“數學分析”是數學系最重要的基礎課之一,也是數學系各專業(yè)考研的必考科目. 由于它的內容多、技巧強、方法靈活,很多考生在備考過程中遇到諸多疑難和困惑,甚至產生了畏難、厭學情緒. 針對這種情況,我想以一個朋友的身份和大家聊聊,也許對你會有幫助. 二十多年前,我作為一名考生,也遇到了大家今天所遇到的問題(有過之而無不及!),也曾有過放棄的念頭,但在老師和同學們的鼓勵下,我咬咬牙挺過來了! 因此,我首先想和大家說的是:要相信自己,不要輕言放棄,頂一頂過了這一關,前面也許就一馬平川了!我從事數學分析的教學工作已有二十余年,積累了一些教學經驗和教學心得,能夠體會到同學們在學習數學分析中的酸甜苦辣! 因此,有了想寫一本幫助同學們備考用書的沖動.在寫書之初,我曾多次和考生座談并發(fā)放問卷,傾聽他們的想法,了解他們的困惑. 許多同學真誠地提出了自己的問題,這讓我非常感動! 于是,我暗下決心:要盡我最大能力寫好這本書,以求能給大家點滴幫助. 同學們的問題歸納起來有如下幾個方面:1. 數學分析概念多、定理多,各章節(jié)的內容串聯不起來. 比如,求極限有許多方法和技巧,拿到題目不知道如何下手. 2.微分中值定理證明題中輔助函數的構造. 3. 定積分的可積性理論、求不出原函數的定積分的計算等問題. 4. 廣義積分尤其是含參變量廣義積分,證明其收斂性或一致收斂性是難點. 5. 對于函數項級數,當要討論和函數的分析性質(連續(xù)性、可積性和可導性),而又不滿足定理的條件時,常常感到束手無策. 6. 第二型曲面積分計算時的補面、以及區(qū)域內部有奇性等如何處理. 當然,同學們還提出了許多其他問題,比如:一元函數的一致連續(xù)和非一致連續(xù)的證明;二重極限的計算;常考的不等式題型及其證明等. 從同學們所提的問題看,的確切中了數學分析的重點和難點,當然也是目前各類院�？佳械闹攸c.同學們的問題就是我寫這本書的指導思想,因此我在編寫本書的過程中始終本著如下原則:不受知識體系的約束,堅持體系由解題方法所決定;不去羅列各種教材中的基本內容,僅對一些重要的、容易混淆的概念和定理進行深入、透徹的講解. 并恰如其分地闡述它們之間的區(qū)別與聯系,以及使用時應該注意的事項;不追求大而全、艱而難,注重解題思路的分析和解題技巧的提煉.在整個寫作的過程中,同學們的問題始終在我腦�？M繞. 我常常問自己:我回答了學生的問題嗎? 能給學生幫助嗎? 唯恐自己的閃失或能力所限辜負了同學們的期望! 下面我想通過幾個例子來說明,我是如何針對同學們的問題來安排書中內容的..求極限的方法與技巧在講中我歸納總結了十余種求極限的方法,并通過典型例子闡明了它們的應用. 在此,我通過一個例子來說明如何去思考問題?設數列{xn } 由遞推關系xn+1 = f(xn ) 所給出,求lim n→拿到這個題目,大家會首先想單調有界定理. 如果單調有界定理失效,可能有的同學就“望題興嘆”了! 可是大家不要忘記:數列收斂的本質是:充分靠后的任意兩項之間的距離可以任意小. 這樣我們就可以嘗試使用壓縮性條件或柯西收斂原理;如果還不行,可以考慮使用上、下極限法.另外,如果數列{xn } 由線性遞推關系xn+1 = pxn + qxn-1,n = 2,3,… 所給出,其中p,q 為常數,x1,x2 為已知. 對這種由線性遞推關系所定義的數列,我們可以將其視為差分方程,通過求其特征方程的根(即特征根),寫出xn 的通項公式,從而可求出xn 的極限..與微分中值定理或泰勒公式有關的證明題中輔助函數的構造在第三講中,我通過對一些典型例題(這其中也包括與積分有關的題目)的分析、講評,向大家介紹了:如何從題目的結論出發(fā)構造輔助函數. 由于構造輔助函數有一定的靈活性,通過區(qū)區(qū)幾個例題大家可能仍然無法掌握其中的技巧和奧秘! 為了克服這一困難,我又介紹了在多年教學實踐中總結出來的“輔助多項式法”. 這種方法把充滿技巧的輔助函數構造變成了機械的例行公事了..定積分的計算談起定積分的計算問題,許多同學可能對此不以為然,會簡單地認為:只要求出原函數問題就解決了! 但是對那些原函數求不出來或不易求出來的怎么辦? 通常的想法是,作自變量的變換,這種變換充滿了智慧和技巧. 在第四講中,我給出了簡單易行的“定積分計算技巧”,解決了一大類定積分計算問題.如此等等,不再一一贅述.關于本書我想再啰嗦幾句. 書中的例題和類題大都來源于考研真題和近年來的全國大學生數學競賽試題. 有些題目從年份上看,是早了一些,但是好的題目就像美妙的音樂,永遠是不會過時的! 在題目的取舍上既要照顧到介紹思想、方法和技巧的需要,又要保證有一定的難度;在講解上由淺入深,娓娓道來,盡量做到“平易近人”. 多數例題的后面都配有類題,并給出了詳略不同的提示,這有利于同學們掌握和鞏固例題中所學的方法和技巧. 許多理論上的講解和題后的注記,都體現了筆者二十多年的教學經驗和教學心得,凝聚了筆者的心血! 同學們在閱讀過程中要認真琢磨,細細品味,切不可蜻蜓點水一帶而過.如何進行考研總復習呢? 許多同學向我提出這個問題. 我認為,首先把課本上的基本內容搞熟、搞透、掌握了,然后根據自己的情況選擇一本適合復習的參考書,對所學的知識進行全面、系統(tǒng)的串聯、歸納、總結、鞏固和提高. 最后找你所報考院校近幾年的考題試做一下,