)階超跡恒等式 140
4.4.2 分數(shù)階超Broer-Kaup-Kupershmidt族 143
4.4.3 分數(shù)階超Broer-Kaup-Kupershmidt族的非線性可積耦合 147
第5章 孤子方程的精確解 151
5.1 代數(shù)幾何解發(fā)展簡介 151
5.2 廣義Kaup-Newell方程的Hamilton結(jié)構(gòu)和代數(shù)幾何解 152
5.2.1 廣義Kaup-Newell方程 152
5.2.2 廣義Kaup-Newell方程族的Hamilton結(jié)構(gòu) 155
5.2.3 可解的常微分方程 157
5.2.4 廣義Kaup-Newell方程的代數(shù)幾何解 161
5.3 廣義Broer-Kaup-Kupershmidt 孤子方程的擬周期解 167
5.3.1 Lenard序列與孤子族 167
5.3.2 特征值問題的非線性化和守恒積分的對合性 170
5.3.3 橢圓坐標和可積性 173
5.3.4 流的拉直與擬周期解 176
5.3.5 小結(jié) 180
5.4 Darboux變換簡介 180
5.5 一個新孤子方程族的Darboux變換及其精確解 184
5.5.1 Lenard序列與孤子族 184
5.5.2 Darboux變換 187
5.5.3 精確解 193
5.6 Manakov方程的Darboux變換及其精確解 196
5.6.1 Manakov方程 196
5.6.2 Darboux變換 198
5.6.3 精確解 208
5.7 雙線性方法簡介 214
5.8 Hirota-Satsuma方程的 N-孤子解 216
5.9 一個 (2+1)-維淺水波方程的N-孤子解 219
參考文獻 226
索引 245