偏微分方程是數(shù)學學科的一個分支，它和其他數(shù)學分支均有深刻的聯(lián)系，而且在自然科學和工程技術(shù)中有廣泛的應用。本書主要講述廣義函數(shù)與Sobolev空間、偏微分方程的一般理論、橢圓型方程的邊值問題、雙曲型方程或拋物型方程的初值問題與初邊值問題、能量方法、半群方法等內(nèi)容。以此為提高讀者的整體數(shù)學素質(zhì)提供合適的材料，也為部分讀者進一步學習與研究偏微分方程理論做準備。
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目錄
《大學數(shù)學科學叢書》序
第二版前言
第一版前言
第1章 廣義函數(shù)與Sobolev空間 1
1.1 廣義函數(shù)的基本概念、基本空間 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 基本空間C(Rn)，Cc(Rn) 4
1.1.3 函數(shù)的正則化、平均算子 5
1.1.4 基本空間 S(Rn) 7
習題 9
1.2 廣義函數(shù)及其運算 10
1.2.1 D1(Rn)，S1(Rn)，E1(Rn)廣義函數(shù) 10
1.2.2 廣義函數(shù)的支集 13
1.2.3 廣義函數(shù)的極限 16
1.2.4 廣義函數(shù)的導數(shù) 18
1.2.5 廣義函數(shù)的乘子 22
1.2.6 廣義函數(shù)的自變量變換 23
1.2.7 廣義函數(shù)的卷積 23
習題 26
1.3 Fourier變換 28
1.3.1 S(Rn)空間上的Fourier變換 28
1.3.2 S1(Rn)空間上的Fourier變換 32
1.3.3 緊支集廣義函數(shù)的Fourier變換 36
1.3.4 擬微分算子 39
習題 41
1.4 Sobolev空間 42
1.4.1 非負整指數(shù)Sobolev空間Hm，p 42
1.4.2 負整指數(shù)Sobolev 空間 48
1.4.3 實指數(shù)Sobolev空間 50
1.4.4 Hm(Ω)函數(shù)的延拓 52？
1.4.5 微分流形上的Sobolev空間 55
習題 56
1.5 嵌入定理、跡定理 57
1.5.1 嵌入定理 57
1.5.2 緊嵌入定理 63
1.5.3 跡定理 66
習題 70
第2章 偏微分方程的一般理論 72
2.1 一般概念、特征與分類 72
2.1.1 偏微分方程的一般概念 72
2.1.2 特征 73
2.1.3 偏微分方程的分類 75
習題 76
2.2 存在性定理 77
2.2.1 Cauchy-Kowalevskaya定理 77
2.2.2 Cauchy-Kowalevskaya定理的證明 80
2.2.3 初始資料給在一般曲面上的情形 84
2.2.4 Lewy反例 86
習題 87
2.3 唯一性與穩(wěn)定性 88
2.3.1 Holmgren定理 88
2.3.2 Holmgren定理的應用 92
2.3.3 穩(wěn)定性 93
習題 94
2.4 基本解 95
2.4.1 基本解的概念 95
2.4.2 偏微分方程的基本解 97
2.4.3 Cauchy問題的基本解 101
2.4.4 基本解在解的正則性研究中的應用 104
習題 106
第3章 橢圓型方程 107
3.1 橢圓型方程邊值問題的廣義解 107
3.1.1 Dirichlet問題的廣義解 107
3.1.2 第二、第三邊值問題的廣義解 109
習題 111
3.2 橢圓型方程邊值問題的可解性 111
3.2.1 先驗估計 111
3.2.2 算子-L+λ的可逆性 114
3.2.3 兩擇性定理 115
3.2.4 特征值問題 119
3.2.5 Laplace算子的特征值與特征函數(shù) 121
習題 124
3.3 解的正則性 124
3.3.1 差商算子及其性質(zhì) 124
3.3.2 半空間上橢圓型方程的Dirichlet問題 127
3.3.3 一般區(qū)域的情形 131
3.3.4 內(nèi)正則性定理 133
習題 135
3.4 高階橢圓型方程 135
3.4.1 高階橢圓型方程的定義 135
3.4.2 先驗估計 137
3.4.3 兩擇性定理與正則性定理 141
習題 142
第4章 雙曲型方程 143
4.1 能量不等式﹑解的唯一性和穩(wěn)定性 143
4.1.1 二階雙曲型方程的定解問題 143
4.1.2 初邊值問題的能量不等式 144
4.1.3 Cauchy問題的能量不等式 147
4.1.4 擾動的有限傳播速度 150
習題 150
4.2 Cauchy問題解的存在性 150
4.2.1 高階能量不等式 151
4.2.2 解析逼近法 152
習題 155
4.3 初邊值問題解的存在性 155
4.3.1 取值于Banach空間的函數(shù) 155
4.3.2 Galerkin方法 157
4.3.3 附注 164
習題 165
4.4 對稱雙曲組 165
4.4.1 對稱雙曲組及其Cauchy問題 165
4.4.2 對稱雙曲組Cauchy問題的能量不等式 167
4.4.3 初邊值問題的能量不等式 170
習題 171
4.5 正對稱方程組 172
4.5.1 正對稱算子 172
4.5.2 強解與弱解 175
4.5.3 強解的唯一性與弱解的存在性 176
4.5.4 強解與弱解的一致性 179
習題 185
第5章 拋物型方程與算子半群方法 187
5.1 拋物型方程及其能量不等式 187
5.1.1 拋物型方程的定解問題 187
5.1.2 能量不等式 188
5.1.3 用Galerkin方法解初邊值問題 189
習題 192
5.2 算子半群與無窮小生成元 192
5.2.1 算子半群方法的基本思想 192
5.2.2 無窮小生成元 194
5.2.3 線性壓縮算子半群的存在性與唯一性 196
5.2.4 一般線性算子半群的情形 200
習題 202
5.3 算子半群方法的應用 202
5.3.1 增生算子 202
5.3.2 對拋物型方程初邊值問題的應用 203
5.3.3 對雙曲型方程初邊值問題的應用 207
習題 211
參考文獻 212
索引 214
《大學數(shù)學科學叢書》已出版書目 217
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